с

3. Симметрия, асимметрия, инвариантность

Симметрия – однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований. В искусстве симметрия выступает как признак гармоничной композиции, в математике характеризуется как отражение (зеркальное), как свойство геометрических фигур, как инвариантность (неизменность) структуры объекта относительно его преобразований. Понятие симметрии выходит далеко за рамки физико-математического знания и, будучи органически связано с представлениями о сходстве, повторяемости, порядке, ритме, цикле, форме и т. п., восходит к самым истокам человеческой культуры. Симметрия – это признак полноты и совершенства. Лишившись элементов симметрии, предмет утрачивает свое совершенство и красоту.

Создание понятий «симметрия» и «асимметрия» приписывается современнику Пифагора – Гиппасу (VI век до н. э.). Пифагореец Гиппас термин «симметрия» – соразмерность, употреблял как синоним «порядка», «упорядоченности». Идеи симметрии и числовой гармонии были характерны не только для пифагорейцев и Пифагора, но содержались в концепции периодического возникновения и уничтожения космоса как у Анаксимандра и Анаксимена, так и в индийских ведах, в учении Анаксагора об уме как принципе красоты и порядка. Атомистика Левкиппа, Демократа и Эпикура с ее концепцией о пустоте – прообразе трехмерного бесконечного однородного и изотропного пространства – и геометричности атомов и амеров также существенно опиралась на идеи симметрии.

Гармония (симметрия) состоит из противоположностей. В пространственной симметрии противоположности явно видны. Например, правая и левая кисти рук человека. Таких противоположностей древние ученые насчитали десять пар, например, чет — нечет, прямое — кривое, правое — левое и т.д.

Прекрасные образы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Большинство зданий зеркально симметричны. Это обусловлено их функциональной природой. Общие планы зданий, архитектура фасадов, оформление внутренних помещений, орнаменты, карнизы, колонны, потолки, если их рассматривать с точки зрения присутствующих в них пространственных закономерностей, можно описать той или иной группой симметрии материальных фигур.

В науку симметрия вошла в 30-х гг. XIX в. в связи с открытием Гесселем 32 кристаллографических классов и появлением в математике теории групп. Кристаллы наделены наибольшей величиной симметрии из всех реальных объектов. Симметрия является основным предметом изучения кристаллографии. Кристалл представляет собой трехмерное регулярное мно­жество составляющих его элементов: нейтральных атомов, за­ряженных ионов, молекулярных комплексов и т. п. Операция симметрии или преобразование симметрии кристалла – это перестройка, взаимный обмен или перестановка составляющих элементов, которая оставляет неизменными, или инвариантными, относительные положения этих элементов и, таким образом, дает эквивалентный в отношении их ориентации кристалл.

Основным свойством симметрии кристалла является пространственная периодичность, которая характеризует расположение составляющих элементов. Трансляционная симметрия означает, что за начало координат можно выбрать любой узел, содержащий атом данного сорта. При перемещении начала координат из одного узла в другой должны получаться тождественные физические результаты. Кроме трансляционной симметрии кристалл может иметь симметрию относительно поворотов. Возможно сочетание поворотной симметрии и трансляции. В результате операций симметрии одни узлы встают на место других.

Четыре категории симметрии:

1) симметрия – однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований.

2) асимметрия – это несимметрия, т. е. такое состояние, когда симметрия отсутствует. На разном уровне развития материи присутствует то симметрия (относительный порядок), то асимметрия (тенденция нарушения покоя, движение, развитие). Идеальной симметрии в природе не существует, реальные даже самые совершенные кристаллы имеют элементы асимметрии, которые связаны с наличием примесей.

3) дисимметрия – внутренняя, или расстроенная, симметрия, т.е.отсутствие у объекта некоторых элементов симметрии. По Пастеру, дисимметричной является та фигура, которая не совмещается простым наложением со своим зеркальным отражением.

антисимметрия – противоположная симметрия. Она связана с переменой знака фигуры: частицы – античастицы, выпуклость – вогнутость, черное – белое, растяжение – сжатие, вперед – назад и т.д. Операция антисимметрии состоит из обыкновенных операций симметрии, сопровождаемых переменой одного или нескольких признаков фигуры.

Операции симметрии:

отражение в плоскости симметрии (отражение в зеркале);

поворот вокруг оси симметрии (поворотная симметрия);

отражение в центре симметрии (инверсия);

перенос (трансляция) фигуры на расстояние;

винтовые повороты.

Отражение – это наиболее известная и чаще других встречающаяся в природе разновидность симметрии. Зеркало в точности воспроизводит то, что оно «видит», но рассмотренный порядок является обращенным: правая рука у вашего двойника в действительности окажется левой, так как пальцы расположены на ней в обратном порядке. Зеркальную симметрию можно обнаружить повсюду: в листьях и цветах растений, архитектуре, орнаментах. Человеческое тело, если говорить лишь о наружном виде, обладает зеркальной симметрией, хотя и не вполне строгой. Более того, зеркальная симметрия свойственна телам почти всех живых существ.

Примером поворотной симметрии могут служить цветы многих растений, поворачиваясь вокруг оси симметрии на некоторый угол, они переходят в себя. Примером объекта наивысшей симметрии, характеризующим операцию отражения в центре симметрии, является шар (в природе пыльца и споры растений). Данной симметрией обладают также диски (в астрономии - галактики). Трансляции – это перемещения, в результате перемещения фигура переходит сама в себя, примеры любой периодический узор, кристаллические решетки кристаллов. Винтовые повороты – комбинирование трансляции с поворотом. Пример винтовой симметрии – расположение листьев на стебле многих растений.

Принципы симметрии делятся на пространственно-временные (геометрические или внешние – сдвиги и повороты системы отсчёта, сдвиг во времени, преобразования при переходе из одной инерциальной системы в другую) и внутренние (это законы сохранения электрических, барионных и лептонных зарядов), описывающие свойства элементарных частиц.

Основная характерная черта физических законов – то, что они основаны на симметриях. Симметричным является объект, который в результате определенных изменений или преобразований остается неизменным, инвариантным.

Инвариантность – это способность какой-либо величины не изменяться при преобразованиях.