- •1.1. Методы искусственного интеллекта в прикладных системах и системах принятии решений
- •1.2. Интеллектуальные информационные технологии в прикладных системах и системах принятия решений
- •1.3. Типология задач интеллектуализации систем
- •Лекция 2. Представление знаний в интеллектуальных системах
- •2.1. Модели представления знаний
- •2.2. Системы, основанные на правилах
- •2.3. Системы, основанные на автоматическом доказательстве теорем
- •2.4. Системы, основанные на автоматическом порождении (выдвижении) гипотез
- •Лекция 3. Структура и основные компоненты прикладных интеллектуальных систем
- •3.1. Прикладные системы, основанные на знаниях
- •3.2. Структура системы управления, основанной на знаниях
- •3.3. Структура интеллектуальных систем поддержки принятия решения
- •3.4. Обобщенная структура экспертной системы
- •Лекция 4. Классификация прикладных интеллектуальных систем
- •4.1. Классификация экспертных систем
- •4.2. Примеры прикладных интеллектуальных систем
- •Лекция 5. Основные понятия и определения теории принятия решений
- •5.1. Роли людей в процессе принятия решений
- •5.2. Альтернативы
- •5.3. Критерии
- •5.4. Основные этапы процесса принятия решений
- •5.5. Математические методы теории принятия решений
- •Лекция 6. Принятие решений с помощью статистической проверки гипотез
- •6.1. Статистические решения
- •6.2. Основные задачи статистических решений
- •6.3. Статистическая проверка гипотез
- •6.4. Ошибки решения
- •6.5. Решающее правило при проверке гипотез
- •Лекция 7. Байесовская и последовательная процедуры принятия решения.
- •7.1. Байесовские процедуры принятия решения
- •7.1.1. Байесовская процедура при проверке простой гипотезы
- •7.1.2. Байесовские процедуры в задаче классификации
- •7.2. Принятие решения с помощью последовательной процедуры Вальда
- •Лекция 8. Принятие решения методом дискриминантнного анализа
- •8.1. Классификация в случае, когда распределения классов определены полностью
- •8.1.1. Модель двух нормальных распределений с общей ковариационной матрицей (модель Фишера)
- •8.1.2. Модель двух нормальных распределений с разными ковариационными матрицами
- •8.1.3. Модель нескольких нормальных распределений с общей ковариационной матрицей
- •8.2. Классификация при наличии обучающих выборок
- •8.2.1. Подстановочный алгоритм в модели Фишера
- •8.2.3. Правила классификации
- •8.3. Ошибка решающего правила
- •Лекция 9. Древообразные классификаторы
- •9.1. Назначение древообразных классификаторов
- •9.1. Структура дерева классификации
- •9.3. Вычислительные задачи древообразных классификаторов
- •9.3.1. Определение качества предсказания
- •9.3.2. Выбор разбиений
- •9.3.3. Определение правила прекращения разбиения
- •Лекция 10. Деревья решений
- •9.1. Характеристики дерева решений
- •9.2. Построение дерева решений
- •Лекция 11. Методы прогнозирования
- •11.1. Анализ временных рядов
- •11.1.1. Модель временного ряда
- •11.1.2. Тренд, сезонная и циклическая компоненты
- •11.1.3. Декомпозиция временного ряда
- •11.1.4. Экспоненциальное сглаживание
- •11.2. Каузальные методы прогнозирования
- •11.3. Качественные методы прогнозирования
- •Лекция 12. Основная задача линейного программирования
- •12.1. Математическая модель основной задачи линейного программирования
- •12.2. Задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами
- •12.3. Примеры задач линейного программирования
- •12.3.1. Транспортная задача
- •12.3.2. Задача о назначениях
- •Лекция 13. Симплекс-метода решения задачи линейного программирования
- •13.1. Характеристика симплекс–метода
- •13.2. Табличный алгоритм замены базисных переменных
- •13.3. Отыскание опорного решения основной задачи линейного программирования
- •13.4. Отыскание оптимального решения основной задачи линейного программирования
- •Лекция 14. Многокритериальные методы принятия решений при объективных моделях
- •14.1. Объединение критериев
- •14.2. Метод главного критерия
- •14.3. Метод последовательных уступок
- •14.4. Метод целевого программирования
- •14.5. Метод, использующий принцип гарантированного результата
- •14.6. Метод равных наименьших относительных отклонений
- •14.7. Процедура STEM поиска удовлетворительных значений критериев
- •Лекция 15. Выбор Парето–оптимальных решений
- •15.1. Основные определения
- •15.2. Графическая интерпретация
- •15.3. Постановка задачи
- •Лекция 16. Оценка многокритериальных альтернатив с помощью теории полезности
- •16.1. Теория полезности
- •16.2. Принятие решения на основе значения ожидаемой полезности
- •16.3. Многокритериальная теория полезности (MAUT)
- •Лекция 17. Сравнение альтернатив методом аналитической иерархии
- •17.1. Основные этапы метода аналитической иерархии
- •17.2. Декомпозиция задачи
- •17.3. Попарное сравнение критериев и альтернатив
- •17.4. Свойства идеальной матрицы сравнений
- •Лекция 18. Приоритеты для критериев и альтернатив и выбор наилучшей альтернативы в методе анализа иерархий
- •18.1. Вычисление собственных характеристик обратно симметричной матрицы
- •18.2. Вычисление величины приоритетов
- •18.3. Определение наилучшей альтернативы
- •18.4. Проверка согласованности
- •18.5. Пример применения метода анализа иерархий
- •Лекция 19. Оценка многокритериальных альтернатив методами ELECTRE
- •19.1. Этапы подхода, направленного на разработку индексов попарного сравнения альтернатив
- •19.2. Свойства бинарных отношений
- •19.3. Метод ELECTRE I
- •19.4. Метод ELECTRE II
- •19.5. Метод ELECTRE III
- •Лекция 20. Основные понятия и математическая модель игровых методов обоснования решений
- •20.1. Основные понятия теории игр
- •20.2. Математическая модель игры
- •20.3. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса
- •Лекция 21. Методы решения игр
- •21.1. Решение игры в чистых стратегиях
- •21.2. Решение игры в смешанных стратегиях
- •21.3. Упрощение игр
- •21.4. Решение игры 2х2
- •21.5. Графический метод решения (2х2)-игр
- •Лекция 22. Игры 2 х п
- •Лекция 23. Решение игр т х 2 и т х п
- •23.1. Решение игр т х 2
- •23.2. Решение игр т х п
- •Лекция 24. Критерии принятия решений в условиях риска и неопределенности
- •24.1. Основные понятия. Математическая модель
- •24.3. Максиминный критерий Вальда
- •24.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
- •24.5. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
- •Литература
где U(х), Ui (x) – функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1; wi – коэффициенты важности (веса) критериев, 0 < wi < 1; коэффициент k > –1. Многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов wi , k, а также однокритериальные функции полезности Ui (x) .
Лекция 17. Сравнение альтернатив методом аналитической иерархии
17.1. Основные этапы метода аналитической иерархии
Метод анализа иерархий, разработанный Т. Саати [19] является одним из наиболее известных методов выбора наилучшей альтернативы из множества предложенных. В основе метода аналитической иерархии (АИ) лежит идея сравнения заданных альтернатив. Использование данного метода предполагает представление экспертами исследуемой проблемы в виде иерархий критериев и подчиненных им альтернатив.
Постановка задачи, решаемой с помощью метода АИ, заключается в следующем. Заданы общая цель (или цели) решения задачи; т критериев оценки альтернатив; п альтернатив. Требуется выбрать наилучшую альтернативу.
Суть метода анализа иерархий состоит в следующем.
1.Первый этап заключается в декомпозиции задачи в трехуровневую иерархию «цели – критерии – альтернативы».
2.На втором этапе ЛПР выполняет попарные сравнения элементов каждого уровня иерархии. Результаты сравнений переводятся в числа, указывающие степень превосходства одного элемента над другим.
3.Вычисляются коэффициенты важности (величины локальных приоритетов) для критериев и альтернатив. При этом проверяется согласованность суждений ЛПР.
4.Подсчитывается количественный индикатор важности (глобальный приоритет) каждой из альтернатив и определяется наилучшая альтернатива.
17.2.Декомпозиция задачи
Очень часто при анализе интересующей нас структуры число элементов и их взаимосвязей настолько велико, что затрудняет воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы. Одним из таких делений является иерархическое.
Иерархии представляют собой определенный вид системы, основанный на предположении, что ее элементы могут группироваться в не связанные множества. При этом элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой другой группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы третьей группы.
Первым требованием при анализе функционирования системы является построение иерархии, воспроизводящей функциональные отношения. Для этого сначала перечисляются все элементы, относящиеся к иерархии. Затем они распределяются по группам в соответствии с влиянием между группами. Так возникают уровни иерархии. Определяются цели, ради которых решается задача, и строится иерархия.
Допустим, что при рассмотрении некоторой проблемы, решение которой сводится к выбору из множества альтернатив, группа экспертов пришла к соглашению о декомпозиции этой проблемы в трехуровневую иерархию «цели – критерии – альтернативы», представленную на рис. 17.1.
Пример [12]. Предположим, комиссия по выбору места строительства аэропорта предварительно отобрала из нескольких возможных четыре варианта: А, В, С, D. Тогда структура решаемой задачи может быть представлена в виде, показанном на рис. 17.2.
84
Цель
K1 |
... |
Kj |
... |
Km |
|
|
|
|
|
A1 |
... |
Ai |
... |
An |
Рис. 17.1. Декомпозиция решаемой задачи в трехуровневую структуру
17.3. Попарное сравнение критериев и альтернатив
На данном этапе осуществляется формирование матрицы относительной важности критериев по отношению к цели. Элементы данной матрицы (табл. 17.1) представляют собой попарные отношения важности j-го и l-го критериев, которые вырабатываются экспертами и выражаются ими в числовой форме с использованием специальной шкалы относительной важности.
Цель
Цель строительства аэропорта: прием и отправка большого числа пассажиров
Критерии
Стоимость |
|
Количество людей, |
строительства |
|
подвергающихся шуму |
|
|
|
Время в пути от аэропорта до центра города
Альтернативы
Площадка А |
|
Площадка В |
|
Площадка С |
|
Площадка D |
|
|
|
|
|
|
|
Рис 17.2. Иерархическая схема проблемы выбора места для аэропорта
Таблица 17.1
Матрица попарных сравнений критериев по важности
Цель |
K1 |
… |
Ks |
… |
Km |
K1 |
1 |
… |
а1s |
… |
а1m |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Kj |
аj1 |
… |
аjs |
… |
аjm |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Km |
аm1 |
… |
аms |
… |
1 |
85
После сравнений критериев формируются матрицы попарных сравнений альтернатив
на предпочтительность по каждому критерию [2, 11, 28]. Элементы этих матриц представляют собой попарные отношения предпочтительности i-й альтернативы над k-й альтернативы для каждого критерия, которые также вырабатываются экспертами и выражаются ими в числовой форме по той же шкале относительной важности.
Таблица сравнений (табл. 17.1) строится по следующим правилам:
если элементы А и В одинаково важны, заносим в клетку (А, В) таблицы сравнений число 1;
если элемент А умеренно превосходит В – число 3; если элемент А существенно важнее В – число 5; если элемент А значительно важнее В – число 7;
если элемент А по своей значимости абсолютно превосходит В – число 9.
Числа 2, 4, 6, 8 используются для облегчения компромиссов между оценками, слегка отличающимися от основных чисел. Рациональные дроби используются в случае, когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений.
17.4. Свойства идеальной матрицы сравнений
Для вычисления локальных приоритетов и проверки согласованности суждений ЛПР необходимо знать ряд свойств идеальной матрицы сравнений [28]. Возьмем отношения
весовых коэффициентов а = |
wi |
для i-го и k-го элементов и запишем их в виде квадратной |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
wk |
|
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
w |
|
|
w |
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
... |
|
1 |
|
|
|
|
w2 |
wn |
|
|
|||||||
w1 |
|
|
|
|
||||||
w2 |
w2 |
... w2 |
|
|
|
|||||
А = w |
w |
|
|
w |
. |
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
||
.................... |
|
|
||||||||
w |
w |
... |
w |
|
|
|
||||
|
n |
n |
n |
|
|
|||||
|
w |
w |
|
|
w |
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
Проанализируем некоторые свойства этой идеальной матрицы сравнений.
1. |
Для любого i |
справедливо равенство а |
ii |
= 1: а = wi = 1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii |
wi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Для любых i |
и k справедливо равенство аki = 1/ аik. Действительно, из того, что |
|||||||||||||||||
а |
= wk и а |
ik |
= |
|
wi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ki |
|
wi |
|
|
|
wk |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
следует равенство |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
аki |
аik = wk · |
|
wi |
= 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
wi |
|
|
wk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Для любых i, k и l справедливо равенство аik аkl = аil. В самом деле, |
||||||||||||||||||
а |
ik |
а |
kl |
= |
wi |
|
wk = |
wi = а . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
wk |
wl |
|
wl |
il |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Вектор |
|
w = |
w1 |
|
|
|
вектором матрицы А с собственным |
|||||||||||
|
.... |
является собственным |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
значением λ = п. Собственным вектором квадратной матрицы А называется такой ненулевой вектор-столбец, при умножении на который матрицы А получается вектор-столбец, пропорциональный исходному вектору х, т.е. Ах = λх. Число λ называется собственным
86