Алмаев Р.Х. и др. Линейная алгебра в примерах и задачах Часть I

3.51. Установить, что данная система векторов является ортогональной, и получить из нее ортонормированную систему:

а)	(1,3) , (3, −1) ;	б)	(2,0,0) , (0, −3,0) , (0,0,4) ;
в)	(1,1, −1, −1) , (1,1,1,1) , (−1,1,1, −1) .
3.52. Ортогонализировать систему векторов:
а)	(1,2) , (2,3) ;	б)	(0,1,1) , (−1,2,0) , (2,1, −1) ;
в)	(1,1,0,0) , (1,0,1,1) , (0,1,0, −1) .

3.53. Построить ортонормированный базис линейной оболочки

векторов:
а) (1, −2,3) , (−2,4, −6) ;	б) (1,0,0) , (1,1,1) , (0,1,1) ;

в) (1,1,0,0) , (0,0,1,1) , (1,0,1,1) , (0,1,0,0) .

3.54. Дополнить до ортогонального базиса пространства Еn систему векторов:

а) (4,5); б) (1, −2,1) , (1,0, −1) ; в) (1,1,1,2) , (1,2,3, −3) , (1, −2,1,0) ; г) (1, −2,2, −3) , (2, −3,2,4) .

3.55. Дополнить до ортонормированного базиса пространства Еn систему векторов:

а)		1	,0,			−				3				;									б)		2	,	1	,	2		,	1		,	2	, −	2		;
		2							2																3 3				3				3		3		3
		1			1		1			1						1		1		1		1
в)				,		,			,					,			, −		,		, −		.
		2			2		2			2						2		2		2		2

3.56. Доказать, что линейное пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций является также евклидовым пространством, если в нем скалярное произведение двух произвольных функций f (x) и g (x) задано следующим образом:

( f , g )= ba∫ f (x)g(x)dx .

Записать в этом пространстве неравенство треугольника и неравенство Коши-Буняковского.

3.57. Считая, что в евклидовом пространстве из предыдущей задачи a = −π, b = π, найти

а) длину вектора f (x)= x ;

61

б) длину вектора f (x)=sin x +cos x ;

в) скалярноепроизведение векторов		f (x)=sin 2x и g (x)=sin 3x ;
г) скалярное произведение векторов		f (x)= x и g (x)= ex ;
д) угол между векторами	f (x)= cos 2x и g (x)=sin x ;
е) угол между векторами	f (x)=1 и g (x) = x2 .

3.58. Проверить, что в пространстве непрерывных на отрезке [−π, π] функций со скалярным произведением, заданным формулой

(f , g )= π∫ f (x)g(x)dx ,

−π

функции 1,sin x,cos x,sin 2x,cos 2x,...,sin nx,cos nx образуют ортого-

нальную систему. Получить из нее ортонормированную систему.

3.7. Матрица Грама

Определение. Матрицей Грама для системы векторов v1 ,...,vk называется симметричная матрица вида

γ11

Γ = ...

γn1

где γij = (vi ,vj ) .

... γ1n

... ... ,

... γnn

Утверждение. Скалярное произведение векторов x = (x1 ,..., xn ) и y = ( y1 ,..., yn ) , заданных в базисе v1 ,...,vn , вычисляется по форму-

ле (x, y) = (x1...xn ) Γ (y1 ,..., yn )T ,

где Γ – матрица Грама для системы векторов v1 ,...,vn . Определение. Подмножество евклидова пространства Еn вида

{

1 1

2 2

k k

i

[

]

}

x = λ a

+λ

a

+... + λ

a

λ

0,1 ,i =1,2,..., k

,

где a1,..., ak - линейно независимые векторы, называется k-мерным параллелепипедом, построенным на векторах a1,..., ak .

Утверждение. Объем k-мерного параллелепипеда, построенного на векторах a1,..., ak , равен квадратному корню из определителя

матрицы Грама для системы векторов a1,..., ak .

62

Задачи

3.59. Построить матрицу Грама для системы векторов:

а) (3,1), (1, −2) ; б) (1,1,0) , (−1,0,2) , (2,0,1) ;

в) (1, −1,1, −1) , (0,1,2,3) .

3.60. Вычислить скалярное произведение векторов x и y , заданных своими координатами в базисе a1,..., an , если

а) x = (3,2) , y =(−2,1), a1 = (2,1) , a2 = (−1,3) ;

б) x = (1,3, −2) , y =(2,0,3), a1 = (1,1,0) , a2 = (2, −1,3) , a3 = (0,1,−1) .

3.61. Вычислить длины векторов x , y и угол между ними, если даны следующие разложения по базису a1,..., an и ортонормированному базису e1 ,...,en :

а) x = a2 −3a1 , y = 2a1 −3a2 , a1 = e1 +e2 , a2 = 2e1 +e2 ; б) x = 2a1 +5a2 , y = 2a1 −3a2 , a1 = e1 +e2 , a2 = e1 −e2 ;

в) x =3a1 + 2a2 , y = a1 −a3 , a1 = e1 +e3 , a2 = 2e1 +e2 , a3 =3e1 −2e2 . 3.62. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах:

а) (1,2) , (1, −2) ;	б) (1, −3,2) , (−2,1,3) ;
в) (1, −1, −1,1) , (0,1,2,3) .
3.63. Вершины треугольника	ABC заданы своими координата-

ми: A(1,2,2,1,2), B (2,1,2,2,1), C (0,1,2,0,1). Найти

а) длину медианы, проведенной из вершины A ; б) площадь треугольника ABC ;

в) длину высоты, опущенной из вершины B .

3.64. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

а) (1,2,3) , (0,2,0) , (0,0,3) ; б) (1,3,2,3,1) , (1, −1,2, −1,1) , (1,0,1,0,1) .

3.65. Основание параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c , лежит в плоскости векторов a,b . Найти высоту параллелепипеда, проведенную к основанию, если в ортонормированном ба-

63

зисе e1 ,e2 ,e3 ,e4 справедливо разложение a =3e1 +e2 −e3 −e4 ,

b= 2e1 −3e3 −e4 , c = e1 +e2 +e3 −e4 .

3.66.Вершины пирамиды ABCD заданы своими координатами:

A(3,5,1,4), B (5,10,1,4), C (8,7,1,4), D(4,7,1,8). Найти объем пи-

рамиды, длину высоты, опущенной из вершины D на основание ABC , и угол наклона бокового ребра CD к плоскости основания.

3.67. В евклидовом пространстве Еn под n-мерным единичным кубом понимается множество вида

{

1 1

2 2

n n

i

[

]

}

x = λ a

+λ

a

+... +λ

a

λ

0,1 ,i =1,2,..., n

,

где векторы

a1,..., an

образуют ортонормированную систему. Тре-

буется

а) найти число диагоналей n-мерного куба;

б) найти число его диагоналей, ортогональных данной диагонали; в) найти длину диагонали куба; г) доказать, что любая диагональ куба образует равные углы со

всеми его ребрами; найти этот угол ϕn и его предел при n →∞ .

3.8. Унитарное пространство

Определение. Линейное пространство V называется унитарным пространством, если каждой паре x, y V поставлено в соответствие комплексное число, которое называется скалярным произведением x на y , обозначается (x, y), и для любых x, y, z V и комплексных α,β удовлетворяет следующим требованиям:

1)(x, y)= (y, x );

2)(αx +βy, z )= α(x, z )+β(y, z );

3)(x, x)≥ 0 , причем равенство возможно лишь том случае, ко-

гда x = 0 .

Утверждение. Комплексное линейное пространство

Un = {x = (x1, x2 ,..., xn ) xk C, k =1,2,..., n },

в котором скалярное произведение векторов задано равенством

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn ,

является унитарным пространством.

64

Примеры

1. Векторы e1 ,e2 ,e3 образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Найти скалярное произведение (a,b) , если

a= (a1 , a2 , a3 ) = 3i e1 + 2 e 2 +i e3 ,

b= (b1 ,b2 ,b3 ) = i e1 −e2 + 2i e3 .

Решение. В рассматриваемом случае в соответствии со свойствами скалярного произведения в унитарном пространстве можно записать

(a,b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 3i (−i) + 2 (−1) +i 2(−i) =

=3 −2 + 2 = 3.

2.В унитарном пространстве со скалярным произведением вида

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 построить ортонормированный базис по данному

a = (i,1), b = (i,i) .

Решение. Сначала проведем процедуру ортогонализации. В данном случае она аналогична описанной для евклидова пространства.

Положим e1′ = a,

e2′ = b +α e1′.

Используя условия ортогональности, получим

α = −

(b,e1′)

= −

(b, a)

= −

i (−i) +i 1

= −

1+i

.

(e1′,e1′)

i (−i) +1 1

(a, a)

2

e2′ =b

−

1+i

a

== (

1+i

, −1+i ).

2

2

2

Теперь отнормируем векторы e1′,e2′ :

e1 =

e1′

=

e1′

= (

i

,

1

), e2 =

e2′

,

e2′

=

e1′

e2′

2

2

2

=

(1+i)(1−i)

+

(−1+i)(−1−i)

=

1

+

1

=1,

2

2

4

4

e2 = e2′ = (

1+i

, −1+i ).

2

2

65

Задачи

3.68. В унитарном пространстве Un вычислить скалярное произведение

а)	x =3 +i на y = 4 −2i ;	б)	x = (1+i,0,3i) на y = (i,1,1+ 2i) ;
в)	x = (1,1,i) на y = (i,1,1) ;	г)	x = (i,i,...,i) на y = (i,2i,..., ni) .
3.69. Ортогональны ли векторы
а) 1+ 2i и 2 +i ;		б) (5,3 +6i) и (3i,2 −i) ;
в)	(1−i,2,i) и (3,2 −i,i) .

3.70. В унитарном пространстве Un вычислить норму вектора

а)	3 −4i ;	б) (2i,2 −i) ;	в) (1,i,1+i) ;	г) (i,2i,3i,4i).
3.71. Построить матрицу Грама системы векторов
а)	(1+i,1−i) , (i,i) , (1,1) ;		б) (i, −1,i) , (i,2,i) .

3.72. Векторы e1 ,e2 образуют ортонормированный базис пространства U2. Найти скалярное произведение (a,b ) и (b, a), если

а) a =ie1 +(i −1)e2 , b = (2 +i)e1 +(3 +i)e2 ;

б) a =5e1 −(3 + 4i)e2 , b =3ie1 +(i − 2)e2 .

3.73. Векторы a1 , a2 образуют ортогональный базис пространства U2. Найти (x, y) и x , если

а) x = a1 +(4 +i)a2 , y = −2a1 +(3 −i)a2 , a1 = 2 , a2 =3 ;

б) x = (1+i)a1 + (2 −i)a2 , y = (1+i)a1 +(2 +i)a2 , a1 =1 2 , a2 =1 .

3.74. Ортонормировать систему векторов:

а) (1,1) , (i,1) ; б) (2i,2,i) , (0,i,3) . 3.75. Показать, что линейное пространство

{x = a +bi a,b R,i2 = −1}

не будет являться унитарным, если в нем скалярное произведение x = a +bi на y = c + di задать равенством (x, y) = bd .

66

3.9. Ортогональное разложение векторов

Определение. Говорят, что вектор vG ортогонален к подпространству L , если вектор v ортогонален любому вектору из этого подпространства.

Определение. Ортогональным дополнением к подпространству L из евклидова пространства E называется множество всех векто-

ров из E , ортогональных подпространству L . Обозначается L .
Определение. Пусть вектор x	представлен в виде x = yG + z , где
yG L , а zG L , тогда вектор y	называется ортогональной проек-
цией вектора xG на подпространство L , вектор z называется орто-

гональной составляющей вектора x относительно подпространства
L , число zG	называется расстоянием от вектора x до подпро-

странства L , а угол между векторами x и y называется углом ме-

жду вектором xG и подпространством L .

Утверждение. Ортогональное дополнение к подпространству из евклидова пространства само является подпространством евклидова пространства E .

Утверждение. Сумма подпространств L + L является прямой суммой.

Утверждение. Если L – некоторое подпространство евклидова пространства E , то справедливо равенство L + L = E .

Примеры

1. Найти ортогональную проекцию вектора x = (8, −1,3,6) на подпространствоG GL , порожденноеG векторами

f1 = (4,2,0,0), f2 = (2,1, −1,2), f3 = (1, −2, −4,3) .

Решение. Вначале определим базис данного подпространстваG G . Проверим, являются ли линейно независимыми векторы f1 , f2 , f3 . УсловиеG линейнойG независимостиG (зависимости) данных векторов α1 f1 +α2 f2 +α3 f3 = 0 представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов α1,α2 ,α3 . Найдем решение этой системы с помощью элементарных преобразований ее матрицы:

67

	4		2	1				2		1	−2				2 1		−2
	2		1	−2				4		2	1				0 0		5
						~								~					~
	0		−1	−4				0		−1		−4			0 −1		−4
	0		2	3				0		2	3				0 2		3
	2 1 −2						2 1					−2		2 1 −2
~ 0 −1 −4							~ 0 −1 −4							~		0 −1 −4
		0 2 3							0 0			−5
																0 0 −5
		0	0	5					0		0	5

Как видно, ранг системы равен 3, определитель системы отличен от нуля. Следовательно, однородная система трех уравнений для трех неизвестных имеет лишь тривиальное решение:

α1 = 0, α2 = 0, α3 = 0 . G G

Таким образом, векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы и составляют базис заданного подпространства. По определению вектор y ,

представляющий ортогональную проекцию x на подпространство L , принадлежит L и ортогонален z . Эти условия приводят в итоге

к системе уравнений для координат

y1 , y2 ,..., yk

вектора y в базисе

fG1 , fG2 ,..., fGk подпространства L :

G

G

y γ

+ y

γ

+... + y

γ

) = b

,

j =1, 2,..., k ,

1 j

2 j

kj

= (x, f

j

1

2

k

j

где γij = ( fGi , fGk ) - элементы матрицы Грама.

В соответствии с формулой Крамера решение этой системы имеет вид

y j = δδj ,

где δ – определитель матрицы Грама системы базисных векторов, а δj – определитель, полученный из определителя Грама заменой j-

го столбца на столбец из свободных членов (xG, f j ) выписанной

системы уравнений.

В рассматриваемой задаче элементы матрицы Грама равны

68

γ11 = 20, γ12 = γ21 =10, γ13 = γ31 = 0, γ22 =10,

γ23 = γ32 =10, γ33 = 30.

Элементы столбца свободных членов: b1 =30, b2 =30, b3 = 40 .

Учитывая это, для определителей δ,δ1 ,δ2 ,δ3 имеем
δ =		20			10	0		=103				2	1	0			=103 , δ =					30	10	0		=103 ,
		10			10	10						1	1	1								30	10	10
		0			10	30						0	1	3				1				40	10	30
δ2 =				20	30	0				=103 , δ3 =					20		10	30		=103.
				10	30	10									10		10	30
				0	40	30									0		10	40

Откуда y1 = δ1 / δ =1, y2 = δ2 / δ =1, y3 = δ3 / δ =1 .

Таким образом, для ортогональной прекции вектора x на подпространство L получим

y = y1 f1 + y2 f2 + y3 f3 = f1 + f2 + f3 = (7,1, −5,5) .

Задачи

3.76. Найти размерность и базис ортогонального дополнения к линейной оболочке векторов:

а) (1,1,1), (1, −1,1); б) (1,0,2,1), (2,1,2,3), (0,1, −2,1); в) (1,2,2, −1), (1,1, −5,3), (3,2,8, −7).

3.77. Найти размерность и базис ортогонального дополнения к подпространству, заданному системой

	5			7		4		x			0			3x1 −2x2 + x3			− x4 = 0
а)		2		3		3		1					; б)						;
								x2		=	0				− 4x2	+ 2x3	−2x4 =
		4		5		−1		x			0			6x1				0
								3
	5x +7x + 4x +3x = 0
				1		2		3		4
в)			4x1 +5x2 +5x3 +3x4 = 0
	3x				+ 4x		+3x +			2x	=		0
				1		2		3		4

3.78. Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую z вектора x относительно подпространства, порожденного векторами a1 , a2 , a3 , если

69

а)	x = (4, −1, −3,4),		a1 = (1,1,1,1), a2 = (1,2,2, −1); a3 = (1,0,0,3);
б)	x = (5,2, −2,2),		a1 = (2,1,1, −1),			a2 = (1,1,3,0); a3 =(1,2,8,1).
3.79. Найти ортогональную проекцию							y и ортогональную со-
ставляющую		z вектора		x = (7, −4, −1,2)			относительно подпро-
странства, заданного системой
			2x + x + x +3x = 0
				1 2	3	4
			3x1	+ 2x2 + 2x3 + x4 = 0 .
			x + 2x		+ 2x	−9x = 0
			1	2	3	4
3.80. Найти ортогональную проекцию							y и ортогональную со-
ставляющую z		вектора x = (4,2, −5,1) относительно ортогонального

дополнения к линейной оболочке векторов (2, –2, 1, 2), (2, –4, 2, 3).

3.81.Найти расстояние от вектора			x = (2,4,0, −1)			до подпро-
странства L и угол между ними, если L задано системой
	2x + 2x + x + x = 0				.
	1	2 3	4	0
2x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 =
3.82. Найти расстояние от вектора			x = (1,3, −1,3)			до линейной

оболочки L векторов (1, −1,1,1), (5,1, −3,3) и угол между x и L . 3.83. Найти угол между вектором x и подпространством, поро-

жденным векторами a1,..., an , если
а)	x = (2,2,1,1),	a1 = (3,4, −4, −1) ,	a2 = (0,1, −1,2);
б)	x = (1,0,3,0),	a1 = (5,3,4, −3) ,	a2 = (1,1,4,5); a3 = (2, −1,1,2).

3.84. Основанием 4 -мерного параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, d , служит 3 -мерный параллелепипед, построен-

ный на векторах a,b,c . Найти объем 4 -мерного параллелепипеда и длину перпендикуляра, опущенного на основание, если

a = (1,0,1,2) , b = (−1,0, −1,0) , c = (0,0,2,1) , d = (0,1,1,1) .

3.85. Найти угол между диагональю n-мерного куба (см. задачу 3.67) и его k-мерной гранью.

70