Алмаев Р.Х. и др. Линейная алгебра в примерах и задачах Часть I
.pdfЭто общее решение, которое можно записать также в виде век- тор-столбца
|
11− x |
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
X = |
2x −2 |
. |
|
||
3 |
|
|
|||
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение получается из общего, если для x3 |
выбрать |
||||
конкретное числовое значение. |
|
Пусть, например, x3 =1, |
тогда в |
||
качестве частного решения имеем |
|
|
|||
x1 = 2, x2 = 0, x3 =1 . |
|
4. Найти фундаментальную совокупность и общее решение системы уравнений
x1 +3x2 +3x3 + 2x4 + 4x5 = 0, x1 + 4x2 +5x3 +3x4 +7x5 = 0, 2x1 +5x2 + 4x3 + x4 +5x5 = 0,
x1 +5x2 +7x3 +6x4 +10x5 = 0.
Решение. Выпишем матрицу системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований, вычитая первую строку, умноженную на 1, 2 и 1 соответственно из второй, третьей и четвертой строк:
1 |
3 |
3 |
2 |
4 |
1 |
3 |
3 |
2 |
4 |
|
|||
|
1 |
4 |
5 |
3 |
7 |
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
A = |
|
~ |
. |
||||||||||
|
2 |
5 |
4 |
1 |
5 |
|
0 |
−1 −2 −3 −3 |
|
||||
|
1 |
5 |
7 |
6 |
10 |
|
|
0 |
2 |
4 |
4 |
6 |
|
|
|
|
Теперь вторую строку прибавим к третьей и ее же, умноженную на 2, вычтем из четвертой строки, получим
1 |
3 |
3 |
2 |
4 |
|
1 |
3 |
3 |
2 |
4 |
1 3 3 |
2 4 |
|
||||||
|
0 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
|||||||
A ~ |
~ |
~ |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
||||||||||
|
0 |
−1 −2 −3 −3 |
|
0 |
0 |
0 |
−2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|||||||||||||
|
0 |
2 |
4 |
4 |
6 |
|
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно, три неизвестные являются главными, а две – свободными. Выберем в качестве главных x1 , x2 , x4 . Это можно сделать, т.к. минор 3-го порядка, состав-
ленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Соответствующая преобразованной матрице система имеет вид
x1 +3x2 +3x3 + 2x4 + 4x5 = 0, x2 + 2x3 + x4 +3x5 = 0,
x4 = 0.
Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение
x1 =3x3 +5x5 ,
x2 |
= −2x3 −3x5 , |
|
|
x4 |
= 0. |
|
|
Чтобы записать фундаментальную |
совокупность решений |
||
(ФСР), необходимо из вектор-столбца x3 |
|
составить любым спо- |
|
|
x5 |
|
|
собом два линейно независимых вектора. Обычно это делается путем задания искомого вектор-столбца в виде столбцов единичной матрицы размером, равным высоте столбца из свободных неизвестных. В данном случае – это матрица второго порядка
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
. |
|
|
Придавая x3 , x5 значения из первого и второго столбцов этой матрицы, получим ФСР:
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
= |
1 |
|
, |
C |
|
= |
0 |
. |
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку общее решение системы есть сумма линейно независимых решений из ФСР, умноженных на произвольные коэффициенты, то его можно записать еще в следующем виде:
32
x1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
3λ1 +5λ2 |
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
−2λ −3λ |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
X = x |
|
= λ C |
+λ |
C |
|
= λ |
|
1 |
|
+λ |
|
|
0 |
|
= |
λ |
|
. |
|
|
3 |
|
1 1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
λ |
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи
Системы линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса
|
x − x − |
4x |
+9x = 22, |
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2.1. |
2x1 −3x2 + x3 +5x4 = −3, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x2 |
|
−4x4 = −3, |
|
||
|
|
|
−2x2 |
−5x3 + x4 = 3. |
|
|
|
3x1 |
|
||||
|
2x |
−2x |
+ |
x +3 = |
0, |
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
|
2.3. |
2x1 +3x2 + x3 −3x4 +6 = 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
+ 4x2 |
− x3 + 2x4 = 0, |
|||
|
|
x1 |
+3x2 |
+ x3 − x4 −2 = 0. |
||
|
|
1 − + = 3,
2.5.6x1 +9x2 −2x3 − x4 = −4,10x1 +3x2 −3x3 −2x4 = 3,
8x1 +6x2 + x3 + 3x4 = −7.3x2 + 2x43x32x
1 + 1,
2.7.8x1 +12x2 −9x3 +8x4 = 3,
4x1 +6x2 +3x3 −2x4 = 3,
2x1 +3x2 +9x3 −7x4 = 3.3x2 + x4 =− x32x
|
x −2x − 2x −3x = 3, |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2.2. |
4x1 −3x2 + x3 +5x4 = 7, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
− x2 + 2x3 |
= −1, |
||
|
|
|
+3x2 + 2x3 |
−8x4 = −7. |
|
|
2x1 |
||||
|
x + x −6x − 4x = 6, |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2.4. |
3x1 − x2 −6x3 −4x4 = 2, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
+3x2 +9x3 |
+ 2x4 = 6, |
||
|
|
|
+ 2x2 +3x3 |
+8x4 = −7. |
|
|
3x1 |
||||
|
2x +7x +3x + x = 5, |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2.6.3x2 +5x3 −2x4 = 3, 5x2 −9x3 +8x4
18x2 + 4x3 +5x4 =12.x1 +x1 +5x1 + =1,
|
4x |
−3x |
+ 2x |
− x |
=8, |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2.8. |
3x1 −2x2 + x3 −3x4 = 7, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
− x2 |
|
−5x4 |
= 6, |
|
|
|
|
−3x2 |
+ x3 −8x4 |
=1. |
|
|
5x1 |
33
|
2x |
− x |
+ x − x |
= 3, |
|
x + 2x |
+5x |
+9x |
= 79, |
|||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2.9. |
4x1 |
−2x2 − 2x3 +3x4 = 2, |
2.10. |
3x1 +13x2 +18x3 +30x4 = 263, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x1 |
− x2 |
+5x3 −6x4 |
=1, |
|
2x1 |
+ 4x2 +11x3 +16x4 =146, |
|||||
|
|
|
− x2 |
−3x3 + 4x4 |
= 5. |
|
|
|
+9x3 |
+9x4 |
= 92. |
|
|
2x1 |
|
x1 +9x2 |
Системы линейных алгебраических уравнений решить по правилу Крамера
|
2x + 2x − x + x = 4, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2.11. |
4x1 +3x2 − x3 + 2x4 = 6, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8x1 |
+5x2 |
−3x3 + 4x4 =12, |
|||
|
|
|
+3x2 |
−2x3 + 2x4 = 6. |
||
|
3x1 |
|||||
|
2x +5x |
+ 4x |
+ x |
= 20, |
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
2.13. |
x1 |
+3x2 + 2x3 + x4 |
=11, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
+10x2 +9x3 + 7x4 = 40, |
||||
|
|
|
+8x2 |
+9x3 + 2x4 = 37. |
||
|
3x1 |
|||||
|
7x +9x + 4x + 2x = 2, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
2.15. |
2x1 −2x2 + x3 + x4 = 6, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 |
+6x2 |
+3x3 + 2x4 = 3, |
|||
|
|
|
+3x2 |
+ x3 + x4 = 0. |
||
|
2x1 |
|||||
|
2x − x −6x +3x = −1, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2.17.4x2 + 2x3 −15x4 32,
−4x3 +9x42x27x1 −x1 − = 5,= −
x1 − x2 + 2x3 −6x4 = −8.
1 +3x2 +11x3 +5x4 = 2,
2.12.x1 + x2 +5x3 + 2x4 =1,
2x1 + x2 +3x3 + 2x4 = −3,
x1 + x2 +3x3 + 4x4 = −3.2x
|
3x + 4x + x + 2x = −3, |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2.14. |
3x1 +5x2 +3x3 +5x4 = −6, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
6x1 |
+8x2 + x3 +5x4 = −8, |
|||
|
|
|
+5x2 +3x3 + 7x4 = −8. |
||
|
3x1 |
||||
|
6x +5x −2x + 4x = −4, |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2.16. |
9x1 − x2 + 4x3 − x4 |
=13, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
+ 4x2 + 2x3 −2x4 =1, |
|||
|
|
|
+9x2 |
+ 2x4 =11. |
|
|
3x1 |
1 + x2 + 4x3 + = −1,
2.18.x1 +3x2 −6x3 + 2x4 = 3,
3x1 −2x2 + 2x3 − 2x4 =8,
2x1 − x2 + 2x3 = 4.8x42x
34
2x − x +3x = 9. |
|
2x |
−5x |
+3x |
+ x |
= 5, |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
3x1 |
−7x2 |
+3x3 − x4 = −1, |
||||
2.19. 3x1 −5x2 |
+ x3 = −4, |
2.20. |
|||||||||
|
|
−9x2 |
+6x3 + 4x4 = 7, |
||||||||
|
|
−7x |
+ x = 5. |
|
5x1 |
||||||
4x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
−6x2 |
+3x3 + x4 |
=8. |
|||
|
|
|
|
|
4x1 |
Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы линейных алгебраических уравнений
|
2x1 |
+7x2 +3x3 + x4 = 6, |
|
|
2x1 −3x2 +5x3 + 7x4 =1, |
||||||||||||||
2.21. |
|
|
+5x2 + 2x3 + 2x4 |
= 4, |
2.22. |
|
|
|
−6x2 + 2x3 +3x4 |
= 2, |
|||||||||
3x1 |
4x1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
+ 4x + x +7x = 2. |
|
|
|
|
|
−3x |
−11x |
−15x |
=1. |
|||||||
|
9x |
|
|
2x |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
3x1 |
+ 4x2 + x3 + 2x4 = 3, |
|
|
|
3x1 −5x2 + 2x3 + 4x4 = 2, |
|||||||||||||
2.23. |
|
|
+8x2 + 2x3 +5x4 |
= 7, |
2.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5, |
|||||
6x1 |
|
7x1 −4x2 + x3 +3x4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
+12x |
|
+3x +10x =13. |
|
|
|
|
|
+ |
7x |
−4x |
−6x |
|
= 3. |
|||
|
9x |
|
|
|
5x |
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|||
|
3x1 |
−2x2 +5x3 + 4x4 = 2, |
|
|
2x1 − x2 +3x3 −7x4 =5, |
||||||||||||||
2.25. |
|
|
−4x2 + 4x3 +3x4 |
= 3, |
2.26. |
|
|
|
−3x2 + x3 −4x4 = 7, |
||||||||||
6x1 |
6x1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
−6x |
+3x |
+ 2x |
= 4. |
|
|
|
|
|
−2x +14x |
−31x |
=18. |
|||||
|
9x |
|
|
4x |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
4 |
||
|
2x |
+5x |
−8x |
=8, |
|
|
x |
|
+ x |
|
+ |
3x |
−2x |
+3x |
|
=1, |
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|||
2.27. |
4x1 |
+3x2 −9x3 = 9, |
|
2.28. |
2x1 + 2x2 + 4x3 − x4 +3x5 = 2, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x1 |
+3x2 −5x3 = 7, |
|
|
3x1 |
+3x2 +5x3 −2x4 +3x5 =1, |
|||||||||||||
|
|
+8x2 −7x3 =12. |
|
|
|
|
|
+ 2x2 +8x3 −3x4 +9x5 = 2. |
|||||||||||
|
x1 |
|
|
2x1 |
|||||||||||||||
|
2x |
− x + x + |
2x + |
3x = |
2, |
|
|
|
|
x + x −3x − 4x =1, |
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
2.29. |
6x1 |
−3x2 + 2x3 + 4x4 +5x5 |
= 3, |
2.30. |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
||||||||||
|
|
−3x2 + 4x3 +8x4 +13x5 = 9, |
4x1 +5x2 −2x3 − x4 = 3, |
||||||||||||||||
|
6x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x = 2. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 4x + x + |
||||||
|
|
−2x2 + x3 + x4 + 2x5 = |
1. |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
||||||
|
4x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
Найти общее решение и фундаментальную совокупность решений
|
x + 2x + 4x −3x = 0, |
|
|
2x1 −4x2 +5x3 +3x4 = 0, |
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
= 0, |
|
|
||||||||
2.31. |
3x1 |
+5x2 +6x3 − 4x4 |
|
2.32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+5x2 −2x3 +3x4 |
= 0, |
|
3x1 −6x2 + 4x3 + 2x4 = 0, |
|||||||||||
|
4x1 |
|
|
|
|
− |
8x +17x |
+11x |
= 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|||||||
|
|
+8x2 + 24x3 −19x4 = 0. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|||||||
|
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x + 2x + x +3x +5x = 0, |
|
x1 −2x2 + 2x3 +3x4 = 0, |
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
= 0, |
|
||||||||
2.33. |
6x1 |
+ 4x2 +3x3 +5x4 |
+7x5 |
|
|
|
−3x2 + x3 + 4x5 |
= 0, |
||||||||
|
|
+6x2 +5x3 + 7x4 |
|
|
2.34. |
2x1 |
||||||||||
|
9x1 |
+9x5 = 0, |
|
|
|
+3x |
+3x |
|
+ 4x |
= 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|||||
|
|
+ 2x2 + 4x4 +8x5 |
= 0. |
|
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
5 |
||||
|
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6x |
−2x |
+ 2x |
+5x |
+ 7x |
= 0, |
|
2x1 + x2 −4x3 = 0, |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0, |
|
|
||||||
2.35. |
9x1 |
−3x2 + 4x3 +8x4 |
+9x5 |
= |
|
|
|
+5x2 −7x3 = 0, |
|
|||||||
|
|
−2x2 +6x3 + 7x4 |
|
|
2.36. |
3x1 |
|
|||||||||
|
6x1 |
+ x5 = 0, |
|
|
|
+5x |
−6x |
|
= 0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
||||
|
|
− x2 + 4x3 + 4x4 − x5 = 0. |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||||||
|
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5x |
+6x |
−2x |
+7x |
+ 4x |
= 0, |
|
2x1 − x2 +5x3 +7x4 = 0, |
||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|||||||
2.37. |
2x1 |
+3x2 − x3 + 4x4 + 2x5 = 0, |
|
|
|
−2x2 +7x3 +5x4 |
= 0, |
|||||||||
|
|
+9x2 −3x3 +5x4 |
+6x5 = |
2.38. |
4x1 |
|||||||||||
|
7x1 |
0, |
|
|
|
− x + x −5x = |
0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
||||||
|
|
+9x2 −3x3 + x4 + 6x5 = 0. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
||||||
|
5x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 2x2 +5x3 + 2x4 +7x5 = 0,
2.39.6x1 + 4x2 +7x3 + 4x4 +5x5 = 0,3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 −11x5 = 0,6x1 + 4x2 + x3 + 4x4 −13x5 = 0.
6x1 −2x2 +3x3 + 4x4 +9x5 = 0,
2.40.3x1 − x2 + 2x3 +6x4 +3x5 = 0,
6x1 −2x2 +5x3 + 20x4 +3x5 = 0,9x1 −3x2 + 4x3 + 2x4 +15x5 = 0.
36
Решить матричные уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.41. |
1 2 |
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
2.42. |
|
4 6 |
1 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
X = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
X |
= |
|
. |
|
||||||||||
|
|
3 4 |
|
|
|
5 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 9 |
1 1 |
|
|||||||||
|
|
3 −2 −1 2 |
|
|
|
2.44. |
|
2 −3 |
|
|
2 3 |
|||||||||||||||||
2.43. X |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
X = |
|
4 6 |
. |
||||||||
|
|
|
5 −4 −5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −6 |
|
|
|
|||||||||||||
2.45. X |
|
3 |
6 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
8 |
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.46. |
3 −1 |
X |
5 6 |
14 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
9 10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
7 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
−1 2 |
|
|
3 9 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.47. |
|
4 |
|
−3 |
|
3 |
|
X = |
|
1 |
|
|
11 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
7 |
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 2 −3 |
|
|
|
1 −3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.48. |
|
3 |
|
2 |
|
−4 |
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X |
|
10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
−1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
10 7 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5 3 1 −8 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.49. X |
|
1 |
|
−3 |
−2 |
|
= |
|
−5 |
|
9 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−5 2 1 |
|
|
|
|
−2 15 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
−3 1 |
9 7 6 |
2 0 |
|
−2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.50. |
|
4 |
|
−5 |
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
18 |
12 |
9 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
X |
|
= |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
5 |
|
−7 3 |
|
|
1 1 1 |
|
|
23 15 11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
... |
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
... |
n −1 |
|
|
|
|
||||||
2.51. |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
... |
n −2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
X = |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
... ... |
|
... ... |
|
|
|
|
|
... ... ... |
... ... |
|
|
|
|
|||||||||||
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
... |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
3. ЛИНЕЙНЫЕ, ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
3.1. Линейные пространства
Определение. Множество векторов V называется вещественным линейным пространством, если в этом множестве введены операции сложения двух векторов (т.е. каждой паре x , y V по-
ставлен в соответствие определенный элемент z = x + y из множе-
ства V ) и умножения вектора на вещественное число (т.е. каждому вектору x V и произвольному числу α R поставлен в соответствие определенный элемент z = αx из множества V ), и эти две операции удовлетворяют следующим аксиомам:
1)x + y = y + x для x, y V ;
2)(x + y) + z = x + ( y + z) для x, y, z V ;
3) |
во множестве V существует нулевой вектор 0 такой, что |
x +0 = x для x V ; |
|
4) |
для x V во множестве V существует противоположный |
вектор −x такой, что −x + x = 0 ; |
|
5) |
для x V выполняется 1 x = x ; |
6) |
для x, y V и α,β R выполняются равенства |
α(βx)= (αβ)x ; (α+β)x = αx +βx ; α(x + y)= αx +αy .
Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов {x =(x1, x2 ,..., xn ) xi R,i =1,2,..., n }, в котором операции сложения векторов и умножения вектора на число определены следующим образом: если α R , x =(x1, x2 ,..., xn ),
y=(y1 , y2 ,..., yn ), то
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ), αx =(αx1,αx2 ,...,αxn ).
Утверждение. Множество всех решений однородной системы образует линейное пространство.
38
Определение. Линейной комбинацией векторов v1 ,...,vk называется сумма вида λ1 v1 +... +λk vk , где λ1,...,λk – произвольные числа.
Утверждение. Множество всех линейных комбинаций векторов v1,...,vk образует линейное пространство.
Задачи
3.1. Доказать, что следующее множество является линейным пространством, указать его нулевой элемент, а также какой-либо конкретный элемент этого пространства и противоположный ему элемент:
а) множество решений однородной системы x1 +3x2 +3x3 = 0 ;
2x1 + x2 − 4x3 = 0
б) множество решений однородной системы x1 + x2 = 0 ;
x1 − x2 = 0
в) множество всех квадратных матриц n-го порядка; г) множество всех симметричных матриц n-го порядка; д) множество всех векторов, лежащих на одной оси;
е) множество всех линейных комбинаций векторов x, y, z R3.
3.2.Доказать, что множество всех решений однородной системы образует линейное пространство.
3.3.Доказать, что множество всех линейных комбинаций векто-
ров v1,...,vk образует линейное пространство.
3.4. Является ли линейным пространством множество а) всех решений неоднородной совместной системы линейных
уравнений; б) всех векторов координатной плоскости, каждый из которых
лежит на одной из координатных осей;
в) всех многочленов степени не выше n; г) всех многочленов n-ой степени;
д) всех сходящихся числовых последовательностей;
е) всех числовых последовательностей {an }, сходящихся к дан-
ному числу a .
3.5. Доказать, что а) множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке
[0,1], где сумма произвольных функций f (t ) и g (t ) вычисляется
39
как f (t ) g (t ), а произведение функции на число вычисляется
обычным образом, не является линейным пространством;
б) множество всех векторов пространства R3, где сумма произвольных векторов a и b вычисляется как a,b , а произведение
вектора на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством;
в) множество всех диагональных матриц n-го порядка, где сумма произвольных матриц A и B вычисляется как A B , а произведение матрицы на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством;
г) множество всех вещественных чисел, в котором сумма произвольных чисел x и y вычисляется как x y , а произведение числа
на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством.
3.6. Доказать, что а) множество всех положительных чисел, в котором сумма про-
извольных чисел x и y вычисляется как x y , а произведение вещественного числа α на произвольное положительное число x
вычисляется как xα , является линейным пространством;
б) множество всех положительных функций, заданных на множестве (–∞,∞), если сумма произвольных функций f(t) и g(t) вычисляется как f(t) g(t), а произведение функции f(t) на число α вычисляется как f α (t ), является линейным пространством.
3.2. Линейная зависимость и независимость векторов Определение. Система векторов v1,...,vk называется линейно
независимой, если равенство λ1 v1 +... +λk vk = 0 выполняется только при λ1 =... = λk = 0 .
Утверждение. Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не является линейной комбинацией остальных векторов данной системы.
Определение. Система векторов v1 ,...,vk называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,...,λk , не равные нулю одновременно, при которых выполняется равенство λ1 v1 +... +λk vk = 0 .
40