Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

60 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы

Описание амплитуды iV-частичного рассеяния в рамках первичного квантования неудобно, потому что оно требует явного суммирования по конкретным топологиям, которые должны быть введены в теорию вручную. Это значит, что унитарность не очевидна в формализме первичного квантования. Ниже мы увидим, что эта трудность первично квантованной теории точечных частиц прямо переносится в первично квантованную теорию струн. В описании вторичного квантования, напротив, все топологии можно явным образом вывести из одного действия.

Переход от описания первичного квантования к описанию вторичного квантования в формализме континуального интеграла можно выполнить очевидным образом. Например, пропагатор можно записать как на языке первичного квантования, так и на языке вторичного квантования:

Aab = ] D x e ^ , L U )

Ха
= JD\|/D\|/ *\|/ (xj \|/* (xb)eiSDxL№\	(1.10.3)

где

0|\|/> = v|/W,

L{i) = \mxl,

(1.10.4)

L(y) = v|/* (idt — H)\\f.

Последнее уравнение задает лагранжиан для волнового уравнения Шрёдингера, которое можно вывести, исходя из постулатов континуального

интеграла и формы лагранжиана L =l- rnvf.

В случае взаимодействий также возможно найти вертексы вторичного квантования из теории первичного квантования точно тем же способом. Мы просто записываем функциональный интеграл по мировому листу, где точечные частицы расщепляются на точечные частицы, а затем записываем эту функцию Грина как функциональный интеграл по вторично квантованным полям.

Мы вскоре увидим преимущества тщательного выяснения деталей континуального интеграла для точечных частиц. Мы обнаружим, что почти весь этот формализм переносится непосредственно в формализм теории струн!

ЛИТЕРАТУРА

[1]Обзоры теории струн см.: Schwarz J. Н., ed., Superstrings, Vols. 1 and 2, World Scientific, Singapore, 1985; Schwarz, Phys. Rep. 89, 233 (1982).

[2]Green M.B. Surv. High Energy Phys. 3, 127 (1983).

[3]Alessandrini V., Amati D., LeBellac M., Olive D.I. Phys. Rep. 1С, 170 (1971).

[4]Mandelstam S. Phys. Rep. 13C, 259 (1974).

[5]Rebbi C. Phys. Rep. 12C, 259 (1974).

§ 1.10. Резюме

61

1984.

ПОТ Schwarz J. Н. Phys. Rep. 8C, 269 (1973).

ri ll Green M. В., Gross D., eds., Unified String Theories, World Scientific, Singapore,

1986.

П23 Green M. В., Schwarz J. H., Witten E. Superstring Theory, Vols. 1 and 2, Cambridge University Press, Cambridge, 1986. [Имеется перевод: M. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. В двух томах- М.: Мир, 1990.]

[13]Georgi Н., Glashow S.L. Phys. Rev. Lett., 438 (1974).

[14]Freedman D.Z., Van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Phys. Rev. D13, 32 (1976).

[15]Deser S., Zumino B. Phys. Lett. 62B, 335 (1976).

[16]Regge Т., Nuovo Cim. 19, 558 (1961).

[17]Christ N.H., Friedberg R„ Lee T.D., Nucl. Phys. B202, 89 (1982).

[18]Wick G.C., Lee T.D. Nucl. Phys. B9, 209 (1969).

[19]Kaku M., Nucl. Phys. B203, 285 (1982).

[20]Kaku M. Phys. Rev. Lett. 50, 1895 (1983); Phys. Rev. D27, 2809, 2819 (1983).

[21]Veneziano G. Nuovo Cim. 57A, 190 (1968).

[22]Suzuki M. (неопубликовано).

[23]Ramond P. Phys. Rev. D3, 2415 (1971).

[24]Neveu A., Schwarz J. H. Nucl. Phys. B31, 816 (1971).

[25]Neveu A., Schwarz J. H. Phys. Rev. D4, 1109 (1971).

[26]Kikkawa K., Sakita В., Virasoro M. A. Phys. Rev. 184, 171 (1969).

[27]Kaku M., Yu L.P. Phys. Lett. 33B, 166 (1970).

[28]Kaku M., Yu L.P. Phys. Rev. D3, 2992, 3007, 3020 (1971).

[29]Kaku M., Scherk J. Phys. Rev. D3, 430 (1971).

[30]Kaku M., Scherk J. Phys. Rev. D3, 2000 (1971).

[31]Alessandrini V. Nuovo Cim. 2A, 321 (1971).

[32]Lovelace C. Phys. Lett. 32B, 703 (1970).

[33]Lovelace C. Phys. Lett. 34B, 500 (1971).

[34]Nambu Y. Lectures at the Copenhagen Summer Symposium (1970).

[35]Goto T. Prog. Theor. Phys. 46, 1560 (1971).

[36]Goddard P., Goldstone J., Rebbi C., Thorn C.B. Nucl. Phys. B56, 109 (1973).

[37]Mandelstam S. Nucl. Phys. B64, 205 (1973); B69, 77 (1974).

[38]Kaku M., Kikkawa K. Phys. Rev. D10, 1110, 1823 (1974).

[39]Scherk J., Schwarz J.H. Nucl. Phys. B81, 118 (1974); см. также Yonea Т., Prog. Theor. Phys. 51, 1907 (1974).

[40]Green M.B., Schwarz J.H. Phys. Lett. 149B, 117 (1984); 151B, 21 (1985).

[41]Gross D. J., Harvey J. A., Martinec E., Rohm R. Nucl. Phys. B256, 253 (1986); B267, 75 (1986).

[42]Hsue C.S., Sakita B, Virasoro M. A. Phys. Rev. D2, 2857 (1970).

[43]Gervais J.L, Sakita B. Nucl. Phys. B34, 632 (1971); Phys. Rev. D4, 2291 (1971);

Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973); Fairlie D.B, Nielsen H.B., Nucl. Phys., B20, 637 (1970).

[44]Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. McGrawHill, New York, 1965.

[45]Becchi C., Rouet A., Stora R. Ann. Phys. 98, 287 (1976).

[46]Тютин И. В. Препринт ФИАН, № 39, 1975.

[47]Faddeev L.D., Popov V.N. Phys. Lett. 25B, 29 (1967).

Глава 2 СТРУНЫ НАМБУ-ГОТО

§ 2.1. БОЗОННЫЕ СТРУНЫ

Теория струн на первый взгляд кажется отклоняющейся от обычных методов, развитых за последние 40 лет для теорий вторично квантованных полей. Это произошло потому, что теория струн была исторически впервые открыта в форме теории первичного квантования. Именно поэтому теория струн порой выглядит как случайный набор произвольных допущений. Хотя теория вторично квантованного поля может быть полностью выведена из единственного выражения для действия, теория первичного квантования требует дополнительных предположений. В частности, вертексы, выбор взаимодействий и веса диаграмм теории возмущений должны быть постулированы вручную и затем проверены на унитарность.

К счастью, формализм континуального интеграла для первично квантованной точечной частицы был затем обобщен на струны Жервэ и Сакитой, что позволяет нам выписать динамику взаимодействующих струн с замечательной легкостью.

В предыдущей главе мы ввели самые важные математические понятия, на основе которых можно обсуждать теорию первичного квантования для точечных частиц. Как ни странно, почти все основные черты струны Намбу-Гото имеют те или иные аналоги в этой теории. Конечно, в теории струн встречаются совершенно новые черты, такие, как существование мощных симметрий на мировом листе, но основные методы квантования могут быть прямо перенесены со случая точечной частицы, рассмотренного в предыдущей главе.

Мы видели, что обычная формулировка вторично квантованной теории поля может быть переписана в форме первичного квантования. Так, традиционный ковариантный фейнмановский пропагатор (1.6.19)

можно с помощью (1.3.28), (1.3.30), (1.3.37) переписать в виде
AF(xlf х2) =	(хх •		2 хгУ
=	O i	\dxe	— т ( П — т2) >
		о
= ] di		f Dxe-°/ 2 ) S l d i { i '-m 2 \		(2.1.1)

где мы интегрируем по всем возможным траекториям частицы, находящейся в точке хи(т), которые начинаются в х, и оканчиваются в точке х2.

§ 2.1. Бозонные струны

63

Взаимодействия, как мы видели, вводились в теорию вручную постулиованием конкретного набора топологий, по которым частица может блу*Дать- Амплитуда рассеяния, например, есть

A(k1,k2,..,kN)=	I		jDxe-^ +		^'-Arr
	ТОПОЛОГИЯ
		N
=	X	< П	е '	,	(2.1.2)
	топология 1		*

где мы интегрируем по всем топологиям, образующим известные фейнмановские диаграммы для теории ф3 или ф4.

Важно заметить, что полученная в результате фейнмановская диаграмма является графом, а не многообразием. В точке взаимодействия локальная топология не есть R", так что она не может быть многообразием. Нет никакой корреляции между внутренними линиями и точками взаимодействия. Это значит, что мы можем ввести в точке взаимодействия релятивистской точечной частицы произвольно высокие спины, если мы пользуемся формализмом первичного квантования. Поэтому первично квантованная теория точечной частицы обладает бесконечной степенью произвольности, что соответствует различным спинам и массам, которые мы можем поместить в точку взаимодействия. Кроме того, ультрафиолетовые расходимости каждой фейнмановской диаграммы соответствуют числу способов, которыми можно «прищепить» эту диаграмму, стянув в точку какую-либо из внутренних линий, и тем самым деформировать локальную топологию.

Эта картина, однако, полностью меняется при переходе к струнам. Хотя формализм континуального интеграла выглядит почти тем же самым, имеются глубокие и важные различия. В частности, сумма по историям развития становится суммой по всем возможным трубкам или поверхностям, которые могут соединять две различные струны (см. рис. 2.1). Этот мировой лист является настоящим многообразием, а именно римановой поверхностью, так что множество взаимодействий, совместимых с пропагатором, резко ограничивается. Поэтому мы ожи-

Рис. 2.1. Вершины для точечных частиц и для струн. Для точечных частиц можно построить большое число различных теорий, основанных на разных значениях спинов и изоспинов, поскольку фейнмановские диаграммы являются графами. Однако число известных теорий струн невелико, потому что взаимодействия должны описываться в этом случае многообразиями, а не графами. Конформная симметрия, модулярная инвариантность и суперсимметрия налагают жесткие ограничения на многообразия, которые можно использовать в теориях супер-

струн; эти ограничения не имеют аналогов в теории точечных частиц.

64	Гл. 2. Струны Намбу - Гото

даем обнаружить очень малое число теорий струн, в противоположность бесконечному числу теорий точечных частиц, которые возможно написать. Кроме того, теория суперструн не испытывает трудностей, порождаемых ультрафиолетовыми расходимостями, которые возникают из-за стягивания в точку одной из внутренних линий. Невозможно «прищепить» мировую поверхность струны, чтобы получить ультрафиолетовую расходимость. Поэтому теория струн свободна от расходимостей в силу чисто топологических соображений. (Необходимо отметить, однако, что такую «прищепнутую» диаграмму можно рассматривать как инфракрасную расходимость, представляющую испускание безмассовой частицы с нулевым спином в вакуум. К счастью, суперсимметрия устраняет эти инфракрасные расходимости.)

Итак, хотя формализм континуального интеграла сравнительно просто справляется и с теорией первично квантованной точечной частицы,

ис теорией первично квантованной струны, но существуют глубокие

иважные различия в физике этих теорий, возникающие из чисто топологических соображений.

Начнем обсуждение струн с введения координат, описывающих колеблющуюся в физическом пространстве-времени струну. Пусть точки вдоль струны параметризуются переменной от, и пусть струна распространяется во времени. Пусть вектор

Х,(а,т)

(2.1.3)

представляет пространственно-временные координаты этой струны (см. рис. 2.2), параметризованные двумя переменными. При движении струны она заметает двумерную поверхность, которую мы назовем «мировым листом». Он будет параметризован двумя переменными, а и т. Векторы, касательные к этой поверхности, определяются производными от координаты:

Касательные

векторы = дХ» (

2

.

1

.

4 1>.ч)

тает двумерную поверхность, параметризованную координатами а и т. Струнная переменная т)-это вектор, соединяющий начало координат с точкой на этом двумерном многообразии.

§ 2.1. Бозонные струны	65
Свертка этих двух касательных векторов дает метрику
g* = W b X » 9	(2.1.5)

где мы заменили две переменные (т, от) набором (а, Ь)\ и я, и Ь могут принимать значения 0 и 1. Площадь бесконечно малого элемента на этой поверхности можно записать в виде

dплощадь ~ yjdet | gah | dodx.

(2.1.6)

По аналогии со случаем точечной частицы, в котором действие было длиной траектории частицы, определим теперь действие как площадь этого мирового листа. Лагранжиан поэтому дается формулой [1-4]:

(2.1.7)

где штрих представляет дифференцирование по ст, а точка - дифференцирование по т. Действие есть просто лагранжиан, интегрированный по мировому листу, что равно общей площади этой двумерной поверхности:

S = $dodtL(o, т).

(2.1.8)

Функция Грина для распространения струны от конфигурации Ха в момент «времени» та к конфигурации Xh в момент «времени» ть, а также континуальный интеграл по поверхности, выражающей топологию нескольких взаимодействующих струн, могут быть представлены в виде

К(Ха9 Xb) = )bDXe-KdxSldo\

Z =	X	\d\iDXe~	(2.1.9)
	топология
где DX = П		т), ф представляет интегральную меру по распо-

ложению внешних линий и где сделан виковский поворот по переменной х (по формуле т -> — IT), чтобы интеграл сходился.

Соответствие между формализмом континуального интеграла для точечных частиц, который мы тщательно разработали в предыдущей главе, и формализмом теории струн весьма примечательно. Мы находим, что почти весь формализм точечных частиц можно перенести

вформализм теории струн:

г-у

*м(т)		*„(<*, т)
J длина	>• — •	< площадь
П ^ М 1 )		П dxA°>
Подобным	образом	континуальные интегралы для точечных частиц

5-787

66	Гл. 2. Струны Намбу - Гото

и для теории струн обладают удивительно сходными чертами. ЛГ-то- чечную функцию для амплитуды рассеяния N-струн тоже можно записать в виде преобразования Фурье, подобного континуальному интегралу для точечных частиц:

fDxe -fx[L(x)dz

Xi

Хотя имеются примечательные аналогии между теорией точечных частиц и теорией струн, когда они выражены на языке континуального интеграла, между ними выявится решающее отличие, когда мы исследуем топологии, по которым могут двигаться соответствующие объекты. Для случая точечных частиц эти топологии суть графы, как в фейнмановских диаграммах, тогда как для теорий струн эти топологии суть

многообразия:

Графы Многообразия.

Одна из важнейших причин, по которой для точечных частиц имеется столь много различных выражений действия (и так мало разных действий для теории струн),-та, что отличает графы от многообразий. Нетривиальные ограничения, наложенные на многообразия, резко снижают число непротиворечивых теорий струн.

Как и в случае точечной частицы, выбор параметризации был вполне произволен. Поэтому наше действие должно быть независимо от параметризации. Чтобы это увидеть, сделаем произвольную замену переменных:

а = а (а, т),

(2.1.10)

т = т(сг, т).

При такой репараметризации переменная струны изменяется на величину

= + Х»8х. (2.1.11)

Поскольку площадь поверхности не зависит от параметризации, действие обладает явной репараметризационной инвариантностью, что легко проверяется.

Как и прежде, выпишем канонически сопряженные переменные тео-

рии:
5L	1	Х'2Хр-(ХуХ™)Х^
	2ка'	det | daXvdbXv | '

Как и в случае точечных частиц, эти импульсы не все независимы.

§ 2.1. Бозонные струны

67

Действительно, мы находим два тождества, которым удовлетворяют канонические импульсы:

Связи:	(2.1.12)
=	0.

Итак, эти два условия налагают связи на канонические импульсы. Вычисление гамильтониана системы показывает, что он тождественно равен нулю, как в (1.4.9):

# = / \ J ^ - L = 0 .

(2.1.13)

Обращение в нуль гамильтониана и наличие связей на импульсы служат указаниями на то, что мы имеем дело с калибровочной системой, обладающей бесконечной избыточностью. Репараметризационная инвариантность системы является источником этой избыточности. Поэтому мы можем выписать тесное соответствие между связями теории точечных частиц и теории струн:

р^	_ j — ! —
{р2 + т2 = 0} - <	+	(2ка')2

РуХ'* = 0

Прежде чем начать подробное обсуждение квантования струны, поучительно рассмотреть чисто классические движения этой струны. Сначала отождествим параметр т с физическим временем, так что

(2.1.14)

Затем вынесем множитель X'2 из-под знака корня в выражении для действия (2.1.7):

2ка

где v-составляющая скорости, перпендикулярная струне:

vfc*fc.

V: = V, - - х/ -Xi.

(2.1.15)

(2.1.16)

Граничные условия, выводимые из этого действия с фиксированной калибровкой, включают

v? = 1.

(2.1.17)

68	Гл. 2. Струны Намбу - Гото

Это значит, что концы классической струны движутся со скоростью света.

Мы можем также вычислить энергию классической струны. Будем предполагать, что струна находится в конфигурации, максимизирующей ее момент количества движения, т.е. она является твердым стержнем, вращающимся с угловой скоростью со вокруг оси, помеченной единичным вектором г. Струну можно параметризовать выражением

X = err,

(2.1.18)

где

Г = (О X г,

(2.1.19)

г• со = О

И- / ^ G ^ /.

Чтобы вычислить энергию и момент количества движения системы, нужно сначала выписать лоренцевы генераторы, связанные со струной:

М^ = J do

- P»XV).

(2.1.20)

Заметим, что это порождает алгебру группы Лоренца, если задать скобки Пуассона:

[Хц(сг), Л(ст')] = Лцу6(сг - а').

(2.1.21)

Теперь можно вычислить энергию и момент количества движения из составляющих лоренцева генератора [5]:

s . j L } * , , - ^ , - » . ^ .

1 1 1 2 2 1

=со(4а'со3)-1

~со£2а'.

Итак, момент количества движения вращающейся струны пропорционален квадрату энергии системы:

|J| - Е2.

(2.1.23)

Если на оси абсцисс откладывать квадрат энергии, а на оси ординат момент количества движения (называемый также угловым моментом), то получится кривая, известная как траектория Редже. Наклон этой траектории равен а', и кривая линейна. Итак, мы получили ведущую траекторию Редже для классического вращения твердого тела. На

протяжении всей книги мы будем выбирать нормировку а' = Это

произвольное соглашение. Однако ниже мы увидим, что интерсепт а0 ведущей траектории должен быть положен равным единице, что фикси-

§ 2.1. Бозонные струны

69

руется конформной инвариантностью после квантования теории. Итак, положим

=

(2.1.24)

При квантовании системы мы обнаружим, что имеется бесконечно много таких параллельных траекторий Редже, но с все более отрицательными координатами их пересечения с осью у.

Как мы подчеркивали, есть принципиальное отличие между случаем точечных частиц и струной, состоящее в том, что струнная система обладает более обширным набором связей, порождающим калибровочную группу репараметризации. Например, если ввести канонические скобки Пуассона, то можно непосредственно показать, что эти связи порождают некоторую алгебру.

Для вычисления этой алгебры разложим X и Р по нормальным модам открытой струны:

Х»(а) = я? +	2 £	-^X^coshg,
		(2.1.25)
/*(ст) = 1 { / +	£	cos ист]

и — 1

Заметим, что в разложение для X входят только члены, содержащие косинусы. Причина в том, что при выводе уравнений движения струны приходится интегрировать по частям и поэтому возникают нежелательные поверхностные члены в точках a = я и о = 0. Для устранения этих поверхностных членов нужно наложить граничное условие

(2.1.26)

Это граничное условие устраняет все синусные моды струны.

Иногда будет удобно пользоваться тем, что разложение имеет такой вид. В частности, отсюда следует, что

(2.1.27)

*ц(сг)= -Х'^-о).

То же самое справедливо для мод канонически сопряженной переменной Рц. Это в свою очередь позволяет объединить обе связи в одну, воспользовавшись свойствами симметрии струны относительно отра- жения-замены а на — ст. Выбрав параметризацию, в которой длина струны равна я, определим

Lf = -L }	daf(a)[ У ^ я Р , +	У,	(2.1.28)
4 л : - я	V	V 2 a ^