6.2. Коэффициент корреляции

Количественная оценка тесноты взаимосвязи двух случайных величин осуществляется с помощью коэффициента корреляции. Вид коэффициента корреляции и, следовательно, алгоритм его вычисления зависят от шкалы, в которой производятся измерения изучаемых показателей и от формы зависимости.

Значение коэффициента корреляции может изменяться в диапазоне от -1 до +1:

.

Абсолютное значение коэффициента корреляции показывает силу взаимосвязи. Чем меньше его абсолютное значение, тем слабее связь. Если он равен нулю, то связь вообще отсутствует. Чем больше значение модуля коэффициента корреляции, тем сильнее связь и тем меньше разброс в значениях при каждом фиксированном значении. Знак коэффициента корреляции определяет направленность взаимосвязи: минус – отрицательная, плюс – положительная (см. рис. 5).

Рис.5а. Корреляционные поля при различных значениях коэффициента корреляции

Рис.5б. Коэффициенты корреляции при различной форме корреляционного поля.

Коэффициент корреляции отражает линейную зависимость и совсем не подходит для описания сложных, нелинейных зависимостей (нижняя строка).

Достаточно условно может быть использована следующая классификация взаимосвязей по значению коэффициента корреляции (см. табл. 1).

Таблица 2 Интерпретация значений коэффициент корреляции

1		функциональная зависимость
2		сильная статистическая взаимосвязь
3		средняя статистическая взаимосвязь
4		слабая статистическая взаимосвязь
5		очень слабая статистическая взаимосвязь
6		корреляции нет (линейной)

6.3. Коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона

Коэффициент корреляции Браве-Пирсона применим в том случае, если измерение значений исследуемых признаков производятся в шкале отношений или интервалов и форма зависимости является линейной. Коэффициент корреляции характеризует только линейную взаимосвязь (степень ее тесноты). Линейная взаимосвязь двух случайных величин состоит в том, что при увеличении одной случайной величины другая случайная величина имеет тенденцию возрастать (убывать) по линейному закону.

6.3.1 Условия применения коэффициентов корреляции Пирсона: метрическая шкала, нормальное распределение переменных, прямолинейная связь, отсутствие дисперсионных выбросов.

Коэффициент корреляции равен отношению корреляционного момента (ковариации) к произведению стандартных отклонений:

,

где для непрерывных случайных величин:

;

;

,

для дискретных случайных величин:

.

.

В этих формулах ,- математические ожидания случайных величини,– вероятность принятия случайными величинами x и y значенийи, а– плотность распределения системы.

Для дисперсий и корреляционного момента справедливы следующие оценки:

;

;

.

где и– средние значения, являющиеся оценками для соответствующих математических ожиданий. Поэтому формула для коэффициента корреляции может быть записана в виде

,

либо

(ско – выборочные оценки).

Или

(ско – генеральная)