Векторное произведение двух векторов.
Векторное
произведение векторов
и
(см. рис.18.) – это вектор
такой,
что
,
где
– угол между векторами
и
;
и
;, ,
образуют правую тройку.
Рис.18. Векторное произведение
Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль
векторного произведения
равен площади S параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
Свойства векторного произведения.
(антикоммутативность).
Для того, чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы
Координаты векторного произведения.
Смешанное произведение трёх векторов.
Геометрический смысл смешанного произведения.
Рис.19. Смешанное произведение
Смешанное
произведение
трёх
некомпланарных векторов равно объёму
параллелепипеда (см. рис.19.), построенного
на векторах
,
взятому со знаком +,
если тройка
– правая, со знаком -,
если эта тройка – левая. Объём пирамиды,
построенной на этих же векторах (см.
серая область на рис.19.) в 6 раз меньше
объёма указанного параллелепипеда и
равен
.
Теорема.
Если
,
,
,
то смешанное произведение равно
Свойства смешанного произведения.
Для того, чтобы векторы , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы
Смешанное произведение не меняется при круговой (циклической) перестановке сомножителей. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения.
Двойное векторное произведение.
Двойное
векторное произведение трёх некомпланарных
векторов определяется так:
Этот вектор компланарен векторам
и
.
Теорема.
Двойное векторное произведение можно
вычислить по правилу:
для
любых векторов
,
и
.
Определение евклидова векторного пространства Rn.
Множество
всех упорядоченных систем
n
действительных чисел, для которых
определены линейные комбинации
,
где
и
и скалярное произведение
называется n-мерным
евклидовым векторным пространством
Rn.
Его элементы
называются
n-мерными
векторами,
а числа
,
- их координатами.
Длина
вектора
определяется равенством:
Разложение вектора по базису.
Определение.
Система n-мерных векторов
называется линейно
зависимой,
если
(1)
Если
равенство (1) выполняется только тогда,
когда
то система векторов
называется линейно
независимой.
Вектор
называется линейной
комбинацией векторов
Числа
называются
коэффициентами линейной комбинации.
Базисом данной системы векторов называется её подсистема, векторы которой линейно независимы, а любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.
Ранг системы векторов – максимальное число линейно независимых векторов этой системы, т.е. число векторов в базисе.
Диагональной системой векторов называется следующая система:
где
Теорема. Диагональная система векторов линейно независима.
Для вычисления ранга системы векторов нужно составить матрицу из этих векторов и привести её к ступенчатому виду. Число оставшихся в ней линейно независимых строк и есть ранг системы векторов.
Теорема.
Если
- базис n-мерного пространства, то
произвольный вектор
этого пространства можно разложить
единственным образом по векторам базиса,
т.е.
Практически разложение вектора по базису осуществляют двумя способами:
решают систему линейных уравнений
и находят коэффициенты
составляют расширенную матрицу из координат векторов и, выполняя прямой ход метода Гаусса, приводят её к трапециидальному виду.
Пример.
Векторы
образуют базис в R3.
Разложить по базису вектор
Решение.
Первый
способ:
Искомое
разложение:
Второй способ.
=
Если
все векторы базиса попарно ортогональны,
т.е.
то такая система ненулевых векторов
называется ортогональным
базисом
евклидова пространства.
Если
и векторы
образуют ортогональный базис, то
Откуда,
(2)
Если в ортогональном базисе длины всех его векторов равны 1, то такой базис называется ортонормированным.
Для ортонормированного базиса формула (2) примет вид:
(3)
Наиболее важным примером ортонормированного базиса является базис, составленный из единичных векторов
Он называется единичным базисом.
В
пространстве R3
его образуют векторы
