- •Современные проблемы науки в области технологии машиностроения
- •Введение
- •1. Методология математического моделирования технологических машин и оборудования пищевых производств
- •1.1. Основные понятия планирования эксперимента (активный эксперимент)
- •Полный и дробный факторный эксперимент
- •Проведение эксперимента на объекте
- •Проверка воспроизводимости эксперимента
- •Получение оценок коэффициентов модели
- •Проверка значимости коэффициентов модели
- •Доверительный интервал коэффициентов
- •Проверка адекватности математической модели
- •Интерпретация модели
- •Продолжение аппроксимирующего эксперимента
- •1.2. Особенности обработки данных при пассивном эксперименте
- •Понятие о методе наименьших квадратов
- •2. Решение задачи оптимизации технологических машин и оборудования пищевых производств методами линейного программирования
- •2.1. Алгоритм решения простых задач условной оптимизации
- •2.2. Решение задачи линейной оптимизации средствами Excel и Mathcad
- •3. Варианты домашнИх заданиЙ
- •Содержание задания
- •Список ЛитературЫ
- •Современные проблемы науки в области технологии машиностроения
Получение оценок коэффициентов модели
Параметры уравнения модели регрессии находятся методом наименьших квадратов из условия минимума величины . Для линейной модели с р-факторами при ПФЭ коэффициенты независимы и вычисляются по формулам
bj = , j = 0, …, p.
Т. е. столбец соответствующего фактора умножается на столбец и сумма почленных произведений делится на число опытов в матрице планирования (без учета параллельности). Аналогично вычисляются коэффициенты для взаимодействий факторов: bjl = .
Проверка значимости коэффициентов модели
Этот этап включает проверку гипотезы H0: = 0, где – теоретический коэффициент, оценка которого b является случайной вели-чиной, и основан на вычислении статистики Стьюдента t = b / Sb, где Sb = . При использовании ПФЭ величины Sb для каждого из коэффициентов минимальны и равны (следствие ортогональности матрицы планирования). Для дробных реплик коэффициенты регрессии имеют большую дисперсию, чем коэффициенты, определенные по данным ПФЭ.
Доверительный интервал коэффициентов
Критическая область определяется неравенством
b – t1– Sb b + t1– Sb,
где t t1–, t1– – квантиль t-распределения с числом степеней свободы n (m – 1), с которым определялась дисперсия .
Для ортогонального планирования все незначимые оценки могут быть приравнены к нулю, и соответствующие им члены уравнения регрессии отбрасываются без пересчета всех остальных оценок коэффициентов.
Незначимость оценок коэффициентов может быть обусловлена следующими причинами:
1) соответствующий фактор (или взаимодействие) не имеет функциональной связи с откликом Y;
2) эксперимент производится в окрестностях частного экстремума по соответствующему фактору;
3) интервал варьирования соответствующего фактора выбран малым;
4) дисперсия воспроизводимости слишком велика, т. е. на фоне "шума" выделить влияние данного фактора невозможно.
Проверка адекватности математической модели
Это действие сводится к проверке гипотезы об однородности дисперсий воспроизводимости и адекватности . Дисперсия адекватности характеризует рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии (аналогична при регрессионном анализе)
= ,
где l – число значимых коэффициентов модели у = f ().
Адекватность проверяют с помощью критерия Фишера:
F = / ,
где .
Для уровня значимости находится критическое значение F с числом степеней свободы n – 1 и n (m – 1). Модель является адекватной при F F.
Решение о проведении дальнейших исследований принимается в зависимости от возможной ситуации.
1. Если коэффициенты регрессии значимы и линейная модель адекватна, то модель объекта можно считать построенной. При условии близости отклика к оптимальному значению fmin исследования можно закончить.
2. Если все коэффициенты регрессии незначимы (кроме b0), а линейная модель адекватна, то необходимо расширить интервал варьирования или увеличить точность эксперимента (снизить ) за счет большего числа параллельных опытов. Увеличение интервалов варьирования приводит к увеличению абсолютных величин коэффициентов регрессии.
3. Если линейная модель неадекватна, то это означает, что поверхность отклика не удается аппроксимировать плоскостью. В этом случае необходимо уменьшить интервалы варьирования, перенести нулевую точку варьирования или использовать более сложную модель – добавить взаимодействия факторов, т. е. перейти к нелинейным моделям. При сужении области экспериментирования необходимо помнить об ограничениях, накладываемых на минимальную величину xj.
4. Если коэффициенты регрессии значимы, а план эксперимента является насыщенным, то адекватность проверить невозможно, так как в этом случае число степеней свободы, с которым определяется , n – l = 0. Проверка возможна, если число коэффициентов модели меньше числа точек факторного пространства, в которых измерялся отклик.
В этом случае можно провести дополнительные измерения в некоторой точке, например в , тем самым увеличив n.