Министерство образования Российской Федерации

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ( ТУСУР)

Контрольная работа

по дисциплине «Математические модели в экономике»

учебное пособие: Сидоренко М.Г. «Математические модели в экономике»

Вариант № 15

Задание 1

Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция, представленная в таблице. Цена продукции v , зарплата p.

Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.

Решение:

Выпуск фирмы можно охарактеризовать одной величиной: либо объёмом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска. Затраты определяют выпуск Y,а это связь и есть производственная функция Y = f (X)

Прибыль определяется : W = vY- px = 1( 2 x2 – 3 )- 100 x

Воспользуемся соотношением v(df / df) = p, когда частные производные приводятся к нулю.

Для нахождения оптимального объёма производства : 2x – 3 = 100

2 x = 100+3

x* = 51,5 Следовательно это оптимальное количество вложенного труда.

Максимальная прибыль при x* = 16

W = 2(51,2)2 -100 x 51,5 = 154,50- это объём выпуска при оптимальном вложении трудовых ресурсов.

Задание 2

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Свойство непрерывной функции находит применение в математических моделях рынка. Как известно, две основные категории рыночных отношений – спрос и предложение. И то и другое зависят от многих факторов, среди которых главный – это цена товара. Обозначим цену товара , объем спроса , величину предложения . При малых имеем (спрос превышает предложение), при больших , наоборот, . Считая и непрерывными функциями, приходим к заключению, что существует такая цена , для которой , т.е. равен спрос равен предложению. Цена называется равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными.

Установление равновесной цены – одна из главных задач рынка.

Графически равновесная цена определяется на основе пересечения кривых спроса и предложения.

Решение.

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения,

то есть 600- 5р = 200 + 3р. 600 – 200 = 5p + 3p 400 = 8 p

Равновесная цена p* = 50 и выручка при равновесной цене

W(p*) = p* x D(p*) = p* x S(p*) = (50 x 600-250) = ( 50 x 200 +150) = 17500

При цене p > p* объём продаж и выручка определяются функцией спроса, при p< p*- предложения. Необходимо найти цену p 1, определяющую максимум выручки:

Max W(p) = p x D(p) при p> p*

W(p) = p x S (p) при p < p*

При p x (600 – 5p) максимум достигается в точке p1 = 60 (определяем максимум через производную), выручка W (60 ) = 18000 (60x300)

При p x (200 + 3p) максимум достигается в точке p1 = 40 ,

выручка W (40 ) = 12800 (40 x 320)

Таким образом, максимальная выручка W(p) = 18000 достигается не при равновесной цене.

В реальности нахождение равновесной цены находится опытным путём, посредством последовательных приближений. Эта процедура называется паутинообразной моделью рынка. Процесс отыскания D(p) = S (p) называется «нащупованием»

Если спрос больше предложения, то цена увеличивается. Если спрос стал меньше, то цена уменьшится.

Кривая спроса при Р> P* 50, 60, 65,70

При повышении цены спрос соответственно падает: 350, 300.275,250

Кривая предложения при P<P* 30, 35, 40,50

При снижении цены спрос повышается соответственно : 290, 305,320,350

Функция спроса и предложения.

Задание 3

Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры)

8. -5

-3 2

Для решения игр 2x 2 , 2x n, m x 2 служат несколько простых процедур, которые заключаются в нахождении оптимальных стратегий игроков и цены игры.

Сначала надо проверить наличие седловой точки, её нет.

Обозначим стратегию Первого. Х

1 – Х

Искомая оптимальная стратегия Второго (y, 1 –y)

Выигрыш Первого есть случайная величина с таким рядом распределения:

8	-5	-3	2
xy	X (1-y)	(1-x) y	(1-x) (1-y)

W ( x, y) :

Находим средний выигрыш за партию Первого- математическое ожидание случайной величины W ( x,y):

М (x,y) = 8 xy- 5x(1-y)- 3(1-x)y +2(1-x) (1-y)=

8 xy – 5 x +5 xy – 3 y + 3 x y + 2 – 2 x – 2 y + 2 xy =

18 xy – 7 x – 5 y + 2=

18 x(y-7/18)-5(y-7/18) + 2/18 = 18(y -7/18)(x-5/18)+2/18

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы

М(x,y*)< М(x*,y*) < М (x*,y)

Это выполняется при x* =5/18 и y*= 7/18, так как именно в этом случае

М(x, 7/18) = М(5/18, 7/18) = М(5/18, y) = 2/18

Следовательно, оптимальная стратегия Первого игрока есть

Р* = 5/18 , Второго- Q* = (7/18, 5/18).

2/18

Цена игры по определению равна v = M( P*, Q*) = 2/18