Лекции По Физике Оптике Для Дневников (Переверзев В. Г

14.1. Понятие о колебательных процессах

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Примеры колебаний:

1.колебание величины заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре;

2.колебание грузика, закрепленного на пружине;

3.колебание маятника.

14.1.1. Гармонические колебания

Гармонические колебания - это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса, либо косинуса:

,

или

где A- амплитуда;

ω- круговая частота;

α- начальная фаза;

( ωt + α) - фаза.

14.1.1.1. Фаза колебания

Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: ( ωt + α). Начальная фаза α- это значение фазы в начальный момент времени, т.е. при t= 0.

14.1.1.2. Амплитуда колебания

Амплитуда колебания A- это наибольшее значение колеблющейся величины.

14.1.1.3. Круговая или циклическая частота ω

При изменении аргумента косинуса, либо синуса на 2πэти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π.

ω(t + T) + α = ωt + α + 2π,

или

ωT = 2π.

.

Время Tодного полного колебания называется периодом колебания. Частотой ν называют величину, обратную периоду

.

Единица измерения частоты - герц (Гц), 1 Гц = 1 с-1.

Так как

,

то

.

Круговая, или циклическая частоты ωв 2πраз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы со временем. Действительно:

.

14.1.1.4. График гармонического колебания

14.2Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

14.2.1Колеблющиеся системы

Рассмотрим колебания в трех системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C;

б) колебания грузика, прикрепленного к пружине;

в) колебание физического маятника - любого тела, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.

14.2.2 Колеблющиеся величины

q- заряд	x - координата грузика	φ- угол отклонения
14.2.3. Уравнения движения		Уравнение динамики вращательного
Закон Ома (10.7)	Второй закон Ньютона (4.6)
		движения (7.3)

14.2.4. Применим закон движения, т.е. учтем особенности наших систем:

Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований:

Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ. Если рассматривать только малые отклоне-

ния маятника от положения равновесия, то тогда, при φ<< 1, Sin φ ≈ φ и мы имеем:

		.
Введем обозначения:
,	,	,
,	,	.

14.2.5. Дифференциальное уравнение колебательного движения

Для всех трех рассмотренных случаев имеем одно и то же дифференциальное уравнение колебательного движения

.

14.2.6. Решение дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество.

Нетрудно проверить прямой подстановкой, что в нашем случае решение имеет вид:

	,
т.е. является гармонической функцией. Значит уравнение	, это дифференциальное уравнение гармонических ко-
лебаний.

14.3. Сложение колебаний

14.3.1. Векторная диаграмма

Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

Аналитическое задание колеба-	Графическое задание колебательного
тельного движения	движения

Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ(любой физической природы). Вектор , отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания Aи направлен под углом α, равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξдает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.

14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления

Пусть складывается два колебания:

строим векторные диаграммы и складываем векторы:

По теореме косинусов .

Так как

,

то

.

Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

.

14.3.3. Сложение колебаний близких частот

Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.

, .

Из тригонометрии:

. Применяя к нашему случаю, получим: