Оглавление
Обратная матрица: определение, необходимые и достаточные условия существования. 2
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. 4
9. 14
10. 15
Выражение векторного произведения через координаты. 18
11. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. 19
Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и c равно нулю. Тогда и только тогда, когда они компланарны. Если аbc = 0, то а, b, c - компланарны. 20
20. Кривые второго порядка - окружность, эллипс: определения, канонические уравнения. 29
21. Кривые второго порядка - гипербола, парабола: определения, канонические уравнения. 30
Формы записи комплексных чисел 32
Показательная форма комплексного числа имеет вид , где – формула Эйлера. 32
24. Функция: основные определения, способы задания. Основные элементарные функции и их графики 36
25.Обратная функция, сложная функция, неявная функция 38
26 40
31. 43
28 вопрос 53
29 вопрос Теоремы конечных пределов 53
30 вопрос Первый замечательный предел 54
47 вопрос Исследование функции с помощью производной: интервалы возростания и убывания 54
48 вопрос Интервалы выпуклости и вогнутости, точка перегиба 54
13. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве. 56
14. Прямая на плоскости: различные виды уравнений прямой. 56
Обратная матрица: определение, необходимые и достаточные условия существования.
Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A дает в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть ее определитель не равен нулю.
Свойства
обратной матрицы:
Как найти обратную матрицу матрицы A
|
A = |
|
2 |
4 |
1 |
|
|
0 |
2 |
1 |
|||
|
2 |
1 |
1 |
Решение: Найдем определитель матрицы A:
|
det(A) = |
2 |
4 |
1 |
= |
|
0 |
2 |
1 |
||
|
2 |
1 |
1 |
= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6
Найдем алгебраические дополнения матрицы A:
|
A11 = (-1)1 + 1· |
2 |
1 |
= 2·1 - 1·1 = 1 |
|
1 |
1 |
|
A12 = (-1)1 + 2· |
0 |
1 |
= -(0·1 - 1·2) = 2 |
|
2 |
1 |
|
A13 = (-1)1 + 3· |
0 |
2 |
= 0·1 - 2·2 = -4 |
|
2 |
1 |
|
A21 = (-1)2 + 1· |
4 |
1 |
= -(4·1 - 1·1) = -3 |
|
1 |
1 |
|
A22 = (-1)2 + 2· |
2 |
1 |
= 2·1 - 1·2 = 0 |
|
2 |
1 |
|
A23 = (-1)2 + 3· |
2 |
4 |
= -(2·1 - 4·2) = 6 |
|
2 |
1 |
|
A31 = (-1)3 + 1· |
4 |
1 |
= 4·1 - 1·2 = 2 |
|
2 |
1 |
|
A32 = (-1)3 + 2· |
2 |
1 |
= -(2·1 - 1·0) = -2 |
|
0 |
1 |
|
A33 = (-1)3 + 3· |
2 |
4 |
= 2·2 - 4·0 = 4 |
|
0 |
2 |
Запишем союзную матрицу:
|
à = |
|
1 |
2 |
-4 |
|
|
-3 |
0 |
6 |
|||
|
2 |
-2 |
4 |
Найдем обратную матрицу:
|
|
= |
|
|
Ответ: A-1 = |
|
1/6 |
-1/2 |
1/3 |
|
|
1/3 |
0 |
-1/3 |
|||
|
-2/3 |
1 |
2/3 |
Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.