Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

510 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

Таким образом, эйлерова характеристика замкнутой римановой поверхности равна

Х(М)= 1 -2д+ 1 = 2 - 2 0 .

(11.3.28)

(3) W-сфера

Циклы на сфере SN, конечно, всегда могут быть стянуты в точку. Поэтому на SN не существует независимых циклов. Следовательно,

	(11.3.29)
L bp = 0 в остальных случаях.
Для эйлеровой характеристики получаем
f 0, если N четно,
Н L'2, еслиыN нечетно.	(П.3.30)
В частности, поскольку
T2 = SlxS1,	(11.3.31)

можно использовать правило произведения эйлеровых характеристик и показать, что эйлерова характеристика тора равна

l(T2) = l(Sl)2 = 0,

(11.3.32)

что согласуется с приведенным выше вычислением.

(4) Произведение сфер

Используя (11.3.24), можно показать, что для произведения S3 х 53

числа Бетти суть

Ь0	= Ь6 =	\ ,
S^ х S,: i b3	= 2,	(11.3.33)

bp = 0 в остальных случаях.

Мы находим, что эйлерова характеристика равна нулю, как и следовало

ожидать, поскольку эйлерова характеристика трехмерной сферы также равна нулю:

l(S3xS3) = x(S3)xx(S3) = 0.

(11.3.34)

Аналогично можно взять произведение S2 х S2 х S2, числа Бетти

которого равны

= Ь6 = 1,
S2 х S2 х S2: ^ b2 = b, = 3,	(11.3.35)

bp = 0 в остальных случаях.

	§ 11.3. Когомологии и гомологии	511
Для эйлеровой характеристики получаем
X(S2 xS2x	S2) = x(S2)3 = 8.	(11.3.36)
	(5) Четырехмерный тор
Можно представить 4-мерный тор как
Г4=Г2х	Т2.	(11.3.37)

В качестве простого упражнения можно показать, что формула Кюннета (11.3.24) для произведения многообразий дает

Ь0 = Ь4 = 1,	(11.3.38)
bx=b3 = 4,
Ъ2 = 6.

Подставляя полученные числа Бетти в формулу для эйлеровой характеристики, находим

Х(Т*) = Х ( Т 2	) Х ( Т=2 )0,	(11.3.39)
как и следовало ожидать.
	(6) Шестимерный тор
Для шестимерного тора Т6 имеем
Т6 = Т2хТ2х	Т2.	(11.3.40)

Поэтому мы можем использовать формулу Кюннета для нахождения чисел Бетти произведения многообразий. Легко показать, что

^о = b6 = 1,

= Ь5 = 6,	(11.3.41)
b2 = bt = 15,
b3 = 20.
Отсюда получаем, что эйлерова характеристика равна нулю:
Х(Т6) = 0.	(11.3.42)

Это следует также и из того факта, что каждый цикл в Т6 имеет нулевую

эйлерову характеристику. Используя сформулированные выше простые правила, можно легко получить числа Бетти для TN.

512	Гл.	11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия
	(7) Вещественное и комплексное проективные пространства
	Пространство	CPN получается, если взять обычное комплексное
(.N + 1)-мерное пространство и отождествить
	=	(11.3.43)

для некоторого ненулевого комплексного числа X. Это отождествление превращает комплексное (АГ + 1)-мерное пространство в комплексное проективное N-мерное пространство. CPN является обобщением вещественного проективного пространства PN, которое получается после отождествления точек в (AT -h 1)-мерном вещественном пространстве по формуле

хр = кхр

(11.3.44)

для некоторого ненулевого вещественного к. Пространство PN можно также получить отождествлением противоположных точек сферы SN. Примерами вещественных и комплексных проективных пространств служат

CP, = S2,

р3 = so (3) = SU(2)/Z2,	(11.3.45)
SU(AT + 1)
C F n ~ U(AT) •
Числа Бетти для них будут следующими:

b0=U

PN - < bN = О (АГ четное); =1 (АГ нечетное),			(11.3.46)
	b{j = 0 в остальных случаях;
%(PN) = 1 (N четное); =0 (АГ нечетное)
	^четное	1 »
CP»>h	"нечетное	-п
		О .
Следовательно,
%(CPN) = АГ -h		1.	(11.3.47)

§ 11.4. КЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ

До сих пор наше обсуждение касалось в основном вещественных

многообразий. Однако эти результаты довольно легко обобщаются на комплексные многообразия.

Для того чтобы определить АГ-мерное комплексное многообразие,

нам понадобится 2АГ-мерное вещественное многообразие и обобщение

§ 11.4. Кэлеровы многообразия

513

обычного определения комплексного числа: z = х + /у, где /2 = — 1. Если МЫ имеем 2ЛГ-мерное вещественное многообразие, то при наличии на нем 2N х 2N тензорного поля J/, заменяющего мнимую единицу i и

удовлетворяющего матричному уравнению

J2= - / ,	(11.4.1)
можно определить комплексное число как
Z = x + Jy.	(11.4.2)

Многообразия, на которых задано такое тензорное поле J, называются почти комплексными.

Однако мы хотим большего, нежели только существования тензорного поля J. Мы хотели бы диагонализовать J. Если мы используем комплексные координаты

=	+	(11.4.3)
2а =	~ 1Уа ,
то хотелось бы произвести такую замену переменных, чтобы
Jha = ibba.		(11.4.4)
Вопрос стоит так: всегда ли мы можем диагонализовать J в окрестности
точки р, используя преобразование координат
z'a = z'a(zb)		(11.4.5)

(которое не является функцией от z)? Такое преобразование координат называется голоморфным, что является обобщением понятия анали-

тичности. Для разных точек р мы, конечно, должны будем склеивать эти окрестности друг с другом, используя различные голоморфные преобразования, до тех пор, пока не покроем ими всю поверхность.

Если всегда можно найти такие голоморфные преобразования, которые диагонализуют J в окрестности каждой точки р многообразия, то

мы будем говорить, что многообразие имеет комплексную структуру

иявляется комплексным многообразием.

Итак, имеем следующие аналогии:

Одно измерение	N измерений
i	Jba = &ba
Аналитичность	Голоморфность	(11.4.6)
z = х + iy	z = х + Jy

Интуитивно, процесс склеивания окрестностей, в которых J является

•^атональным, напоминает «проблему лифта» в общей теории относительности. С помощью общекоординатного преобразования в любой Убранной точке мы всегда можем локально обратить символы Крис-

33-787

514 Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

тоффеля в нуль, что соответствует свободному падению в лифте и от. сутствию гравитации. Но, вообще говоря, мы не можем глобально обратить в нуль символы Кристоффеля, иначе пространство будет плоским, однако в каждой точке многообразия мы можем перейти в систему отсчета, связанную с лифтом.)

На первый взгляд, данное выше определение комплексного многообразия может показаться слишком многословным для столь интуитивного понятия. Однако можно привести примеры 2ЛГ-мерных вещественных многообразий, для которых используемый в определении критерий не выполняется. Например, сферы S2N не являются комплексными многообразиями (за исключением S2, так как S2 = СРД Таким образом,

отнюдь не очевидно, что произвольное 2ЛГ-мерное вещественное многообразие может быть представлено как N-мерное комплексное многообразие.

Обсудим дифференциальные формы на комплексных многообразиях. Комплексифицируем наши базисные дифференциалы следующим обра-

зом:
dzi = dxi + idyj.	(11.4.7)

Понятие /7-формы теперь может быть обобщено до понятия (р, ^)-формы

со = (0iJk и Jfk^dz1 A dzi'"dzu A <Ё А

(11.4.8)

с р ненадчеркнутыми и q надчеркнутыми индексами. Теперь мы можем

определить две внешние производные:

8	.
д(° = 5?®**- Yk ~udZ A dzl "' A ^'
dco = ^ldzl%k.JkQdziA...Adz\		(11.4.9)
Свойства этих производных таковы:
д2 = д2 = 0,
дд + дд = 0,		(11.4.Ю)
d=\(d	+ d).

Каждая форма теперь характеризуется двумя индексами (р, q). Сле-

довательно, можно определить новую группу когомологий. Вместо когомологий де Рама, строящихся с помощью оператора d, мы^уДе1^ иметь дело с когомологиями Дольбо, использующих оператор д. Ка*

и прежде, можно определить замкнутые и точные (р, </)-формы, используя д вместо d:

Нр* ( М ) = ^-замкнутая (р, ?)-форма	(11.4.10
^-точная (р, #)-форма

		§	11.4. Кэлеровы многообразия	515
Как	и	прежде, можно	ввести сопряженный оператор	и лапласиан.
В комплексном случае мы на самом деле имеем два лапласиана:
д,	=	aat + pa.		< 1 1 4 1 2 >
		+ ж

Теперь можно сформулировать комплексную версию теоремы Ходжа:

Теорема Ходжа. Каждая комплексная (р, д)~форма имеет единственное разложение

<D = a + J p - ^ y ,	(11.4.13)
где а-гармоническая форма:
А^а = О,
а Р, у-формы типов (p, q — 1) и (р, q + 1) соответственно.
Можно ввести обобщение чисел Бетти формулой1*
dim Н$ЦМ) =HP«.	(11.4.14)
Связь с прежними числами Бетти дается формулой
bn = Z h'•«.	(11.4.15)
p + q = n
Применяя комплексное сопряжение, получаем соотношение
h™ = h™
и свойство дуальности Пуанкаре
hP,q=lhN-p,N-q	(11.4.16)

Дадим теперь определение кэлерова многообразия. Если мы имеем

комплексное многообразие с эрмитовой метрикой q т о всегда можно ввести два-форму

П = 0|7&' Л <&,

(11.4.17)

называемую кэлеровой формой. Комплексное многообразие называется кэлеровым, если

= 0.

(11.4.18)

Кэлерово многообразие характеризуется тем, что его кэлерова форма замкнута.

Кэлерово многообразие вследствие данного выше определения имеет Много замечательных свойств, делающих его наиболее привлекательным среди всех комплексных многообразий. Мы просто перечислим Некоторые из этих свойств:

0)Можно показать, что эрмитова метрика на кэлеровом многообразии

1)Числа hp,q называются числами Ходжа. - Прим. перев.

Й»

516	Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

может быть записана через производные от одной функции, кэлерова потенциала q>:

d2q>

( 1 1 Л 1 9 )

(2)Непосредственным вычислением легко показать, что на кэлеровом многообразии выполняется

2Ad = Ad = AB.

(11.4.20)

В силу этих тождеств различные лапласианы, которые можно задать на кэлеровом многообразии, совпадают. Таким образом, на кэлеровом многообразии не возникает путаницы при использовании разных лапласианов.

(3)Если многообразие допускает кэлерову метрику, то числа Бетти четной степени должны быть больше или равны единице, а числа Бетти нечетной степени должны принимать четные значения:

Кэлерово	Г b2p ^ 1,
многообразие	{ b i n + i = ч е т н ы е ч и с л а	(11.4.21)

для натуральных чисел р и п. (Этот простой критерий исключает из рассмотрения большой класс многообразий. Например, S3 х S3 не

допускает кэлеровой метрики, поскольку Ь2 = 0. Критерий (11.4.21) исключает также PN, но допускает кэлерову структуру на CPN.)

(4)Если Jnm- ковариантно постоянный тензор, то метрика кэлерова. Для

комплексных многообразий верно и обратное утверждение:

VaJba = 0эрмитова метрика является кэлеровой.

(11.4.22)

(5)Если два-форма кручения, которую можно ввести на комплексном многообразии, равна нулю, то метрика будет кэлеровой.

(6)Единственные ненулевые символы Кристоффеля на кэлеровом многообразии равны

rcab = 9ci9ai,h.

(11.4.23)

Единственные ненулевые компоненты тензора кривизны даются формулой

(11.4.24)

а другие компоненты можно получить, используя симметрии тензора кривизны и комплексное сопряжение. Компоненты тензора Риччй становятся равны

d2 (In det g) Rt = ^ ^.

dza8zb

Два-форма

R = Raj)dz°dzb

У(11.4.25)

(11.4.26)

§ 11.4. Кэлеровы многообразия

517

замкнута: dR = 0.

(7) В качестве прямого следствия можно показать, что группой голономии кэлеровых многообразий служит U (N). Это может быть

использовано как альтернативное определение кэлерова многообразия. Отметим, что группа голономии есть группа вращения, генерируемая движениями по замкнутым путям на многообразии и зависящая от

[Д,, DJ - RiJbMij,

(11.4.27)

где Mijматрицы алгебры Ли некоторой группы вращений 2ЛГ-мер- ного касательного пространства. Коэффициенты при Mij? как видим, зависят от антисимметричного тензора Римана RabCd, и RaiMv можно

теперь рассматривать как антисимметричные (2N х 2ЛГ)-матрицы алгебры Ли группы вращений. При этом для произвольного многообразия группой голономии будет SO (2N). Однако если многообразие кэлерово, то можно показать, что ограничения на тензор кривизны, которые мы нашли ранее, редуцируют группу SO (2N) к группе U (N), являющуюся подгруппой в SO (2N). Ограничение, состоящее

в том, что (11.4.24) есть единственные ненулевые компоненты тензора кривизны, нарушает SO (2ЛГ)-симметрию.

(8) Класс кэлеровых многообразий, имеющих U (N) группу голономии, может быть еще более сужен, если мы потребуем, чтобы многообразия имели нулевой первый класс Черна. В этом случае группа голономии U (N) редуцируется до SU (N). Действительно, для любого N выполняется теорема Калаби-Яу, утверждающая, что кэлерово многообразие с нулевым первым классом Черна всегда допускает кэлерову метрику с группой голономии SU (N). Можно показать, что

исчезновение первого класса Черна эквивалентно тому, что на многообразии существует риччи-плоская метрика. Поэтому мы будем использовать эти два понятия как взаимозаменяемые.

Теперь будет полезно рассмотреть конкретные примеры кэлеровых многообразий.

(1) Римановы поверхности

Любая ориентируемая риманова поверхность допускает кэлерову метрику. Поскольку квадрат элемента длины на любой римановой поверхности может быть представлен в виде

ds2 = eadzdz,

(11.4.28)

то поверхность будет кэлеровым многообразием, потому что всегда Можно подобрать кэлеров потенциал ф так, чтобы выполнялось

(11.4.29)

dzdz

р и ч ч и - п л о с к о е ) .

518	Гл. 11. Пространства КалабиЯу и орбиобразия

Кэлеровость римановых поверхностей очевидна, так как любая 2-форма на римановой поверхности, включая и кэлерову 2-форму, является замкнутой.

(2) Комплексное JV-мерное пространство

Очевидно, что комплексное N -мерное пространство Ljy кэлерово, так

как его стандартная билинейная форма

ds2 = Yj\dzi\2	(11.4.30)
t

всегда может быть приведена к кэлерову виду.

(3) Сфера

Заметим, что SN, вообще говоря, не допускает кэлеровой метрики. Это связано с тем, что числа Бетти четной степени b2p для р, равного

ненулевому целому числу, обычно все равны нулю. Следовательно, они не могут быть больше или равны единице, что было одним из необходимых условий для кэлеровых многообразий. Исключением служит двумерная сфера S2, которая не имеет ненулевых чисел Бетти четной

степени. Чтобы показать, что два-сфера допускает кэлерову метрику, заметим, что S2 имеет квадрат элемента длины следующего вида:

(\+х2+ у2)2

Если переписать это в комплексной форме, то мы можем записать кэлерову форму в виде

0 = 12 (1 + zz) (11.4.32)

Эта кэлерова форма точна, и, следовательно, S2 допускает кэлерову метрику. Хотя S2 и является кэлеровым многообразием, нетрудно показать, что Сх ф 0, и поэтому S2 не является риччи-плоским многооб-

разием.

Заметим, что Sp х Sq- комплексное многообразие, если р и q- нечетные числа. Однако это не означает, что многообразия Sp х Sq кэлеровы. Действительно, S3 х S3 и St х S5 - комплексные многообразия, но они не являются кэлеровыми. A S3 х S3 х S3 - кэлерово (но не

(4) Комплексное проективное N-мерное пространство

Для доказательства кэлеровости пространства CPN заметим, что его метрика может быть записана как метрика Фубини-Штуди на CPn-

Q=l-idd ln ( l + Ь ' У ) .

(11АЗЗ)

§ 11.4. Кэлеровы многообразия

519

(5) Комплексные подмногообразия в CP*

Легко видеть, что комплексные подмногообразия в CPN также являются кэлеровыми многообразиями. Фактически для подмногообразий мы используем метрику, определенную для CPN, выбирая только те компоненты метрического тензора, индексы которых пробегают касательное к подмногообразию пространство. Поскольку исходная метрика кэлерова, метрика на подмногообразии (совпадающая с исходной) также должна быть кэлеровой.

(6) Торы

Двумерный тор Т2 имеет равный нулю первый класс Черна: сг = 0.

Можно также показать, что четырехмерный тор Т4 кэлеров. И, наконец, можно показать, что шестимерный тор Т6 одновременно является

кэлеровым и риччи-плоским. Таким образом, компактификации на шестимерный тор, похоже, обладает тем желательным свойством, что (N — 1)-суперсимметрия сохраняется. Однако недостатком шестимерно-

го тора является сохранение слишком большого числа симметрий.

Действительно,		на Т6	сохраняется (N = 4)-суперсимметрия, что делает
его неприемлемым с точки зрения феноменологии.
Соберем некоторые из полученных выше результатов в таблицу:
	Многообразие		Комплексное	Кэлерово	Л-кэлерово	X
	S2		Да	Да	Нет	2
		1	Нет	Нет	Нет	0
	$2п+2		Нет	Нет	Нет	2
	(S3)2		Да	Нет	Нет	0
	S, X S5		Да	Нет	Нет	0
	(S2)3		Да	Да	Нет	8
	x	^2и+ 1	Да	Да	Да	0
	т2		Да	Да	Да	0
	Т6		Да	Да	Да	0
	СР3		Да	Да	Нет	4
	СРМ		Да	Да	—	М + 1

Здесь Л-кэлерово означает риччи-плоское и кэлерово, % равно эйлеровой характеристике и п = 1, 2, 3, ....

Отметим, что условие равенства нулю тензора Риччи налагает Дополнительные ограничения на кэлерово многообразие. Например, кэлерово многообразие комплексной размерности три имеет сх = 0 тогда и только тогда, когда на нем существует ковариантно постоянная Ненулевая голоморфная три-форма со. Это доказывает, в частности, что

х S2 х S2 не допускает риччи-плоской кэлеровой метрики. (Мы знаем,

что это многообразие имеет Ь3 = 0. Значит, по определению на нем не существует гармонических три-форм. Но это также означает, что не