Ankilov

Откуда находим U уравнения имеет вид

2x / 1 x2 , U ln 1 x2 C .	Следовательно, общее	решение
y ln 1 x2 C ln x . Для	отыскания частного	решения,

удовлетворяющего условию y(e) 0 , положим	x e,	y 0 . Получим:	0 ln 1 e2 C ,
откуда C ln 1 e2 .

Таким образом, решение задачи Коши имеет вид y ln 1 x2 ln x . 1 e2

Пример 6.1.10. Решить задачу Коши

	2 y ln y y x dy ydx 0,						y(0) 1.
	Решение. Уравнение можно привести к уравнениям вида
	dy	y		,	dx	2 y ln y y x .
		2 y ln y y x			dy
	dx						y
	Первое уравнение для функции		y y(x)			нелинейное, второе после элементарных

преобразований приводится к виду

dx

1

x 1 2ln y.

(6.3)

dy

y

Последнее уравнение является линейным

относительно функции x x( y) (считаем

искомой функцией x , а аргументом y ). Представляем x в виде x U ( y)V ( y)

и подставляем

в (6.3):

VU V V / y U 1 2 ln y.

V

Функции U и V находим из системы V y

0,

VU 1 2ln y. Из первого уравнения

имеем:

dV dy ,

ln

V

ln

y

lnC ,

V C / y;

V

y

второе уравнение системы при C 1 дает:

y 1U 1 2 ln y.

Отсюда

U y 2 y ln y dy y2

ln y C .

Тогда

общее

решение

имеет вид

x y ln y C / y . Подставляя в это выражение значения x 0,

y 1,

находим C 0 . Задача

Коши имеет решение: x y ln y .

Признак. Уравнение Бернулли имеет вид y P(x) y Q(x) y ,

где –

вещественное

число, 0,

1.

Метод решения: Замена

z(x) y1 , переводящая уравнение Бернулли в линейное

уравнение z (1 )P(x)z 1 Q(x) .

Пример 6.1.11. Найти решение задачи Коши:

y y cos x y2 cos x,

y(0) 1 .

161

Решение. Сделаем замену z(x) 1/ y(x) . Получаем:

		z	1		1
	z2		z cos x z2 cos x, z					z cos x cos x .
	Последнее уравнение		–	линейное. Его				общее решение z 1 Ce sin x , C –

произвольная постоянная. Тогда общее решение исходного уравнения y 1 C exp( sin x) 1.

Удовлетворяя начальному условию, получим C 2 . Решение задачи Коши имеет вид y 1 2 exp( sin x) 1 .

6.1.5. Уравнения в полных дифференциалах

Признак. Уравнение в полных дифференциалах имеет вид функции M (x, y) и N(x, y) удовлетворяют условию

M (x, y) N(x, y) .

y x

M (x, y)dx N(x, y)dy 0 , где

(6.4)

	Метод	решения. Соотношение (6.4)			равносильно	существованию		функции
F F(x, y) , удовлетворяющей условиям:
				F(x, y) M (x, y),	F(x, y) N (x, y) .			(6.5)
				x	y
	Следует найти функцию F(x, y) . Интегрированием из первого условия (6.5) получим
				F(x, y) M (x, y)dx ( y) ,				(6.6)
где ( y) – пока произвольная функция. Подставляя F(x, y) из (6.6)							во второе уравнение
		y
(6.5),	имеем			M (x, y)dx ( y) N (x, y) , откуда находим		( y) ,	а затем и	( y) (при
этом	постоянную			интегрирования в выражении	для ( y) можно задать произвольным

конкретным числом). Общий интеграл исходного уравнения имеет вид F(x, y) C , где C – произвольная постоянная.

Пример 6.1.12. Найти общий интеграл уравнения:

			1				1
	sin y y sin x			dx x cos y cos x				dy 0 .
			x
							y
	Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных
	дифференциалах:
	M sin y y sin x			1	,	N x cos y cos x			1	,
				x					y
	M	cos y sin x,				N cos y sin x .
	y					x

162

Итак, My Nx – верно. Тогда имеем:

F			sin y y sin x	1	,
	x			x
	1				y cos x ln		x		( y) .
F sin y y sin x	x	dx ( y) x sin y

Далее, подставляя F в уравнение

F

x cos y cos x

1

, находим ( y) :

y

y

1

,

x cos y cos x ( y) x cos y cos x y

1

ˆ

( y) ln

y

ln

C

.

( y) y ,

ˆ

Тогда F(x, y) xsin y y cos x ln xyC . Общий интеграл исходного уравнения имеет

ˆ

вид (положили C 1 ): xsin y y cos x ln xy C , где C – произвольная постоянная.

6.2.Дифференциальные уравнения высших порядков

6.2.1.Дифференциальные уравнения n-го порядка – основные понятия

Задача Коши для д. у. n -го порядка формулируется следующим образом: найти решение д. у.

y

(n)

(n 1)

) ,

(6.7)

F(x, y, y ,..., y

удовлетворяющее начальным условиям:

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y1 , y (x0 ) y2 ,...,

y(n 1) (x0 ) yn 1 .

(6.8)

(n 1)

) :

Теорема 6.2.1. Пусть в уравнении (6.7) функция F(x, y, y ,...y

1.

Непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области D их изменения.

2.

Имеет ограниченные

частные

производные

1-го

порядка по

переменным

(n 1)

в области

D .

y, y ,..., y

Тогда найдется интервал (x0 h; x0 h) , на котором существует единственное решение

д. у. (6.7), удовлетворяющее начальным условиям (6.8).

условия

(6.8)

имеют вид:

Для

уравнения

2-го

порядка

y

F(x, y, y )

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y1 ,

где x0 , y0 , y1 – заданные

числа.

Геометрически это означает, что

требуется

найти интегральную кривую

на

плоскости

xOy , проходящую через точку

M 0 (x0 , y0 )

с заданным углом наклона касательной ( tg y1 ).

Общим решением д. у. (6.7) называется

функция

y (x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,

удовлетворяющая условиям:

163

1.При любых значениях постоянных C1 ,C2 ,...,Cn эта функция является решением д. у.

2.При любых начальных условиях (6.8) найдутся значения C1 ,C2 ,...,Cn такие, что функция y (x, C1 , C2 ,..., Cn ) будет удовлетворять этим условиям.

Любое решение, полученное из общего решения при каких-либо конкретных значениях C1,...,Cn , называется частным решением. Общим интегралом д. у. п-го порядка называется

уравнение вида (x, y,C1,C2 ,...,Cn ) 0 , неявно определяющее общее решение.

Пример 6.2.1.

Показать,

что функция

y C C

e x является

общим

решением

уравнения y y 0 .

1

2

Решение. Находим производные: y C2 e x ,

y C2 e x y , т. е. y

обращает д. у.

y y 0 в тождество по x

при любых значениях C1 и C2 . Далее, пусть даны произвольно

начальные

условия

y(x0 ) y0 ,

y (x0 ) y1 .

Покажем,

что

постоянные C1

и

C2

можно

подобрать так, что y C C

e x

будет удовлетворять этим условиям. Имеем:

y C

C

e x ,

1

2

1

2

y C2e x .

Полагая

x x0 ,

получаем систему

C1 C2e x0

y0 , C2e x0 y1 , из которой

однозначно

определяются

C

2

y ex0

и

C

y

0

y .

Таким

образом,

решение

1

1

1

y y

0

y y ex0 x удовлетворяет поставленным начальным условиям.

1

1

6.2.2. Уравнения, допускающие понижения порядка

Укажем два вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Признак 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка

(К-1) включительно, т. е. младшая производная, входящая в уравнение, есть y( K ) .

Метод решения: замена p y( K ) , понижающая порядок уравнения на К единиц. При этом p p(x) есть функция переменной x .

Пример 6.2.2. Найти общее решение дифференциального уравнения

xy

y

x

2

2

(x 0) .

( y )

Решение. Уравнение не содержит функции

y

и ее производной y .

Введем новую

неизвестную функцию p(x) y (x) . Уравнение примет вид

xp p x

2

p

2

p

p

p

2

,

1

.

(6.9)

x

x

Это однородное уравнение. Введем новую функцию u(x) p(x) / x :

2

du

2

xu

u u

1 u ,

x dx

1 u .

Разделяем переменные и интегрируем

du

dx , ln

u

1 u2

u 1 u2

2Cxu C 2 x2

ln

xC

,

Cx,

1.

1 u2

x

C x2

1

Так как u p / x , то 2Cp C 2 x2

1,

p(x)

.

2

2C

164

Мы

получили

общее решение

уравнения

(6.9).

Учитывая, что

p y ,

имеем

C

2

1

y 2 x

. Отсюда двукратным интегрированием находим y(x) :

2C

y

C x3

1

x C1 ,

y

C

x

4

1

x2 C1 x C2 .

2C

24

4C

6

Признак 2. Уравнение не содержит независимого переменного x .

Метод

решения:

замена

y p( y) .

При

этом

p

рассматривается

как

новая

неизвестная функция от y :

p p( y) . Тогда y

dy

dp

dp

dy

dx

dx

dy

dx

p p,

dy

dp

dp

dp

dy

dp

dy

y

d( p p)

p p

p

p

2

2

p .

dx

dx

dx

dx

dy

dx

p p

dy

dx

( p )

Аналогично находят производные более высокого порядка. Замена понижает порядок

уравнения на единицу.

Пример 6.2.3. Найти решение задачи Коши:

yy

2

y

2

y

y(0)

0,5,

0,25.

( y )

,

y

(0)

Решение. Вводим новую функцию p( y) y . Имеем

ypp p2

y2 p,

p p / y y .

(6.10)

Это линейное уравнение для p( y) . Найдем общее решение однородного уравнения:

p

p

0,

dp dy

dp

dy

,

ln

p

ln

y

ln

C

,

p Cy.

y

p

y

p

y

Считая C C( y) функцией и подставляя

p C( y) y в уравнение (6.10), получим:

C( y) y C1 , p y( y C1 ),

dy

y( y C1 ) .

C ( y) y y,

C ( y) 1,

dx

Разделяем переменные и интегрируем

dy

y

C 0 .

dx, ln

xC C

2

,

y( y C1 )

y C1

1

1

Последнее соотношение есть общий интеграл исходного уравнения. Кроме того,

уравнение

имеет

решения

y C,

y

1

.

Удовлетворим

начальным

условиям.

C

x

1

1

1

Соотношение

y

y( y C1 )

с

учетом

условия для

C1 1;

y (0) дает

4

2 C1

2 ,

согласно начальному условию для y(0)

из общего интеграла получаем

C2

0 . Функции

y C и y 1/ C x начальным условиям не удовлетворяют.

Ответ:

ln

y

x

или y

ex

.

y 1

1

ex

165

6.3. Линейные дифференциальные уравнения

6.3.1. Основные понятия

Линейным однородным дифференциальным уравнением (д. у.) n-го порядка называется уравнение вида

pn (x) y(n) pn 1 (x) y(n 1) pn 2 (x) y(n 2)

... p0 (x) y 0 ,

(6.11)

где pn (x),

pn 1 (x),

..., p0 (x)

– функции, непрерывные на интервале (a,b),

pn (x) 0 .

Например,

уравнение

y'' 3y' 2 y 0

является

линейным однородным

уравнением

второго

порядка,

причем

n = 2,

p2 (x) 1,

p1 (x) 3 ,

p0 (x) 2 .

Уравнение

y''' x2 y'' xy' y 0

является

линейным

однородным при

n = 3,

p3 (x) 1 ,

p2 (x) x2 ,

p1 (x) x , p0 (x) 1.

Теорема 6.3.1. Если функции y1 y1 (x)

и

y2 y2 (x)

есть решения уравнения (6.11), то

функция

C1 y1 C2 y2

также

является

решением

уравнения

(6.11)

при

любых значениях

констант C1 и C2 .

Пусть имеем систему из n функций

y1 (x),

y2 (x), ..., yn (x) , определенных

на

интервале (a,b) . Функции y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)

называются линейно зависимыми на (a,b) ,

если существуют числа C1 ,

C2 , ...,

Cn , не все равные 0 , такие, что для всех

x (a,b)

справедливо

тождество

C1 y1 (x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x) 0 .

Если же

это

тождество

выполняется

только при

C1 C2

... Cn =0, то

функции

y1 (x),

y2 (x),

..., yn (x)

называются линейно независимыми на (a,b) .

Пример 6.3.1. Доказать, что функции 1,

cos2 x,

sin2 x

образуют линейно зависимую

систему на интервале ( ; ) .

Решение.

Действительно,

равенство

C 1 C

2

cos2

x C

3

sin 2

x 0

выполняется

для

1

всех x ( ; )

при C1 1,

C2

C3 1. Значит, функции линейно зависимые.

Пример 6.3.2. Доказать, что система функций

1,

x,

x2 линейно

независимая

на

интервале ( ; ) .

Решение.

Равенство

C 1 C

2

x C

3

x2

0

должно

выполняться

при

любом

1

x ( ; ) . Положим здесь

x 0 , в

результате

получим

C1 0 .

Равенство

примет

вид

C2 x C3 x2 0 .

Дифференцируя

обе

части равенства,

получаем

C2 2C3 x 0 ,

откуда,

полагая x 0 ,

находим C2

0 ,

тогда

C3

0 . Так как все значения C1 ,

C2 ,

C3

равны 0, то

система функций линейно независимая.

Пусть n функций y1 (x),

y2 (x), ...,

yn (x)

имеют производные (n 1) -го порядка.

166

Определитель

	y1 (x)		y2 (x)		...	yn (x)
W (x)					...			(6.12)
	y1 (x)		y2 (x)			yn (x)
	...		...		...	...
	y(n 1)	(x)	y(n 1)	(x) ...		y(n 1)	(x)
	1		2			n

называется определителем Вронского, или вронскианом. Вронскиан является функцией от x , определенной в некотором интервале.

Теорема 6.3.2. Если определитель Вронского системы функций y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) отличен от 0 в любой точке интервала (a,b) , то функции образуют линейно независимую

систему на этом интервале.

Пример 6.3.3. Доказать, что функции

образуют линейно независимую систему на

интервале ( ; ).

Решение. Находим вронскиан системы функций y

ex , y

2

e2 x :

1

W (x)

ex

e2 x

ex

e2 x

2e3x e3x e3x .

(ex )

(e2 x )

ex

2e2 x

Так как W (x) 0 , то система функций линейно независимая.

Заметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы 6.3.2, вообще говоря, неверно.

Теорема 6.3.3. Пусть функции y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) являются решениями линейного однородного уравнения n -го порядка (6.11). Тогда:

1.Определитель Вронского системы функций либо равен 0 в любой точке (a;b) , либо отличен от 0 в любой точке (a;b) .

2.Система функций является линейно независимой системой на (a;b) тогда и только тогда, когда вронскиан системы отличен от 0 в любой точке интервала (a;b) .

3.Система функций является линейно зависимой системой на (a;b) тогда и только тогда, когда вронскиан системы равен 0 в любой точке (a;b) .

Фундаментальной системой решений линейного однородного д. у. n-го порядка (6.11)

называется система функций y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) , удовлетворяющая условиям:

1.Каждая функция системы является решением д.у. (6.11).

2.Система функций линейно независимая.

Теорема 6.3.4. Общее решение линейного однородного д. у. n-го порядка (6.11) имеет

вид y C1 y1 (x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x) ,		где	C1 ,C2 ,..,Cn	– произвольные константы, а
функции y1 (x), y2 (x), ...,	yn (x) образуют фундаментальную систему решений д. у. (6.11).
Линейным неоднородным д. у. n -го порядка называется уравнение
pn (x) y(n) pn 1 (x) y(n 1) pn 2 (x) y(n 2)				... p0 (x) y f (x) .	(6.13)
Теорема 6.3.5. Общее решение линейного неоднородного д. у. (6.13) имеет вид суммы
y y0. y0.0. y ч.н. общего	решения	y0.0.	линейного	однородного уравнения	(6.11),

соответствующего данному, и какого-либо частного решения y ч.н. неоднородного уравнения

(6.13).

Учитывая утверждение теоремы 6.3.4, общее решение линейного неоднородного д. у. n_го порядка можно записать в виде

y C1 y1 (x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x) y ч.н..

167

6.3.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Признак. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

имеет вид

an y(n) an 1 y(n 1) ... a1 y a0 y f (x) ,

(6.14)

где a0 , a1, ..., an – постоянные ( an 0 ).

Метод решения. Общее решение уравнения (6.14) складывается из общего решения

y0.0. однородного уравнения
an y(n) an 1 y(n 1) ... a1 y a0 y 0	(6.15)

ичастного решения y ч.н. неоднородного уравнения (6.14): y y0.0. y ч.н..

1.Для нахождения y0.0. составляем характеристическое уравнение

a

n

K n

a

n 1

K n 1 ... a K a

0

0 .

1

Пусть K1 ,

K2 ,

..., Kn – его корни, причем корень повторяется столько раз, какова его

кратность. Каждому из корней K1 , K2 ,

..., Kn

соответствуют в выражении для

y0.0.

свои

слагаемые. Именно:

K1 K2 ... Km

m , то ему

если корень

–

действительный корень кратности

соответствуют

в выражении

для

y

0.0.

m

слагаемых

C e x C

e x x ... C

m

e x xm 1 ,

где

1

2

Ci ,i 1,...m – произвольные постоянные. Например, если корень имеет кратность

m 1, то

ему соответствует одно слагаемое C e x ; если m 2 – два слагаемых: C e x C

e x x ;

1

1

2

если K1 i и K2

i

– пара комплексно-сопряженных корней кратности

m , то соответствующие (2 m ) слагаемых в выражении для y0.0. имеют вид

C e x cos x C

2

xe x cos x

... C

m

xm 1e x cos x

1

Cm 1e x sin x Cm 2 xe x sin x ... C2m xm 1e x sin x,

где Ci (i 1,2,...,2m)

– произвольные постоянные.

Например,

если

K1,2 i

–

корни

кратности

1, то

им

в выражении

для

y0.0.

соответствуют слагаемые C e x

cos x C

e x sin x ;

1

2

y0.0.

если эти корни имеют кратность

2, то в выражении для

войдут

слагаемые

C e x cos x C

2

xe x

cos x C

e x sin x C

4

xe x

sin x .

1

3

Частные случаи. Рассмотрим уравнение 2-го порядка a2 y'' a1 y' a0 y 0 ,

a2

0 . Его

характеристическое уравнение a

2

k 2 a k a

0

0

есть квадратное уравнение. Различают три

1

случая:

дискриминант уравнения

Д а2

4а

2

а

0

0 ,

тогда характеристическое уравнение

1

имеет два различных действительных корня К1 и К2, поэтому y

o.o.

C eК1x

C

eК2 x ;

1

2

Д а2

4а

2

а

0

0 ,

тогда

корень

только

один:

К1 = К2 = К,

поэтому

1

yo.o. C1eКx C2eКx x ;

168

Д а12 4а2 а0 0 , тогда квадратное уравнение имеет два различных комплексных

корня K1,2 i ( 0 ). Поэтому yo.o. C1e x cos x C2 e x sin x .

2. Частное решение y ч.н. неоднородного уравнения (6.14) находим методом подбора,

который можно применить, в частности, в случае, когда вид правой части уравнения (6.14) следующий:

f (x) e x P (x)cos x Q

m

(x)sin x ,

(6.16)

s

где Ps (x) и Qm (x) – многочлены

степени

s

и

m соответственно; ,

–

некоторые

действительные числа. При этом y ч.н. необходимо искать в виде

y ч.н. x

k

e

x

~

~

x ,

(6.17)

P

(x) cos x Q (x) sin

где

max s, m ;

~

(x);

~

(x)

– многочлены степени с неопределенными

P

Q

коэффициентами;

k есть кратность числа ( i ) как корня характеристического уравнения

если

( i ) не является корнем, то k = 0 .

Частные случаи. Если f (x) Ps (x)

– многочлен степени s

(тогда в

(6.16) 0 ),

то

y ч.н. x

k ~

(x) ,

где

~

– многочлен степени

s

с неопределенными коэффициентами;

Ps

Ps (x)

k

–

кратность

нулевого

корня K i 0

(т. е. кратность

числа «ноль»

как

корня

характеристического

уравнения).

Например,

если

K 0

не

является

корнем

характеристического

уравнения, то

y ч.н.

~

(x) ;

если

K 0

–

корень

кратности

1, то

Ps

~

если

K 0

–

корень

кратности 2,

то

y ч.н. x

2

~

если

K 0

–

корень

y ч.н. xPs (x) ;

Ps (x) ;

кратности 3, то y ч.н. x

3

~

Ps (x) и т. д.

s , –

Если

f (x) e x P (x)

(в

(6.16) 0 ),

где

P (x)

многочлен степени

некоторое

s

~

~

s

число, то

y ч.н.

= x

e

x

(x) ,

где

– многочлен степени s с неопределенными

Ps

Ps (x)

коэффициентами;

k

–

кратность

числа

как

корня

характеристического

уравнения.

Например, если число

не является корнем, то y ч.н. = e

x

~

(x) ; если

– корень кратности 1,

Ps

то

y ч.н.

xe

x ~

(x) ;

если

– корень

кратности

2,

то y

x

2

e

x ~

и

т. д. Все

Ps

ч.н.

Ps (x) ,

рассуждения справедливы для случая s 0 , когда Ps (x) a const,

~

~

const .

Ps

(x) a

Если

f (x) Ps (x)cos x Qm (x)sin x

(в

(6.16)

0 ),

то

y ч.н. x

~

~

где

k

–

кратность

числа

K i

как

корня

P

(x) cos x Q (x) sin x ,

характеристического уравнения, max s, m .

Если

f (x) e x a cos x bsin x ,

где

,

a,

b

–

некоторые

числа

(в

(6.16)

Ps (x),

Qm (x)

–

~

многочлены

нулевой

степени,

т. е.

s m 0 ),

то

x

~

~

~

y ч.н. x e

где

b

–

подлежащие

определению

произвольные

a cos x b sin x ,

a,

постоянные,

k

–

кратность числа

K i

как корня характеристического уравнения.

В частности,

при

0

f (x) a cos x bsin x ,

y ч.н. x

~

~

0

a cos x b sin x , а при

имеем f (x) ae

x

,

~

e

x

.

y ч.н. ax

169

Замечание 1. Когда выражение (6.16) содержит или только sin x , или только cos x , частное решение y ч.н. необходимо искать в виде, содержащем слагаемые и с sin x , и с

cos x .

Замечание 2. Если правая часть уравнения (6.14) содержит несколько слагаемых вида (6.16), то частные решения находятся для каждого слагаемого отдельно и затем суммируются в выражении для общего решения неоднородного уравнения.

6.3.3. Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных

Признак. Уравнение имеет вид

	y P1 (x) y P2 (x) y Q(x) .						(6.18)
Метод решения. Согласно методу вариации постоянных общее решение уравнения
(6.18) следует искать в виде y C1(x) y1			C2 (x) y2 , где y1 ,		y 2	– фундаментальная система
решений соответствующего однородного уравнения
		y P1 (x) y P2 (x) y 0 .					(6.19)
Функции C1 (x) и C2 (x) определяются из системы:
							(6.20)
	y1C1 y2C2 0, y1C1			y2C2 Q(x) .
Сначала находим C1 ,	C2 , затем интегрированием C1 ,				C2 .
Заметим, что при всяком фиксированном x система (6.20) представляет собой систему
из двух линейных уравнений		относительно		неизвестных		C1 C1 (x)	и C2 C2 (x) .

Определитель матрицы системы (6.20) равен определителю Вронского системы функций y1 (x), y2 (x) . Так как функции y1 (x), y2 (x) образуют фундаментальную систему решений

однородного уравнения (6.19), то определитель Вронского отличен от 0 при любом x . Значит, линейная система (6.20) имеет единственное решение.

Пример 6.3.4. Найти общее решение уравнения:

		y y sin x 5 2	cos x 12 .
Решение. Соответствующее однородное уравнение y y 0 .
Его характеристическое уравнение K 2 1 0 имеет корни								K1,2 i , и общее решение
однородного уравнения имеет вид y0.0. C1 cos x C2 sin x ,						где		y1 cos x,	y2 sin x . Общее
решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде y C1 (x)cos x C2 (x)sin x .
Составляем систему уравнений (6.20) для C1 , C2 :
cos xC1 (x) sin xC2 (x) 0
								.	(6.21)
				5			1
				2	(cos x)		2
sin xC1		(x) cos xC2 (x) (sin x)

170