29 Вопрос Теоремы конечных пределов

Теорема

Предел суммы (разности) 2-х функций равен сумме (разности) их пределов.

Следствие - функция может иметь только один предел при х стремящемуся к х0.

Теорема

Предел произведения 2х функций равен произведению их пределов.

Следствие - постоянный множитель можно выносить за знак предела .

Следствие - Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.

Теорема

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя , если предел знаменателя не равен нулю.

30 Вопрос Первый замечательный предел

Lim sin(x)/x = 1 при х стремящемуся к х0 - предел отношения синуса к его аргументу равен 1 , когда аргумент стремится к 0.

47 Вопрос Исследование функции с помощью производной: интервалы возростания и убывания

Теорема необходимого условия:

Если дифференцируемая на интервале (а;b) функция f(x) возростает(убывает) , то f ' (x) больше или равно 0 (f ' (x) меньше или равно 0 ) для всех х принадлежащих интервалу (а:b).

Теорема достаточного условия:

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а:b) и f ' (x)>0 (f ' (x)<0) для всех х интервала (а;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале(а;b).

48 Вопрос Интервалы выпуклости и вогнутости, точка перегиба

Выпуклой вниз на интервале(а:b) - гр. дифференцируемой ф-ции f(x) , если он расположе выше любой касательной на этом интервале .

Выпуклой вверх - гр. функции f(x) на интервале (а;b), если он расположен ниже любой касательной.

Точка перегиба- точка графика непрерывной функции f(x), отделяющая его части различной выпуклости.

Теорема

Если функции f(x)во всех точка интервала (а;b)имеет отрицательную вторую производную , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если проиводная второго порядка больше нуля , тогда выпуклый вниз.

Теорема (Достаточное условие существования точек перегиба) Если проиводная второго порядка при переходе через точку х90, в которой она равна 0 или не существует , меняет знак , то точка графика с абсциссой -х0 есть точка перегиба.

13. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве.

14. Прямая на плоскости: различные виды уравнений прямой.

• Определение: вектора a1, ..., an линейно независимы если x1a1 + ... + xnan = 0 тогда и только тогда, когда x1 = 0, ..., xn = 0. В противном случаем данные вектора НЕ являются линейно зависимыми. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости. Любую прямую, лежащую в данной плоскости можно разложить через данные базисы в виде: а=х1*е1+х2*е2, где: а - раскладываемый вектор х1,х2 - коэффициенты, определяются однозначно е1,е2 - базисы Аналогично в пространстве, три любых некомпланарных вектора являются базисными. Любую прямую лежащую в этом пространстве можно разложить через данные три базиса: а=х1*е1+х2*е2+х3*е3 Обозначения аналогичны. Уравнения прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом: y=k*x+b, где k = tg(a) 1)Если к = 0, следовательно прямая параллельна оси Ох, те у=b Общееуравнение прямой: A*x+B*y+C=0. где A,B,C - произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно Частные случаи: 1) Если А=0, то прямая параллельна оси Ох 2) Если В=0, то прямая параллельна оси Оу 3)Если С=0, то прямая проходит ч/з начало координат Уравнение прямой, проходящей ч/з данную точку в данном направлении y-y0=k(x-x0), где x0 и y0 - координаты точки M, ч/з которую проходит прямая Уравнение прямой, проходящей ч/з две точки (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1), где x1 и y1 - координаты точки M1 х2 и у2 - координаты точки М2 Если х2=х1, то прямая параллельна оси Оу Если у2=у1, то прямая параллельна оси Ох Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая пересекает ось Ох в точке M1(а,0), а ось Оу в точке М2(0,b) Тогда: x/a+y/b=1 Уравнение прямой, проходящей ч/з данную точку перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0, где х и у - координаты произвольной точки М х0 и у0 - координаты вектора ММ0 А и В - координаты вектора n перпендикулярного вектору ММ0 (вектор нормали) Полярное уравнение прямой r*cos(f-a)=p, где р - расстояние от точки О (не лежащей на данной прямой) до данной прямой (данное расстояние - перпендикуляр, далее как n) а - угол между осью Ox (или же любая другая произвольная горизонтальная ось) и n r - расстояние (далее как ОМ) от точки О до точки M (M лежит на данной прямой) f - угол между OM и осью Ох (или же любой другой произвольной горизонтальной осью) Нормальное уравнение прямой Возьмем полярное уравнение прямой Тк r*cos(f) = x, и r*sin(f)=y, то подставив в полярное уравнение прямой получаем: x*cos(a)+y*sin(a)-p=0

•  

Базисы и линейные зависимости взяты не из учебника, тк их определений там нет