1-15_Математические модели в экономике (Математические модели в экономике вариант 15)

Номер варианта = 15

Задание 1.

Объем выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда х как функция, представленная в таблице. Цена продукции v, зарплата р. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.

Вариант	Данные
15	Y (x) = 2x^2 - 3 v = 1, p = 100

Решение:

Объем выпускаемой продукции в денежном выражении

Затраты на оплату труда

Условие рентабельности:

Подставим данные в уравнение

или

Находим корни уравнения

;

x₁ = 50,03; x₂ = -0,03

x₂ < 0 - поэтому в решении не принимается.

Ответ: при х > 50,03 количество вложенного труда становится оптимальным

Задание 2

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Вариант	Данные
15	D = 600-5p; S = 200+3p

Решение:

Условие равновесия соблюдается при равенстве спроса и предложения, т.е. D = S

Откуда 600-5p = 200+3p

Решая равенство находим, р = 50 – равновесная цена и Q = 350 – равновесный объем

Найдем максимальную выручку

V = D*p = 350∙50 = 17500

При цене р > р^* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при р < р - предложения. Необходимо найти цену р , определяющую максимум выручки:

При р(600-5р) максимум достигается в точке р’ = 60 (определяем максимум через производную, 600-10р = 0 ), выручка W(60) = 60∙300 = 18000.

При р(200+3р) максимум достигается в точке р’ = 50 , выручка W(50)= 350.

Таким образом, максимальная выручка W(p) = 18000 достигается не при равновесной цене.

Ответ: р = 60; выручка 18000

Задание 3

Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).

Вариант	Игра
15

Решение:

Сначала необходимо проверить наличие седловой точки, так как если Она есть, то решение игры ясно. Седловой точки нет. Обозначим оптимальную стратегию первого (х, 1 - х) искомую оптимальную стратегию Второго (у, 1 - у). Выигрыш первого есть случайная величина с таким радом распределения:

8	-5	-3	2
xy	x(1-y)	(1-x)y	(1-x)(1-y)

Находим средний выигрыш за партию первого - математической ожидание случайной величины W(x, у):

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы М(х,у^*) <= М(х^*,у^*) <= М(х^*,у). Это выполняется при и , так как именно в этом случае

Следовательно, оптимальная стратегия первого игрока есть

Второго

Цена игры по определению равна

Задание 4

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.

Вариант	Данные
15	;

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

матрица коэффициентов 2-го порядка:

Матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

3. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц

а) находим матрицу (Е-А):

б) вычисляем определитель этой матрицы:

в) транспонируем матрицу (Е-А)

д) используя формулу, находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

2. Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х)

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой х_ij = а_ijХ_j . Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину X₁ = 357,2; элементы второго столбца матрицы А умножить на X₂ = 440, 8; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х₃ = 290,5.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	0	88,2	29,1	240	357,3
2	178,6	44,1	58,1	160	440,8
3	71,4	0	29	190	290,4
Условно чистая продукция	107,2	308,5	174,3	590
Валовая продукция	357,2	440,8	290,5		1088,5

Задание 5

Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (α = 0,1), представить результаты сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперед.

Вариант	Ряд данных
15	у=112, 111, 112, 114, 115,113, 115, 117, 115, 113

Решение:

а)

где среднеквадратическое отклонение σ_y рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

;

Итого

y	112	111	112	114	115	113	115	117	115	113
(y - yср)	2,89	7,29	2,89	0,09	1,69	0,49	1,69	10,89	1,69	0,49

Значения λ в зависимости от t =1,2 …10 представлены в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λ	-	0,55	0,55	1,09	0,55	1,09	1,09	1,09	1,09	1,09

Для n=10 λ_a =1,5, делаем вывод, что аномальных значений нет

б) сглаживание методом простой скользящей средней

y₁ = (112+111+112)/3 = 111,67

y₂ = (111+112+114)/3 = 112,33

y₃ = (112+114+115)/3 = 113,67

y₄ = (114+115+113)/3 = 114,00

y₅ = (115+113+115)/3 = 114,33

y₆ = (113+115+117)/3 = 115,00

y₇ = (115+117+115)/3 = 115,67

y₈ = (117+115+113)/3 = 115,00

в) сглаживание методом экспоненциального сглаживания α = 0,1,

S_t = y_t + α (1- α)S_t-1

При сглаживании экспоненциальным методом принято α = 0,1 нулевое значение

S₁ = 0,1*111,67+(1-0,1)* 111,67 = 111,70

Остальные данные сведем в таблицу

y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9	y10
111,70	111,63	111,67	111,90	112,21	112,29	112,56	113,00	113,20	113,18

г) трендовая модель y_t=a₀+a₁t

t	y	t^2	y*t
1	112	1	112
2	111	4	222
3	112	9	336
4	114	16	456
5	115	25	575
6	113	36	678
7	115	49	805
8	117	64	936
9	115	81	1035
10	113	100	1130
55	1137	385	6285

Для наших данных:

Решая систему, получим: а₀ = 111,6; а₁ = 0,38.

И уравнение тренда имеет вид y_t = 111,60+0,38*t

д) точечный и интервальный прогноз на три шага вперед точечный:

y(11) = 111,60+0,38*11 = 115,80

y(12) = 111,60+0,38*12 = 116,18

y(13) = 111,60+0,38*13 = 116,56

Интервальный

Точечные прогнозы получим, подставляя в уравнение модели значения t=10 и t = 11:

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя

Значения величины К для n = 10 (уровень значимости α = 0,2) равен 1,865

где L - период упреждения; у_n+L - точечный прогноз по модели на (n+L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy -стандартная ошибка прогнозируемого показателя, рассчитанная по ранее приведенной формуле; t_a - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n - 2.

y	y(t)	(y-y(t)^2
112	111,98	0,00
111	112,36	1,86
112	112,75	0,56
114	113,13	0,76
115	113,51	2,22
113	113,89	0,79
115	114,27	0,53
117	114,65	5,50
115	115,04	0,00
113	115,42	5,85
Итого		18,07

Результаты расчета представлены в таблице:

время t	Шаг L	ta	Точечный прогноз уn+L	K	Доверительный интервал прогноза
					Нижняя граница	Верхняя граница
11	1	1,612	115,80	0,92	114,88	116,72
12	2	1,655	116,18	0,99	115,19	117,17
13	3	1,581	116,56	1,00	115,57	117,56

Так как модель, на основе которой осуществлялся прогноз, признана адекватной, то с принятым уровнем значимости 0,2, другими словами, с доверительной вероятностью 0,80 (или 80%) можно утверждать, что сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Задание 6

Пункт по ремонту квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока заявок λ, производительность пункта µ. Определить вероятность того, что оба каналы свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускные способности, средне число занятых бригад.

Вариант	Интенсивность потока заявок λ	Интенсивность потока обслуживания µ
15	0,58	0,69

Решение:

Параметр	Формула	Ответ
p		0,84
Оба канала свободны		0,46
Один канал занят		0,38
Оба канала заняты		0,16
вероятность отказа	Ротк = Р2	0,16
абсолютная пропускная способность	A = λ·(1 - Ротк)	0,49
относительная пропускная способность		0,32
средне число занятых бригад	m = p·(1- P)	0,71