Задачи «динамика Поступательного Движения» По Физике (Смык А. Ф

Динамика поступательного движения

2.1.1. С каким ускорением a должен ехать грузовик, чтобы бревно и трос, которым оно привязана к грузовику, составляли прямую линию (см. рис.)? Длина бревна L, а каната b. Трос привязан к грузовику на высоте h от поверхности земли.

1) из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев для угла между бревном и землей φ → 0; ∞ :

a ~ g·ctgφ = g·[(L+b)²/h²-1]^1/2

2) второй закон Ньютона в проекциях на вертикальное и горизонтальное направление:

2Y) g·m = N+T·sinφ │=> g/a =N/(T·cosφ) + tgφ

2X) a·m = T·cosφ │

3) закон сохранения момента импульса относительно «точки подвеса» бревна:

N·cosφ·L = g·m·cosφ·L/2 => N = g·m/2

4) условие постоянства силы натяжения троса:

N·sinφ+T = gm·sinφ => T = (gm – N)·sinφ => 2Y) => N(1-sinφ)=0

Ответ: a = g·ctgφ <= N=0

a = 0 <= φ=π/2

2.1.2. С вершины холма высотой h = 5 м начинает двигаться без начальной скорости чье-то тело. Какую скорость будет иметь тело у основания и сколько времени продлится движение вдоль прямого наклонного склона, длина которого L = 10 м, если коэффициент трения между телом и поверхностью составляет μ = 0,2?

1) второй закон Ньютона в проекциях на направления вдоль склона и на перпендикулярное к нему направление:

m·a = m·g·sinφ – F_тр; F_тр=μ·N │=> a = g·(sinφ – μ·cosφ)

0 = m·g·cosφ – N │

2) частный случай основного уравнения кинематики:

L = a·t²/2 │=> v = (2·a·L)^1/2

v = a·t │ t = (2·L/a)^1/2

Ответ: v = (2·a·L)^1/2; t = (2·L/a)^1/2

2.1.3. По тросу, составляющему с горизонтом угол φ, с третьего этажа спускается без трения блок, к которому подвешено цилиндрическое ведро с водой. Глубина воды в ведре равна h. Каково давление на дно ведра во время движения?

0 = g·M·cosφ – N => N = g·ρ·h·S·cosφ; S – площадь дна ведра; ρ – плотность воды;

P = N/S = ρ·g·h·cosφ

Ответ: P = ρ·g·h·cosφ

2.1.4. Некоторое тело начинает движение с начальной скоростью υ_о вверх по наклонному участку дороги. Наклонный участок составляет с горизонтом угол φ. Коэффициент трения между телом в таком состоянии и дорогой равен μ. Через какой промежуток времени тело вернется в точку, из которой оно начало свой тяжелый подъем?

1) закон сохранения энергии для «подъема» и «спуска»:

m·υ_o²/2 = m·g·h + μ·g·m·cosφ·L => υ_o²/2 = L·g ·(sinφ + μ·cosφ)

m·υ₁²/2 = m·g·h – μ·g·m·cosφ·L => υ₁²/2 = L·g ·(sinφ – μ·cosφ) =>

υ₁ = υ_o·[(sinφ – μ·cosφ)/(sinφ + μ·cosφ)]^1/2

2) времена подъема и спуска из кинематических соотношений:

t_↑ = υ_o/[g·(sinφ + μ·cosφ)]

t_↓ = υ₁/[g·(sinφ – μ·cosφ)]

t = t_↑ + t_↓ = υ_o/{g·(sinφ + μ·cosφ)} + υ_o/{g·[(sinφ – μ·cosφ)·(sinφ + μ·cosφ)]^1/2}

Ответ: υ₁ = υ_o·[(sinφ – μ·cosφ)/(sinφ + μ·cosφ)]^1/2

t = υ_o/{g·(sinφ + μ·cosφ)} + υ_o/{g·[(sinφ – μ·cosφ)·(sinφ + μ·cosφ)]^1/2}

2.1.5. На наклонном участке дороги, образующем угол φ с горизонтом, находится бак со спиртом массой М. С какой силой F, параллельной наклонной плоскости, нужно двигать бак, для того чтобы поверхность спирта в баке была параллельна наклонной плоскости? Коэффициент трения между дном бака и дорогой равен μ.

Сила F должна скомпенсировать ускорение, вызванное равнодействующей сил тяжести и трения. Второй закон Ньютона в проекции на ось, параллельную наклонной плоскости:

0 = M·a = M·g(sinφ-μ·cosφ)+F => F = – M·g(sinφ-μ·cosφ)

Ответ: F = – M·g(sinφ-μ·cosφ)

2.1.6. По склону горы на веревке длиной L = 50 м спускают сани массой m = 60 кг. Высота горы h = 10 м. Определить силу натяжения веревки T, считая ее постоянной, если сани у основания горы имеют скорость υ = 5 м/сек, а сила трения f составляет 10% от силы тяжести, действующей на сани. Начальная скорость саней равна нулю.

Закон сохранения энергии:

m·g·h = m·υ²/2 + f·L + T·L

Ответ: T = m·g·h/L – m·υ²/(2·L) – f

2.1.7. На тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, установлен стержень с подвешенным на нити шариком. Найти натяжение нити Т, если шарик имеет массу m = 2 г. Плоскость составляет с горизонтом угол φ = 60⁰.

Второй закон Ньютона в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:

m·a = g·m·sinφ

0 = g·m·cosφ – T

Ответ: T = g·m·cosφ

2.1.8. На наклонном участке дороги упало тело массой m = 50 кг, на которое действует горизонтально направленная сила F = 294 Н. Определить ускорение тела и силу, с которой оно давит на дорогу. Дорога составляет с горизонтом угол φ = 30⁰. Трение не учитывать.

Второй закон Ньютона в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:

m·a = g·m·sinφ – F·cosφ

0 = g·m·cosφ + F·sinφ – N

Ответ: a = g·sinφ – (F/m)·cosφ

2.1.9. Доска, имеющая массу М, может двигаться без трения по наклонной плоскости, образующей угол φ с горизонтом. В каком направлении и с каким ускорением а должен бежать по доске человек массой m, чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?

0 = g·(M + m)·sinφ – F

m·a = F

Ответ: a = g·[(M+m)/m]·sinφ

2.1.10. Два тела связаны легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, установленный на наклонной плоскости (см. рис.). Найти ускорение, с которым будут двигаться эти тела. Трением можно пренебречь. Массы тел равны m = 10 г и М = 15 г. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол φ = 30⁰.

m·a = g·m – T

– M·a = – T + g·M·sinφ

Ответ: a = g·(m – M·sinφ)/(M + m)

2.1.11. На наклонной плоскости, образующей угол φ с горизонтом, стоит кубик массой m. Наклонная плоскость находится в лифте, движущемся с ускорением а, направленным вверх. Определить силу нормального давления кубика на плоскость. При каких значениях коэффициента трения μ между кубиком и плоскостью кубик не будет соскальзывать вниз?

m·A = m·(g + a)·(sinφ – μ·cosφ)

0 = N – (g + a)·m·cosφ

Ответ: N = (g + a)·m·cosφ

μ = tgφ

2.1.12. Шар массы М лежит в ящике, который соскальзывает без трения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол φ. Определить силы, с которыми шар давит на переднюю стенку и на дно ящика.

Закон сохранения энергии в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:

M·a = g·M·sinφ – N_стенки => N_стенки = 0, т.к. ящик движется с тем же ускорением, что и шар;

0 = N_дна – g·M·cosφ => N_дна = g·M·cosφ

Ответ: N_стенки = 0

N_дна = g·M·cosφ

Контр.:

Груз массы m связан легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массы m₁. Груз m₁ связан легкой нерастяжимой нитью с грузом m₂. Грузы m₁ и m₂ установлены на наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту равен φ. Грузы имеют массы m₁, m₂ и m. Их начальные скорости равны нулю. Коэффициент трения между грузами и наклонной плоскостью равен μ. Чему равны натяжения нитей Т и Т₁₂, связывающих грузы между собой.

Второй закон Ньютона:

a·m₁ = g·m₁·(sinφ – μ·cosφ) – T₁₂

a·m₂ = g·m₂·(sinφ – μ·cosφ) + T₁₂ – T

a·m = – g·m + T

Расчетная часть:

a·m₁ + T₁₂ = g·m₁·(sinφ – μ·cosφ) = A

a·m₂ + T – T₁₂ = g·m₂·(sinφ – μ·cosφ) = B

a·m – T = – g·m = C

Δ = │ m₁ 0 1 │ = – m₂ –m – m₁

│ m₂ 1 –1 │

│ m –1 0 │

ΔT = │ m₁ A 1 │ = C·m₂ – A·m – B·m + C·m₁ = C·(m₁ + m₂) – m·(A + B)

│ m₂ B –1 │

│ m C 0 │

ΔT₁₂ = │ m₁ 0 A │ = C·m₁ – A·m₂ – A·m + B·m₁ = – A·(m + m₂) + m₁·(C + B)

│ m₂ 1 B │

│ m –1 C │

Ответ: T = g·m·(m₁ + m₂)·(1 + sinφ – μ·cosφ)/(m + m₁ + m₂)

T₁₂ = g·(sinφ – μ·cosφ + 1)·m·m₁/(m + m₁ + m₂)