6.Колебания

6.1.Основные понятия и законы

Движение называется периодическим, если

x(t)= x(t +T ), где T

- период.

(6.1)

Колебание

–

это

х

периодическое

движение

около

положения равновесия. На рис.6.1 в

качестве

примера

изображены

периодические

негармонические

0

колебания

около

положения

равновесия

x0 = 0.

t

Период T – это время, за

T

которое

совершается

одно

полное

колебание.

Рис.6.1

Частота

– число

полных

колебаний в единицу времени

ν =

1

.

(6.2)

T

Круговая (циклическая) частота

ω= 2πν =

2π

.

(6.3)

T

Гармоническими

называются колебания, при которых смещение

точки

от положения равновесия в зависимости от времени

изменяется по закону синуса или косинуса

x = Asin(ω0t + α)

,

(6.4)

где A

-

амплитуда колебаний (максимальное смещение точки от

положения равновесия), ω0 - круговая частота гармонических колебаний, ω0t + α - фаза, α- начальная фаза (при t = 0).

Система, совершающая гармонические колебания, называется

классическим гармоническим осциллятором или колебательной

системой.
Скорость					и ускорение	при	гармонических колебаниях
изменяются по законам
v =	dx		&				(6.5)
	dt	= x = Aω0 cos(ω0t + α) ,
	d 2 x			&&	2
a =					= −Aω0 sin(ω0t + α) .		(6.6)
	dt	2	= x
Из соотношений (6.6) и (6.4) получим
a = −ω2 x ,							(6.7)
		0

99

откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямо пропорционально смещению точки от положения равновесия и направлено противоположно смещению.

Из уравнений (6,6), (6,7) получим

&&	2	(6.8)
x	+ ω0 x = 0 .

Уравнение (6.8) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний, а (6.4) является его решением. Подставив

(6.7) во второй закон Ньютона F = mar, получим силу, под действием которой происходят гармонические колебания

F = −mω2 x .		(6.9)
0
Обозначим mω2	= k .	(6.10)
0
Из (6.9), (6.10) получим
Fr = −kxr.		(6.11)

Эта сила, прямо пропорциональная смещению точки от положения равновесия и направленная противоположно смещению, называется возвращающей силой, k называется коэффициентом возвращающей силы. Таким свойством обладает сила упругости. Силы другой физической природы, подчиняющиеся закону (6.11),

называются квазиупругими.

Колебания, происходящие под действием сил, обладающих

свойством	(6.11),		называются	собственными	(свободными
гармоническими) колебаниями.
Из соотношений (6.3),(6.10) получим круговую частоту и период
этих колебаний
ω =	k ;	T = 2π	m .		(6.12)
0	m	0	k

При гармонических колебаниях по закону (6.4) зависимости кинетической и потенциальной энергии от времени имеют вид

E	K	=		mv2			=		mA2ω0			2	cos2 (ω t + α),	(6.13)
		2					2						0
U =			kx2			=		mA2ω0		2	sin2 (ω t + α) .			(6.14)
		2					2						0

100

Полная энергия в процессе гармонических колебаний сохраняется

	EK +U = const .						(6.15)
	Подставляя в (6.15) выражения (6.4) и (6.5) для x и v, получим
	E = EK max =Umax		=	mA2ω2				(6.16)
				2	0 .
	Примером классического					гармонического
	осциллятора является легкая пружина, к которой
	подвешен груз массой m				(рис.6.2). Коэффициент
	возвращающей силы k называется коэффициентом
	жесткости пружины.		Из второго закона Ньютона					x
	для груза	на пружине			F =	– kx получим
	уравнение,	совпадающее			по	форме	с	m
	дифференциальным		уравнением			гармонических
	колебаний (6.8) Следовательно, груз на пружине							x
	при отсутствии сил сопротивления среды будет
	совершать гармонические колебания (6.4).							Рис.6.2
	Гармонические			колебания		(6.4)	можно

представить в виде проекции на оси координат вектора, величина которого равна амплитуде A, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью ω0 . На этом представлении основан метод

векторных диаграмм сложения гармонических колебаний с
одинаковой частотой, происходящих по одной оси
x1 = A1 sin(ωt + ϕ1 ),											(6.17)
x2 = A2 sin(ωt + ϕ2 ).
Амплитуда результирующего колебания определяется по
теореме косинусов				− 2A A cos(ϕ −ϕ						) .
A =	A2		+ A2						2		(6.18)
	1		2		1	2	1
Начальная фаза результирующего колебания ϕ											может быть
найдена из формулы
tg ϕ =		A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2						.			(6.19)
		A cosϕ + A cosϕ					2
	1			1	2
При сложении однонаправленных колебаний с близкими
частотами ω1 и ω2				возникают биения, частота которых равна ω1 − ω2 .

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

x = A1 sin((ωt + ϕ1 )), (6.20) y = A2 sin ωt + ϕ2

имеет вид

101

x2

+

y2

− 2

xy

cos(ϕ −ϕ

)= sin2 (ϕ

−ϕ ).

(6.21)

A2

A2

A A

1

2

2

1

1

2

1

2

Если начальные фазы ϕ1 = ϕ2 , то уравнение траектории – прямая

y =

A2

x , или y = −

A2

x .

A

A

1

1

ϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,

Если

разность

фаз

x2

y2

точка движется по эллипсу

+

=1.

2

2

A

A

d

1

2

O

Физический маятник – это твердое тело,

способное

совершать

колебания

вокруг

закрепленной оси, проходящей через точку

О

ϕ

,не

совпадающую

с

его

центром

масс

С

C

(рис.6.3). Колебания являются гармоническими

при малых углах отклонения.

Момент силы тяжести относительно оси,

проходящей

через

точку

О,

является

mg

возвращающим

моментом

и

выражается

Рис.6.3

соотношением

r

M = mgd sin

(6.22)

ϕ ≈ mgdϕ.

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид (см. формулу (4.18))

M = I ε , (6.23)

где I - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, ε - угловое ускорение.

Из (6.23), (6.22) получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника

		d 2ϕ	+	mgd	ϕ = 0 .	(6.24)
		dt2		I
	Его решения ϕ = ϕ0 sin ω0t ,					(6.25)
где	ω =		mgd .
	0			I

Из (6.3) получим формулу периода колебаний физического маятника

T = 2π I .		(6.26)
0	mgd

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной L. Из (6.26) полагая d = l,

I = ml2 , получим формулу периода колебаний математического маятника

T = 2π	l .	(6.27)
	g

102

Тело, подвешенное на легкой упругой проволоке (рис.6.4) , совершает крутильные колебания вокруг оси, совпадающей с проволокой. При повороте на малый угол в проволоке возникает возвращающий момент упругих сил

M = −c ϕ.

(6.28)

Коэффициент возвращающего момента зависит от материала проволоки и ее размеров

	c =	πG		r4	,	(6.29)
		2		L

где G - модуль сдвига, характеризующий упругие свойства материала, r - радиус проволоки, L - ее длина.

Основное уравнение динамики вращательного

движения имеетr вид

Iϕ&r& = M .

ϕ

M

ϕ

Рис.6.4

(6.30)

Из		(6.28), (6.30) получим			дифференциальное уравнение
гармонических крутильных колебаний
	d 2ϕ	+	c	ϕ = 0 .		(6.31)
	dt2		I
Его решение имеет вид ϕ = ϕ0 sin(ω0t + α),						(6.32)

где ϕ - угловое смещение от положения равновесия, ϕ0 – амплитуда

колебаний.

Сравнив уравнения (6.8) и (6.32), получим значения угловой частоты и периода крутильных колебаний

ω =	c ,	(6.33)
0	I
T = 2π	I .	(6.34)
	c

Свободные колебания становятся затухающими из-за наличия сил сопротивления. Например, когда материальная точка колеблется в вязкой среде, при малых скоростях на нее действует сила

сопротивления					r			&	где		r - коэффициент
					среды Fсопр = −rv	= −rx ,
сопротивления среды. Поэтому из второго закона Ньютона
mx = −kx − rx
	&&			&
получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
&&		r	&	k							(6.35)
x	+ m x + m x = 0 .								r 2
Его решение для случая, когда							k
								>		,	имеет вид
							m		2m
x = A e−βt				sin(ωt + α),							(6.36)
	0

103