2.10. Частотные характеристики систем

При подаче на вход системы синусоидального сигнала определенной амплитуды и фазы на выходе, как правило, в установившемся режиме получается также синусоидальный сигнал, но с другой амплитудой и фазой.

Частотной характеристикой называются установившиеся вынужденные колебания на выходе звена y(t), вызванные гармоническим воздействием на его входе x(t).

x(t) xmax sin t;	(2.63)
y(t) ymax sin( t ),
где xmax, ymax – амплитуда на входе и выходе, ω –	частота,
φ – фаза сигнала.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) А( ) – это

зависимость отношения амплитуды сигнала на выходе звена к ампли-
	Д
туде на входе A = ymax/xmax от частоты входного сигнала (рис. 2.10, а).
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) φ( ) – зависи-
А
мость угла сдвига по фазе сигнала на Ивыходе звена от частоты
входного сигнала (рис. 2.10, б).
б
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)

W(jω) – это годограф, построенный на комплексной плоскости [+1; j]
и	в), причем каждой точке
или в полярной системе координат (рис. 2.10,

годографа соответствует определённое значение частоты . Длина

		С	з АЧХ, угол поворота φi из ФЧХ.
вектора годографа Ai берётся
	АЧХ и ФЧХ в совокупности или АФЧХ дает исчерпывающее
представление о динамических свойствах объекта.
	а		б	в
А		φ	ω

ω

Рис. 2.10. Графическое представление частотных характеристик: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФЧХ

Логарифмические частотные характеристики – АЧХ и ФЧХ, представленные в логарифмическом масштабе (рис. 2.11).

35

	L, дБ		Асимптотическая характеристика
	20lgK
		Реальная характеристика	Наклон асимптотической
			характеристики
			lgω
		ω0	ωср
	φ, рад
			lgω

Рис. 2.11. Графическое представление логарифмических частотных характеристик

А	И
ЛАХ – L = f(lgω), ЛФХ – φ = f(lgω).
Параметры L и lgω определяются следующим образом:
б	b	(2.64)
lg b, гдеД10 ;
и		(2.65)
L 20 lg A.

Ордината ЛАХ L змеряется в децибелах [дБ]. ДецибелС– логар фм ческая единица уровней, затуханий и уси-

лений.

1 Б = 10 дБ – это увеличение мощности сигнала в 10 раз. 2 Б = 20 дБ – это увеличение мощности сигнала в 100 раз;

3 Б = 30 дБ – это увеличение мощности сигнала в 1000 раз и т.д. Абсцисса ЛАХ и ЛФХ lgω измеряется в декадах [дек].

Декада – логарифмическая единица частот, соответствующая изменению частоты ω в 10 раз.

Для упрощения анализа логарифмических характеристик применяют асимптотическое упрощение графического представления ЛАХ.

Асимптотическая ЛАХ – это идеализированная ЛАХ, состоящая из асимптот (отрезки горизонтальных и наклонных прямых).

Асимптотическая ЛАХ характеризуется следующими параметрами:

L = 20lgK и lgω = 0 (ω = 1) – начальная точка построения, где K – общий коэффициент передачи системы;

36

ω0 – частота сопряжения, на которой наблюдается изменение наклона асимптотической ЛАХ;

ωср – частота среза – переход L в отрицательную область;

наклон ЛАХ измеряется в децибелах на декаду [дБ/дек].

2.11. Типовые динамические звенья

Типовым динамическим звеном АСР является составная часть модели системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности:

позиционные;

дифференцирующие;

интегрирующие.

Позиционными звеньями являются такиеИзвенья, у которых в установившемся режиме наблюдаетсяДлинейная зависимость между

входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала сигнал на выходе также стремится к постоянному значению.

Дифференцирующими являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производ-

ной по времени от входного сигнала.

Интегрирующими являются такие звенья, у которых выходной
сигнал пропорционален	нтегралуАпо времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его
передаточная функц я	либд фференциальное уравнение. Кроме то-
го, звенья имеют временные частотные характеристики.
Простейшие типовыеидинамические звенья:
идеальное усилительное;
запаздывающее;
С
интегрирующее;

дифференцирующее и реальное дифференцирующее;апериодическое;колебательное;форсирующее.

Идеальное усилительное звено

Звено усиливает входной x сигнал в K раз. Параметр K называ-

ется коэффициентом усиления или передачи. У данного звена от-

сутствуют инерционные свойства, поэтому его переходная характеристика совпадает со статической.

37

Уравнение звена:				у = K∙х.							(2.66)
Передаточная функция
				W(p) = K.							(2.67)
Переходная характеристика (рис. 2.12, а)
				h(t) =K 1(t).							(2.68)
Частотные характеристики имеют вид (рис. 2.12, б)
				A K ;							(2.69)
			L 20lgK ;								(2.70)
				0.							(2.71)
АФЧХ, построенная на комплексной плоскости [+1; j], имеет вид
							И				в).
точки, расположенной на оси действительных значений (рис. 2.12,
		h(t)			а	Д
		K
				А
	б	x = 1(t)								в
		0							t
L, дБ
		и
								jV(ω)
20∙lg K	С		б

lg ω

0

	φ, рад			K
		0		U(ω)
	0		lg ω

Рис. 2.12. Характеристики идеального усилительного звена: а – переходная; б – ЛАХ и ЛФХ; в – АФЧХ

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, рычаги, датчики, безынерционные усилители и др.

38

Звено запаздывания

Выходная величина у на выходе звена запаздывания в точности повторяет входную величинух снекоторым запаздыванием (рис. 2.13, а).

Уравнение звена:

y(t) = x(t – ).

(2.72)

Передаточная функция

W(p) = e- p.

Переходная характеристика (рис. 2.13, а) h(t) = 1(t – ).

Частотные характеристики (рис. 2.13, б) имеют вид

					A 1;
					L 0;
				.
		h(t)						Д t
							а		И
		x = 1(t)			А
		0
		и
			τ							в
L, дБ	б		б							jV(ω)
0					lg ω
	С
φ, рад									0
0

(2.73)

(2.74)

(2.75)

(2.76)

(2.77)

1

U(ω)

0

lg ω	∞	ω
φ = – τω

Рис. 2.13. Характеристики звена запаздывания: а – переходная; б – ЛАХ и ЛФХ; в – АФЧХ

АФЧХ звена запаздывания (рис. 2.13, в) описывается частотной передаточной функцией (см. п. 3.6 и п. 3.7)

39

W j e j cos jsin .

(2.78)

Примеры звена запаздывания: движение груза по конвейеру, движение жидкости по трубопроводу.

Идеальное интегрирующее звено

Звено интегрирует входной сигнал x с коэффициентом K. Это звено астатическое, т. е. не имеет установившегося режима.

Уравнение звена:

t
y K xdt.	(2.79)
0
Передаточная функция

W p

K

.

И

(2.80)

p

Переходная характеристика (рис. 2.14, а)

Д

(2.81)

h(t)=K t.

А

Частотные характеристики (рис. 2.14, б) имеют вид

A

K

;

(2.82)

и

K

L 20lg

20lgK 20lg ;

(2.83)

б

K

arctg(

)

.

(2.84)

0

2

АФЧХ интегрирующего звена (рис. 2.14, в) описывается частот-

ной передаточной функцией, состоящей только из мнимой части
jV(ω):	С
	W j j	K	.	(2.85)

Примером идеального интегрирующего звена в упрощенном виде может являться двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания обмоток статора, а выходного – угол поворота якоря.

40

y K dx. dt

W p Kp.

входного сигнала x. Коэффициент передачи K звена измеряется в секундах.

	h(t)			а
	x = 1(t)
L, дБ			arctgK			t
0
	б	Наклон ЛАХ								в
						jV(ω)
20lg K
			– 20 дБ/дек
0			lg ω		И
	ω = 1		ωср = K
φ, рад							0		+∞	U(ω)
0
			lg ω						ω
– π/2
									0
	Рис. 2.14. Характеристики интегрирующегоД					звена:
	а – переходная;		– Л Х и ЛФХ; в – АФЧХ
			А
	Идеальное д фференцирующее звено
		б
Выходная вел ч на такого звена пропорциональна производной
	и
	С

Уравнение звена:

(2.86)

Передаточная функция

(2.87)

При ступенчатом входном сигнале переходная характеристика (рис. 2.15, а) представляет собой -функцию (2.53)

h(t) K (t).	(2.88)
Частотные характеристики (рис. 2.15, б) имеют вид
A K ;	(2.89)

41

L 20lgK 20lgK 20lg ;						(2.90)
K
arctg					.	(2.91)
				2
	0

АФЧХ идеального дифференцирующего звена (рис. 2.15, в) описывается частотной передаточной функцией, состоящей только из мнимой части jV(ω):

W j jK .

(2.92)

h(t)

а

L, дБ

20lg K

0 φ, рад

+π/2

0

x = 1(t)						И
						t
		0		А
б
			б
			Наклон ЛДХ jV(ω)
	и			+20 дБ/дек
					lg ω
С
ω = 1
						0

lg ω

в

+∞

ω

0

U(ω)

Рис. 2.15. Характеристики идеального дифференцирующего звена: а – переходная; б – ЛАХ и ЛФХ; в – АФЧХ

Примером идеального дифференцирующего звена может являться закон изменения тока и напряжения в индуктивном или ёмкостном элементе:

I C	dU	;	(2.93)
	dt

42

U L	dI	.	(2.94)
	dt

Реальное дифференцирующее звено

Данное звено обладает конечной инерционностью, вследствие чего осуществляемое им дифференцирование является неточным.

Уравнение звена:

	T	dy	y K		dx		.	(2.95)
		dt			dt
	Передаточная функция			Kp
	W p					.		(2.96)
				Tp 1

Из передаточной функции видно, что реальное дифференцирующее звено состоит из последовательного соединения апериодического и идеального дифференцирующего звена, из чего следует, что

данное звено не является элементарным.

2.16, а) при условии, что

Переходная характеристика (рис.

x(t) = 1(t) имеет вид

t

И

K

h(t)

e

T

.

(2.97)

T

Д

Частотные характеристики (рис. 2.16, б) имеют вид

А

бA( )

K

;

(2.98)

T

2

2

и

1

T2 2 1;

(2.99)

L 20lgK 20lg

С

1

arctg

.

(2.100)

T

АФЧХ реального дифференцирующего звена (рис. 2.16, в) описывается частотной передаточной функцией, состоящей из вещественной U(ω) и мнимой части jV(ω):

W j	KT 2		j	K	.	(2.101)
	T2 2 1
				T2 2 1

43

h(t)

а

K

T

Наклон ЛАХ

+20 дБ/дек

0

tр ≈ 3T

t

в

L, дБ

б

20lg K/T

Асимптотическая ЛАХ

jV(ω)

Реальная ЛАХ

ω

И

0

+∞

0

lg ω

ω0 = 1/T

0

K

U(ω)

ω= 1/K

φ, рад

T

+π/2

А

Дlg ω

+π/4

б

0

и

Рис. 2.16. Характер ст ки реального дифференцирующего звена:

С

в – АФЧХ

а – переходная; б – ЛАХ, ЛФХ;

Апериодическое звено

Звено описывает инерционность объекта постоянной времени T

и передает входной сигнал x с коэффициентом K.
Уравнение звена:
T	dy	y Kx.			(2.102)
	dt
Передаточная функция
W p			K	.	(2.103)
		Tp 1

Переходная характеристика (рис. 2.17, а), в результате решения уравнения (2.98), при условии, что x(t) = 1(t) имеет вид

t	(2.104)
h(t) K(1 e T ).

44

Частотные характеристики (рис. 2.17, б) имеют вид

A( )			K				;		(2.105)
		T	2 2
				1
L 20lgK 20lg								;
					1 T2 2				(2.106)
arctg(T ).									(2.107)

АФЧХ апериодического звена (рис. 2.17, в) описывается частотной передаточной функцией, состоящей из вещественной U(ω) и мнимой части jV(ω):

W j

K

j

KT

.

(2.108)

2 2

K

T

1

T2 2 1

И

На рис. 2.17 изображены характеристики апериодического звена.

h(t)

а

Д

0,632K

T

А

t

0

б

в

L, дБ

С

tр ≈ 3T

б

Асимптотическая ЛАХ

jV(ω)

20lg K

и

Реальная ЛАХ

Наклон ЛАХ

– 20 дБ/дек

0

lg ω

K

ω0 = 1/T

ωср = K/T

0

U(ω)

φ, рад

0

+∞

0

lg ω

ω

–π/4

–π/2

Рис. 2.17. Характеристики апериодического звена: а – переходная; б – ЛАХ, ЛФХ; в – АФЧХ

45

Колебательное звено

Звено описывает колебательность объекта постоянными времени T1 и T2 и передает входной сигнал x с коэффициентом K.

Уравнение звена:

T2

d2 y

T

dy

y Kx.

(2.109)

dt2

1

2

dt

Передаточная функция

W(p)

K

K

.

(2.110)

T2 p2 T p 1

T

2 p2 2ζT p 1

1

2

1

1

Переходная характеристика (рис. 2.18, а)

2 2

t

h(t) K 1

e

sin

t arctg

,

(2.111)

2 Д2

где затухание переходного процесса

α

И

T2

,

(2.112)

2T12

А

β

и угловая частота переходного процесса

б

4T1

T2

.

(2.113)

2T2

1

Динамическ е свойства звена характеризуются коэффициентом

С

колебательности – ζ (зетта)

и

T2

.

(2.114)

2T1

Для сохранения колебательности звена, необходимо, чтобы ζ < 1. Если ζ ≥ 1, то колебательное звено вырождается в апериодическое звено второго порядка, не имеющее колебательности.

Частотные характеристики (рис. 2.18, б) имеют вид

A( )				K				;		(2.115)
		1 T2	2 2		T2
						2
1					2
									;
L 20lgK 20lg				1 T12 2 2 T22 2						(2.116)

46

		T						1
	arctg	2				при			;
		1 T2						T
			2
		1						1			(2.117)
		T								1
	arctg	2				при					.
		2
				2
		1 T1								T1

АФЧХ колебательного звена (рис. 2.18, в) описывается частотной передаточной функцией, состоящей из вещественной U(ω) и мнимой части jV(ω):

W j	K 1 T			2	2			j		KT
			1							2			. (2.118)
	1 T2	2	2	T		2	2		1 T2	2 2 T	2	2
	1				2			1		2

И

На рис. 2.18 изображены характеристики колебательного звена.

h(t)

T1 < 2T2

а

Д

K

А

б

T1 2T2

0

t

б

в

L, дБ

Р 0

1 2

2

и

20lg K

jV(ω)

Асимптоти-

Реальная ЛАХ

ческая ЛАХ

Наклон ЛАХ

С

– 40 дБ/дек

0

lg ω

K

ω0= 1/T1

0

U(ω)

φ, рад

0

lg ω

+∞ ω

0

– π/2

– π

Рис. 2.18. Характеристики колебательного звена: а – переходная; б – ЛАХ, ЛФХ; в – АФЧХ

47

Хорошим примером колебательного звена может быть маятник механических наручных часов. Он состоит из маховика и пружины, которые способны эффективно обмениваться энергией на резонансной частоте колебаний.

Форсирующее звено

Также данное звено является пропорциональнодифференцирующим (см. п. 5.3). Данное звено прибавляет к входному сигналу x его производную и усиливает полученный сигнал в K раз.

Уравнение звена первого порядка:

	y	K	dx		K	.	(2.119)
T
			dt T
Передаточная функция
W p K Tp 1 .							(2.120)

Из передаточной функции видноД, чтоИфорсирующее звено состоит из параллельного соединенияАидеального усилительного и иде-

ального дифференцирующего звена, из чего следует, что данное звено

	б
не является элементарным.
Переходная характеристика (рис. 2.19, а) при условии, что
x(t) = 1(t) имеет вид	и
	h(t) K T (t) 1 .					(2.121)
Частотные характер ст ки (рис. 2.19, б) имеют вид
	A( ) K	T2 2	1;			(2.122)
СL 20lgK 20lg					;
			T2 2 1			(2.123)
	arctgT .					(2.124)

АФЧХ форсирующего звена (рис. 2.19, в) описывается частотной передаточной функцией, состоящей из вещественной U(ω) и мнимой части jV(ω):

W j K jKT .

(2.125)

48

h(t)

а

		K
		0								t
L, дБ	б				Наклон ЛАХ						в
					+20 дБ/дек					jV(ω)
									И
							Асимптотическая
	Реальная ЛАХ						ЛАХ
20lg K							Д				0
0			ω0 = 1/T
							lg ω
φ, рад
						А
+π/2
					б
+π/4
0		и						lg ω
	Рис. 2.19. Характер стики форсирующего звена:
		а – переходная; б – ЛАХ, ЛФХ; в – АФЧХ
	2.12. труктурные схемы моделей систем.
	ССтруктурные преобразования

+∞

ω

0

K U(ω)

Структурная схема модели системы – это графическое изо-

бражение математической модели системы как совокупности элементарных динамических звеньев и связей между ними. Звенья не отражают конструктивные и функциональные признаки АСР, а отражают её динамические свойства.

Звенья структурной схемы могут не совпадать с её реальными составными частями т.к. основное требование к структурной схеме заключается в том, чтобы её результирующий алгоритм совпадал с

49

алгоритмом функционирования реальной АСР. По структурной схеме АСР, зная передаточные функции отдельных звеньев, можно получить передаточную функцию или характеристики АСР в целом.

Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования и математического описания разбит на звенья, то после определения передаточных функций каждого звена, встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта.

Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект – регулятор».

Последовательное соединение звеньев

Допустим, система описана при помощи нескольких последова-

И

тельно соединенных между собой звеньев (рис. 2.20).

х

у1

у2

…

Д

уi

…

у

W1(p)

W2(p)

Wi(p)

Wn(p)

А

Рис. 2.20. Структурная схема последовательного соединения звеньев

б

При последовательном соединении на вход последующего звена

и

приходит выход предыдущего:

С

y1 W1(p) x;

W2

(p) y1;

y2

(2.126)

.....................

y W (p) y

n 1

.

n

Исключив промежуточные переменные y, получим, что при последовательном соединении звеньев (рис. 2.20) их передаточные функции перемножаются:

n

WПОСЛ (p) W1(p) W2(p) ... Wn (p) Wi (p). (2.127)

i 1

Параллельное соединение звеньев

Допустим, система описана при помощи нескольких параллельно соединенных между собой звеньев (рис. 2.21).

При параллельном соединении звеньев общий выход системы складывается из выходов отдельных звеньев:

50

y = y1 ± y2 ±…± yn.

(2.128)

Заменив переменные y на соответствующие передаточные функции, получим, что при параллельном соединении звеньев (рис. 2.21) их передаточные функции складываются с учетом знака:

					n
WПАР (p) W1(p) W2(p) ... Wn (p) Wi (p). (2.129)
					i 1
			у1
		W1(p)			±
			у2
х				±	у
		W2(p)
		………	уn		±
					И
		Wn(p)

Рис. 2.21. Структурная схема параллельного соединения звеньев

Звено, охваченное обратной связью

Обратная связь может быть положительной «+» и отрицатель-
ной «–» (рис. 2.22).		б				Д
х	и								у
С					АW1(p)
	±		хос
					W2(p)
	Рис. 2.22. Структурная схема звена,
	охваченного обратной связью
Система с обратной связью описывается уравнениями
		y W1(p) x xoc ;								(2.130)
			xoc W2(p) y.
Исключив из системы уравнений хос, получим
	y W1(p) x W2 (p) y ;									(2.131)
	y W1(p) x W1(p) W2 (p) y;									(2.132)
	y 1 W1(p) W2 (p) W1(p) x.									(2.133)
				51

Выразив отношение y к x, получим эквивалентную передаточную функцию звена, охваченного ОС или передаточную функцию замкнутой системы

WЗАМ	(p)		W1	(p)
					,	(2.134)
	1		W1(p)W2(p)

где «+» соответствует отрицательной ОС, «–» – положительной.

W1(p) W2 (p) WРАЗ (p).

(2.135)

где WРАЗ(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Рассмотренные правила позволяют для одноконтурных структур

АСР получить эквивалентные передаточные функции по управлению, по возмущению, по ошибке и разомкнутой АСР.

Одноконтурная АСР

Приведенные передаточные функции получены на основе применения правила последовательного соединения элементов и соеди-

нения в виде обратных связей.

Аf

WPАЗ(p) оп-

Передаточная функция разомкнутой АСРИ(рис. 2.23)

ределяется выражением

б

W

(2.136)

(p) W

(p) WД(p) W (p).

РАЗ

0

1

2

x

С

+

у

–

W2(p)

W1(p)

и

W0(p)

Рис. 2.23. труктурная схема модели одноконтурной автоматической системы регулирования

Передаточная функция замкнутой АСР по управляющему воздействию WX(p) имеет вид

WX	(p)	Y(p)		W1(p) W2(p)	.	(2.137)
		X(p)
				1 WРАЗ (p)

Таким образом, введение контура обратной связи снижает эффективность управляющего воздействия в [1 + WРАЗ(p)] раз.

Передаточная функция замкнутой АСР по возмущению WF(p) определяется выражением

52

WF

(p)

Y(p)

W1(p)

.

(2.138)

F(p) 1 WРАЗ (p)

Таким образом, замкнутая система управления снижает воздей-

ствие помехи на выходной сигнал в [1 + WРАЗ(p)] раз.

Передаточная функция замкнутой АСР по ошибке регулирова-

ния W (p) имеет следующий вид:

W (p) (p)

1

.

(2.139)

X(p) 1 WРАЗ (p)

Выражения (2.137 – 2.139) позволяют проводить исследования в

точности и погрешности функционирования системы управления (см.

п. 4.2).

Многоконтурная АСР

Если задана многоконтурная структура АСР, то с помощью

структурных преобразований она может быть приведена к однокон-

турной.

При этом используется ряд дополнительных правил, связанных

И

с переносом элементов структурной схемы. Правила сведены в

табл. 2.3.

Д

Прав ла структурных преобразований

Таблица 2.3

А

Преобразова-

Структурная схема

б

ние

Исходная

Эквивалентная

X

и

Y

X

Y

Перенос точки

W1(p)

W1(p)

разветвления

С X

1

X

через элемент

W1(s)

вперед

Перенос точки

X

W1(p)

Y

X

W1(p)

Y

разветвления

Y

через элемент

W1(p)

Y

назад

Перенос

X

W1(p)

Y

X

W1(p)

Y

сумматора

±

±

через элемент

U

U

вперед

W1(p)

53

Окончание табл. 2.3

Преобразова-

Структурная схема

ние

Исходная

Эквивалентная

Перенос

X

W1(p)

Y

X

W1(p)

Y

сумматора

±

±

через элемент

U

1

U

назад

W1(p)

W2(p)

W2(p)

Вынос точки

X

±

Y

X

±

Y

разветвления

W1(p)

W1(p)

из

параллельного

U

U

соединения

W1(p)

W1(p) W2(p)

W2(p)

W2(p)

Перенос

±

И

±

X

Y

X

Y

вперед точки

W1(p)

W1(p)

через

Д

А

параллельное

X

X

соединение

1

б

W1(p) W2(p)

1

U

Вынос точки

X

и

Y

W1(p) U

разветвления

W1(p)

X

Y

±

вперед из

W1(p)

контура

С W2(p)

±

обратной

связи

W2(p)

Вынос точки

X

U

Y

1

U

W1(p)

1 W (p) W (p)

разветвления

1

2

X

Y

±

W1(p)

назад из

контура

W2(p)

±

обратной

связи

W2(p)

54