Алмаев Р.Х. и др. Линейная алгебра в примерах и задачах Часть I
.pdf-при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других ее строк (столбцов);
-при удалении (вычеркивании) из нее строки (столбца) из нулей;
-при удалении из нее строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).
Методы вычисления ранга матрицы
1.Метод упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки занулить все элементы первого столбца кроме одного – верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все элементы второго столбца кроме двух верхних и т.д., пока матрица не приведется к ступенчатому виду.
2.Метод окаймления. Ищется минор M порядка s , заведомо от-
личный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т.е. содержащие M ) миноры s +1-го порядка. Если среди них найдется хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какогото, отличного от нуля, минора r -го порядка все окаймляющие миноры не окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен r.
Примеры
1. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы
2 |
3 |
5 |
−3 |
−2 |
|
|
|
3 4 3 |
−1 |
−3 |
|
||
A = |
. |
|||||
|
5 |
6 |
−1 |
3 |
−5 |
|
|
|
Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой:
|
2 |
3 |
5 |
−3 |
−2 |
2 |
3 |
5 −3 −2 |
1 |
1 |
−2 2 |
−1 |
||||||
|
3 |
4 |
3 |
−1 |
−3 |
|
|
1 |
1 |
−2 2 |
|
|
|
2 |
3 |
5 −3 −2 |
|
|
A = |
|
~ |
−1 |
~ |
. |
|||||||||||||
|
5 |
6 |
−1 3 −5 |
|
|
5 |
6 |
−1 3 |
−5 |
|
|
5 |
6 |
−1 3 |
−5 |
|
||
|
|
|
|
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
21
|
1 |
1 |
−2 2 |
−1 |
1 |
1 |
−2 2 −1 |
|||||
|
2 |
3 |
5 −3 −2 |
|
|
0 |
1 |
9 |
−7 |
0 |
|
|
A ~ |
|
~ |
. |
|||||||||
|
5 |
6 |
−1 3 |
−5 |
|
|
0 |
1 |
9 |
−7 |
0 |
|
|
|
|
Третья строка равна второй, и ее можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:
1 |
1 |
−2 |
2 |
−1 |
||
A ~ |
0 |
1 |
9 |
−7 |
0 |
. |
|
|
В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например, минор 10 11 . Этот минор можно выбрать в качест-
ве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: rg( A) = 2 .
2. Вычислить методом окаймления ранг матрицы
1 |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
0 |
1 |
−1 |
3 |
|
A = |
. |
||||
|
2 |
5 |
1 |
|
|
|
11 |
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:
1 2 =1 ≠ 0 .
0 1
Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таких два:
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
−1 |
=1 (1+5) + 2 (−2 −1) = 6 −6 = 0 , |
||
|
2 |
5 |
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
=1 (11−15) + 2 (6 −4) = −4 + 4 = 0 . |
|
|
|||||
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
5 |
11 |
|
|
|
Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: rg( A) = 2 .
22
Задачи
1.87. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы
|
1 |
0 |
0 |
|
|
− 2 −1 3 |
|
|
1 |
3 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
|
; |
|
4 |
2 |
− 6 |
|
; |
|
2 |
4 |
0 |
0 |
0 |
|
; |
а) |
|
б) |
|
в) |
|
||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
1 |
− 3 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|||||
г) |
|
2 −6 0 |
|
; |
д) |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
−3 |
9 |
−3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.88. С помощью элементарных преобразований найти ранг мат-
рицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
−1 |
|
|
||
|
|
2 −1 3 −2 4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
|
4 −2 5 1 7 |
|
; |
б) |
0 2 4 −2 ; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
−2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
1 |
8 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
6 |
4 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−1 0 2 4 |
|
|
1 2 −1 −2 |
|
|
|||||||||||
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
3 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
|
1 |
1 |
|
5 |
3 |
; |
|
г) |
1 2 −1 0 |
; |
|
|
|||||
|
|
−4 −2 −6 2 |
|
|
|
1 3 1 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 1 7 7 |
|
|
|
2 5 0 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
24 |
14 |
17 |
15 |
|
|
|
24 |
19 |
|
36 |
|
72 |
−38 |
|
||
|
|
23 |
13 |
16 |
14 |
|
|
|
|
49 |
40 |
73 |
|
147 |
−80 |
|
||
д) |
|
|
; |
|
е) |
|
. |
|||||||||||
|
|
47 |
27 |
33 |
29 |
|
|
|
|
73 |
59 |
98 |
|
219 |
−118 |
|
||
|
|
3 |
0 |
|
0 |
5 |
|
|
|
|
47 |
36 |
71 |
|
141 |
−72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.89. Найти все значения λ , при которых ранг матрицы |
||||||||||||||||||
|
|
1 3 −4 |
|
|
|
|
|
λ |
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
а) |
|
λ |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
λ − 2 |
4 |
|
равен 2; |
|
||
|
равен 2; |
б) |
|
|
||||||||||||||
|
|
4 3 −3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
7 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
равен 3. |
в) |
|
||||
|
3 |
λ |
|
|
|
|
−1 |
|
1.90. В зависимости от λ исследовать ранг матрицы
|
1 |
λ |
|
−1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
1 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
λ |
4 |
10 1 |
|
|
|||||||
а) |
|
2 −1 λ 5 ; |
|
|
б) |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
17 |
3 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
−6 |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
4 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−1 2 |
3 |
4 |
|
|
2 |
−1 4 0 |
||||||||
|
|
0 |
|
1 |
λ |
2 |
|
|
|
4 |
−2 0 λ |
|
||||
в) |
|
|
; |
г) |
. |
|||||||||||
|
|
1 −3 0 |
−6 |
|
|
|
8 |
−4 8 λ |
|
|||||||
|
|
−2 4 |
6 |
8 |
|
|
|
6 |
−3 12 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
24
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Система линейных алгебраических уравнений, содержащая m уравнений и n неизвестных, имеет следующий вид:
|
a x + a |
x |
+... + a |
x |
|
= b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
11 |
1 |
|
12 |
|
2 |
|
|
|
1n |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn |
= b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
.............................................. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
+ a |
|
x |
2 |
+... + a |
|
|
x |
n |
= b |
|
|
|
|
|
|
||||
|
m1 |
1 |
|
m2 |
|
|
|
mn |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
... a |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
||
или в матричной записи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 a22 ... a2n |
|
– основная |
||||||||||
Ax =b , где A = |
................. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m1 |
a |
|
... a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
mn |
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
матрица системы, |
x = |
x |
|
– |
|
столбец |
|
неизвестных, |
b |
|
– |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
b = 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bm |
|
||
столбец свободных членов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a11 |
a12 ... |
|
a1n |
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
a |
|
... |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
называют |
расширенной |
|||||||||
Матрицу A = |
21 |
|
22 |
|
|
|
|
2n |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
.... .... ... |
|
... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
am2 ... |
|
amn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
am1 |
|
|
bm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицей системы.
Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется прямоугольной, если m ≠ n , и квадратной, если m = n .
Определение. Система линейных алгебраических уравнений
называется однородной, если b = 0 , т.е., если столбец свободных членов состоит из одних нулей.
Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется неоднородной, если b ≠ 0 .
25
Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Определение. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Совместность системы может быть определена с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Теорема. Для того , чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы.
Определение. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. rgA = rgA , то ранг матрицы системы называ-
ют рангом системы.
Замечание. Если ранг системы равен числу неизвестных, то система определенная.
Теорема (Крамера). Если матрица квадратной системы невырожденная, то система определенная.
В этом случае решение системы может быть найдено по формулам Крамера.
Теорема. Если ранг однородной системы меньше числа неизвестных, то такая система имеет фундаментальную совокупность решений, состоящую из n −r решений, где n − число неизвестных, r − ранг системы.
Определение. Совокупность решений однородной системы называется фундаментальной, если выполняются два условия: 1) эта совокупность линейно независимая; 2) любое решение однородной системы может быть линейно выражено через эту совокупность.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
К ним относятся
-перестановка любых двух уравнений;
-умножение обеих частей одного уравнения на любое число, отличное от нуля;
-прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.
Элементарные преобразования переводят данную систему в эквивалентную.
26
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений состоит в том, что с помощью элементарных преобразований последовательно исключаются неизвестные, и данная система превращается в ступенчатую. Приводить к ступенчатому виду удобнее не саму систему, а ее расширенную матрицу, выполняя все преобразования над ее строками.
Формулы Крамера. Решение неоднородной системы n уравнений с n неизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу системы, находится по формулам
xj = j , j =1,2,...,n ,
где = det A – определитель системы; j – определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой ее j -го столбца столбцом свободных членов.
Примеры
1. Решить систему уравнений
2x1 − x2 − x3 +3x4 =1, 4x1 −2x2 − x3 + x4 = 5, 6x1 −3x2 − x3 − x4 = 9,
2x1 − x2 + 2x3 −12x4 =10.
Решение. Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1, соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:
2 |
−1 |
−1 |
3 |
|
1 |
2 |
−1 |
−1 3 |
|
1 |
|||||
|
4 |
−2 |
−1 |
1 |
|
5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
−5 |
|
3 |
|
A = |
|
|
~ |
|
. |
||||||||||
|
6 |
−3 |
−1 |
−1 |
|
9 |
|
0 |
0 |
2 |
−10 |
|
6 |
|
|
|
2 |
−1 |
2 −12 |
|
10 |
|
|
0 |
0 |
3 |
−15 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвертой строк:
27
2 |
−1 −1 3 |
|
1 |
2 |
−1 −1 3 |
|
1 |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
−5 |
|
3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
−5 |
|
3 |
|
|
0 |
0 |
2 |
−10 |
|
|
|
~ |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
0 |
||||||||||
|
0 |
0 |
3 |
−15 |
|
9 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:
2x1 − x2 − x3 +3x4 =1,
x3 −5x4 = 3.
Полученная упрощенная система представляет собой систему из двух уравнений для четырех неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два – за свободные, через которые будут выражены главные. В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать x1 , x3 .
Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:
13 = |
|
2 |
−1 |
|
= 2 ≠ 0 . |
|
|
||||
|
|
0 |
1 |
|
|
Теперь из второго уравнения выразим x3 через x4 . Затем подставим его впервоеуравнение и найдем x1 через x2 , x4 . Витогеполучим x1 = 12 x2 + x4 + 2,
x3 =5x4 +3.
Переменные x2 , x4 принимают произвольные значения. Положив x2 = λ2 , x4 = λ4 , общее решение системы можно записать в виде
x |
|
1 |
λ |
|
+λ |
|
+ 2 |
|
||||
|
|
2 |
4 |
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|||||
X = x2 |
|
= |
|
|
|
|
|
. |
||||
x |
|
|
|
5λ |
|
+3 |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
λ4 |
|
|
|
28
2. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений x1 + 2x2 + x3 = 4,
3x1 −5x2 +3x3 =1,
2x1 +7x2 − x3 =8.
Решение. Убедимся, прежде всего, в том, что определитель системы отличен от нуля:
|
1 |
2 |
1 |
|
= |
3 |
−5 |
3 |
=1 (5 −21) −2 (−3 −6) +1 (21 +10) = 33 . |
|
2 |
7 |
−1 |
|
Вычислим теперь остальные, входящие в формулы Крамера, оп-
ределители: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
1 = |
|
1 |
−5 |
3 |
|
= 4 (5 − 21) − 2 (−1− 24) +1 (7 + 40) = 33 , |
|||||
|
|
8 |
7 |
−1 |
|
||||||
2 = |
|
|
|
1 |
4 |
1 |
|
=1 (−1 − 24) −4 (−3 −6) +1 (24 − 2) = 33 , |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
1 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
8 |
−1 |
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
3 = |
|
3 |
−5 |
1 |
=1 (−40 −7) −2 (24 − 2) + 4 (21+10) = 33 . |
||||||
|
|
2 |
7 |
8 |
|
|
|
Подставив полученные значения определителей в формулы Крамера, имеем
x |
= |
1 = |
33 |
=1, x |
= |
2 = |
33 |
=1, x |
= 3 = |
33 |
=1. |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
33 |
2 |
|
|
33 |
3 |
33 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Правильность представленного решения можно проверить подстановкой значений x1, x2, x3 в исходную систему уравнений.
3.Исследовать на совместность и, если совместна, найти общее
иодно частное решение системы уравнений
x1 −2x2 + x3 = 3, x1 +3x2 − x3 =1, 3x1 + 4x2 − x3 =5.
29
Решение. Прежде всего, используя теорему Кронекера-Капелли, определим, является ли данная система уравнений совместной. Для этого выпишем расширенную матрицу системы
1 |
−2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
||||||
|
1 |
3 |
−1 |
|
1 |
|
A = |
|
. |
||||
|
3 |
4 |
−1 |
|
5 |
|
|
|
|
||||
|
Вычислим вначале ранг основной матрицы. Видно, что минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:
|
1 |
−2 |
|
= 3 + 2 =5 ≠ 0 . |
|
|
|||
|
1 |
3 |
|
|
Посмотрим теперь, чему равен минор третьего порядка (определитель) основной матрицы:
|
|
1 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|||||
= |
|
1 |
3 |
−1 |
|
=1 (−3 + 4) + 2 (−1+3) +1 (4 −9) = 0. |
|
|
3 |
4 |
−1 |
|
|
Таким образом, ранг основной матрицы равен двум: rg( A) = 2 .
Для определения ранга расширенной матрицы необходимо вычислить еще один, оставшийся, минор третьего порядка
1 = |
|
1 |
−2 |
3 |
|
=1 (15 −4) + 2 (5 −3) +3 (4 −9) = 0. |
|
|
|||||
|
1 |
3 |
1 |
|
||
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
Следовательно, ранг расширенной матрицы также равен двум rg( A) = 2 . Значит, в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли,
рассматриваемая система уравнений совместна. Принимая за независимые первые два уравнения, содержащие базисный минор, исходную систему можно переписать в виде
x1 − 2x2 + x3 = 3,
x1 +3x2 − x3 =1.
Здесь главными являются относящиеся к базисному минору неизвестные x1 , x2 . Выражая их через x3 получим
x |
= |
11− x3 |
, |
x |
2 |
= |
2x3 −2 |
. |
|
|
|||||||
1 |
5 |
|
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
30