′

+ v0t

′

′

′

t

′

′

2

x

+ v0 x c

x =

1−v2

c2

,

y = y ,

z

= z , t =

1−v2 c2 .

(7.1)

0

0

Из преобразований Лоренца вытекает преобразование скоростей

v

v

x′

+ v

, v

vy′

1−v02 c2

, v

v

′

1−v2

c2

x

=

0

y

=

z

=

z

0

,

(7.2)

1

+ v v

x

′ c2

1

+ v v

′

c2

1

+ v v

′

c2

0

0 x

0 x

K′,

где vx′, vy′,

vz′ -

компоненты

скорости

в

системе

vx , vy , vz -

компоненты скорости в системе K .

При малых скоростях преобразования Лоренца (7.1) переходят в преобразования Галилея

x = x′+ v0t′, y = y′, z = z′, t = t′,	(7.3)
а преобразования скоростей (7.2) принимают вид
vx = vx′ + v0 , vy = vy′, vz = vz′ .	(7.4)

Таким образом, более общая физическая теория СТО включает в себя известную теорию как частный случай. Релятивистская механика при малых скоростях переходит в классическую механику Ньютона.

Релятивистское сокращение длины стержня

l = l	1−v2	c2 ,	(7.5)
0	0		длина, т.е. длина стержня в системе K′,
где l0 -	собственная

относительно которой он покоится, располагаясь параллельно оси x′, l - длина стержня в системе x , относительно которой стержень движется со скоростью v = v0 .

Релятивистское сокращение промежутков времени

t =	1	t0	c2 ,	(7.6)
		−v2
		0

где t0 - собственное время, т.е. интервал времени между двумя

событиями, происходящими в одной точке в системе K′, измеренный по часам этой системы, t - интервал времени между двумя

событиями, в системе K , измеренный по часам системы K . Релятивистская масса

m =	1	m0	c2 ,	(7.7)
		−v2
		0
где m0 -	масса покоя, т.е. масса			в системе отсчета, относительно

которой частица неподвижна ( K′), v = v0 , v - скорость частицы ( K ).

Релятивистский импульс
r	r		1	m0vr	c2 .	(7.8)
p = mv		=		−v2
				0

121

Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона) с учетом (7.8) имеет в релятивистской динамике тот же вид, что и в классической

r

dpr

=

d(mvr)

.

(7.9)

F =

dt

dt

В релятивистской механике полной энергией E называется сумма

кинетической энергии T и энергии покоя

E0

E =T + E0 .

(7.10)

Связь массы и энергии

E = mc2 ,

(7.11)

E = m c2 .

(7.12)

0

0

Учитывая

соотношения

(7.12),

(7.11),

из (7.10) получим

выражение для кинетической энергии

T = E − E0

= mc

2

− m0c

2

=

m c2

− m0c

2

.

(7.13)

0

1−v2 c2

0

Полная энергия и импульс релятивистской частицы связаны соотношением

E2 − p2c2 =m02c4. (7.14)

Связь кинетической энергии и импульса релятивистской частицы находим по формуле

p2c2 =T (T + 2m c2 ).	(7.15)
0

122

7.2.Примеры решения задач

Задача 7.1. Вдоль оси х инерциальной системы отсчета движется ракета со скоростью v = 0,9c, проходящая начало координат (точку О) в момент времени t = 0 (см. рис.7.1). В момент t = 9 с вслед за ракетой посылается световой сигнал из точки О, а с ракеты - световой сигнал в точку О. Найти: 1) момент времени t2 , когда сигнал из точки О

достигнет ракеты; 2) момент времени t3 , когда сигнал с ракеты придет

в точку О.

Решение. В момент времени, когда из точки О испускается световой сигнал, ракета находится от точки О на расстоянии x1 = vt1 .

Скорость, с которой световой сигнал догоняет ракету, равна (с – v). Следовательно, время достижения сигналом ракеты

t

= t

2

−t

=

x1

=

vt1

, oткуда

1

1

c −v

c −v

t

= t +

vt1

= t

c −v + v

=

ct1

=

t1

= 9 c .

c −v

c −v

c −v

1−v c

2

1

1

Скорость сигнала, идущего от ракеты к точке О, равна c.

Поэтому

t

2

= t

3

−t

=

x1

= vt1 , cледовательно,

1

c

c

+ vt1

t

3

= t

= t

(1+ v c)= 9(1+ 0,9)=17,1c .

1

c

1

Задача 7.2. Имеются две пары часов, одна из A′ которых ( A′, B′) движется относительно другой (А,В) со скоростью v (рис.7.2). Расстояние между

v B′

B

l′ A

l

часами		А и В равно l,						Рис.7.2
они синхронизированы.
								′	B	′
Аналогично поступили с часами A и										в их системе отсчета.
Момент, когда часы				′		и А оказались напротив друг друга, взят
				B
										′
за начало отсчета. Определить: 1) показания часов B и В, когда
они окажутся напротив друг друга (с точки зрения наблюдателя,
связанного с часами В);						2)				′
							показания часов A и А, когда они
окажутся напротив друг друга (с точки зрения наблюдателя,
связанного с часами А).								′	когда они напротив друг
Решение.
			Показания часов В и B ,
друга, τB =	l	;	′	v2	=	l	1−	v2
	v		τB = τB 1−	c2		v		c2

123

			v2
′	l′	l 1− c2		;	′	τA			=	l	.
Показания часов А и A : τA =	v	=	v		τA =		v	2		v
						1−
							c2
Задача 7.3. Частица движется в системе К вдоль оси х со
скоростью vx и ускорением			ax . Система отсчета							K′ движется

вдоль оси x системы К со скоростью u. Чему равны скорость и ускорение частицы в этой системе (см. рис.7.1).

Решение. Воспользуемся преобразованиями Лоренца

′	= γ(x −ut);				1	u2			1
x				γ =	1−		=		1−β2 .
						c2
Продифференцируем: dx1 = γ(dx −βcdt),
		ux						β
t′ = γ t −			;	dt′ = γ dt			−	c	dx .
		c2

где

dv′x

Искомая скорость

dxdt

v′x

= dx′

=

γ(dx −βcdt)

=

−βc

=

vx −u

,

β

β dx

dt′

1−

1−

uvx

γ dt −

dx

c

c dt

c2

vx = dxdt . Это закон сложения скоростей.

Ускорение a′x =

dv′x

′

dt

−

uv

′

−(v

−

uv

−

uv

−

(v

−

udv

1

x (v

x

−u)

x

−u) 1

x

1

x dv

x

x

−u)

x

=

c2

c2

=

c2

c2

=

uv

x

2

−

uv

x

2

1

−

1

c2

c2

1− u2 dvx = c2 2 .

1− uvc2x

124

2

2

1− u

2

dv

x

1− u

dv

x

dv′x

c

c

2

a′x = dt

=

=

=

uvx

2

β

uv

2

u2

−1 2

u dx

1

−

γ

dt − dx

1

−

x

1

−

dt 1

−

2

2

2

c

c

c

2

c

c

dt

− u

2

3 2

a

2

3 2

1

2

1− u

2

c

x

c

=

dvx

=

.

dt

−

uv

3

uv

3

1

x

1−

x

c2

c2

Задача

7.4.

Найти

x0

собственную длину

y

x

B

B0

стержня,

если

в

лабораторной

системе отсчета его

y0

скорость

v =

c

,

2

длина

l

= 1 м и

vr

θ

угол

между

x

стержнем

и

направлением

Рис.7.3

движения

θ = 45°

(рис. 7.3).

Решение. Линейные размеры стержня в направлении движения

сокращаются

x = x

1−

u2

а

;

0

c2

y0 остается постоянным.

Длина стержня в лабораторной системе отсчета l2 = x2 + y02;

Угол наклона стержня

tg

θ =

y0

;

x

l2

l

Поэтому l2 = x2 + x2 tg2 θ = x2 (1+ tg2 θ);

x2 =

; x =

1+ tg2 θ

1+ tg2 θ

Длина стержня в собственной системе отсчета l =

x2

+ y2

0

0

0

Из преобразований координат x =

x

; x =

l

0

v2

1+ tg2 θ

1+

c2

Подставив x

в

x0

и

y0 , получим

125

x =

l

; y

0

= x tg θ = l tg θ .

0

2

+ tg2 θ)

1+ tg2

θ

1− v

2

(1

c

Окончательно собственная длина стержня равна

v2

2

θ

2

2

2

1+ 1−

2

tg

l

l

tg

θ

c

l0 =

+ (1+ tg2 θ)= l

2

=

v2

2

v

2

1

−

(1

+ tg

θ)

1

−

(1

+ tg

θ)

2

c

c

2

c

2

1+

1

−

1

2

4c

7

= l

= l

=1,08 м.

c2

6

1−

(1

+1)

2

4c

Задача 7.5. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы t0 =10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада

в лабораторной системе отсчета, в которой ее время жизни t = 20 нс?

Решение. Соотношение между указанными временами

t =

t

0

;

1−

v2

=

t

0

= 0,5 .

2

1− v

2

c

t

c2

v2

v2

Откуда, возведя в квадрат, получим

1−

=

1

;

=

3

; v = c

3

.

c2

4

c2

4

2

Путь в лабораторной системе отсчета

l = v

t = c

3 t

= 5,16 м.

2

Задача

7.6.

На

1 м2

поверхности,

перпендикулярной

направлению солнечных лучей, около Земли вне ее атмосферы приходится 1,4 кВт энергии излучения Солнца (солнечная постоянная). Какую массу теряет Солнце в секунду за счет излучения света? На какое время хватит 0,1 массы Солнца, чтобы поддерживать его

излучение? Расстояние от Солнца до Земли	150 млн км. Масса
Солнца MC = 2 1030 кг.

126

Решение. Солнечная постоянная κ = 1,4 кВт/м2 есть удельный поток энергии (интенсивность) κ = SEτ , т.е. энергия, излучаемая с единицы поверхности в единицу времени всех длин волн.

Поток энергии (мощность) Φ = Eτ = κS = κ4πl2 - это энергия,

излучаемая в единицу времени, где 4πl2 - площадь сферы радиуса l.

Используя связь массы и энергии E = mc2 , получим

Φ= κ4πl2 = mc2 = m c2 .

ττ

Масса, которую теряет Солнце в единицу времени,

m		=	κ4πl2	= 4,4 10	9	кг с.
			c2
	τ

1/10 массы Солнца –это

2 1029 кг.

Время, за которое масса Солнца уменьшится на 1/10,

t =

2 1029

2 1029

12

лет.

m

=

=1,43 10

4,4 109

τ

Задача 7.7. Определить релятивистский импульс p и

кинетическую

энергию

T

электрона,

движущегося со скоростью

v = 0,9c .

Решение. Релятивистский импульс

p = mv =

m0v =

m0v

, где β = v

; β = 0,9 .

1− v

2

1−β

2

c

m0βc

c2

p =

= 5,6 10−22 кг м с.

1−β2

Кинетическая энергия – это разность полной энергии и энергии

покоя

m0c2

1

T = mc

2

− m0c

2

=

2 − m0c

2

= m0c

2

v

v

2

−1 =

1− c2

− c2

1

2

1

−13

= m c

Дж .

2

−1 =1,06 10

0

1

−β

127

7.3.Задачи для самостоятельного решения

7.8. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется со скоростью, составляющей 95% скорости света. Какой промежуток времени Δτ по часам неподвижного наблюдателя соответствует одной секунде "собственного времени" мезона?

7.9.Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,88·1011 Кл/кг. Определить массу движущегося электрона и его скорость.

7.10.На сколько процентов изменится продольный размер

протона и электрона после прохождения ими разности потенциалов ϕ = 106 В?

7.11. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью относительно инерциальной К-системы отсчета. При каком значении v длина стержня в этой системе отсчета будет на η

=0,5 % меньше его собственной длины?

7.12.Имеются две системы отсчета K и K', относительная скорость которых неизвестна. Параллельный оси x стержень,

движущийся относительно системы K со скоростью v2' = 0,1 c, имеет в этой системе длину l' = 1,1 м. В системе К длина стержня равна l = 1 м. Найти скорость стержня vx в системе K и относительную скорость

систем v0.

7.13. Чему равно относительное приращение длины стержня l/l, если ему сообщить скорость v = 0,1с в направлении, образующем с осью стержня угол α? Вычислить l/l для α, равных 45° и 90°.

7.14. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость v = c/2, длина l = 1 м, угол между ним и направлением движения α = 45°.

7.15. Имеются два одинаковых стержня. Стержень 1 покоится в системе отсчета К1, стержень 2 покоится в системе отсчета К2. Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадающих осей x. Стержни параллельны этим осям. Какой стержень будет короче: а) в

системе K1, б) в системе K2?

7.16. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет а = 5,00 м и угол между этим катетом и гипотенузой α = 30°. Найти в системе отсчета К', движущейся относительно этого треугольника со скоростью v = 0,866с вдоль катета а : а) соответствующее значение угла α' ; б) длину l' гипотенузы и ее отношение к собственной длине.

7.17. В системе К', относительно которой он покоится, стержень имеет длину l' = 1 м и образует с осью x' угол α' = 45°. Определить длину стержня в системе К и угол α, который стержень образует с

128

осью x. Относительная скорость систем равна v0 = 0,5 с.

7.18. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего форму куба, равна S0. Чему равна поверхность S того же тела, если оно движется в направлении одного из своих ребер со скоростью

v= 0,968c?

7.19.Имеется двое одинаковых часов. Часы 1 покоятся в системе

отсчета К1, часы 2 покоятся в системе отсчета К2. Системы движутся друг относительно друга. Какие часы идут быстрее: а) в системе К1, б)

всистеме K2?

7.20.На сколько увеличится масса α -частицы при ускорении ее

от начальной скороcти, равной нулю, до скорости, равной 0,9с?

7.21. Плотность покоящегося тела равна ρ0. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на η = 25% больше ρ0. Под плотностью понимается отношение массы покоя тела к его объёму.

7.22. Кинетическая энергия электрона T = 10 Мэв. 1) Во сколько раз его масса больше массы покоя? 2) Сделать такой же подсчет для протона.

7.23.Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия составляет половину энергия покоя.

7.24.Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на 0,01 %, превышает ее массу покоя?

7.25.Найти отношение e/m заряда электрона к его массе для

скоростей: v<<c; v = 2 108 мс; v = 2,4 108 мс; v = 2,8 108 мс.

Построить графики зависимостей m и e/m от величины β = v/с.

7.26.Во сколько раз масса протона больше массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т=1ГэВ?

7.27.Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в пять раз больше энергия покоя.

7.28.До какой кинетической энергии Т можно ускорить частицы

вциклотроне, если относительное увеличение массы не должно превышать 5%? Задачу решить для электронов и протонов.

7.29.Электрон летит со скоростью, равной 0,8 скорости света. Определить кинетическую энергию Т электрона в МэВ.

7.30.Какую разность потенциалов должен пройти электрон (протон), чтобы его собственное время стало в 10 раз меньше лабораторного?

7.31.Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза?

7.32.При какой скорости кинетическая энергия любой частицы

129

вещества равна ее энергии покоя?

7.33.Масса движущегося протона в 1,5 раза больше его массы покоя. Определить полную Е и кинетическую Т энергии этого протона.

7.34.При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ее энергии покоя относительная погрешность при расчете ее

скорости по нерелятивистской формуле не превышает η = 0,01?

7.35.Энергия покоя частицы равна E0. Чему равна полная энергия частицы в системе отсчета, в которой импульс частицы равен p?

7.36.Электрон движется со скоростью, равной 0,6 скорости света. Определить импульс электрона.

7.37.С какой скоростью движется частица, импульс которой равен ее комптоновскому импульсу m0c?

7.38.Найти импульс p релятивистской частицы массы m, кинетическая энергия которой равна Т.

7.39.Протон движется с импульсом p = 10 ГэВ/c, где c - скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света?

7.40.Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. Найти импульс электрона.

7.41.Найти зависимость импульса частицы с массой m от ее кинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.

7.42.При скорости частицы v0 импульс частицы равен p0. Во

сколько раз η нужно увеличить скорость частицы для того, чтобы ее импульс удвоился?

7.43. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в η = 2 раза превышает ее ньютоновский импульс.

7.44. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его масса была такой же, как у α-частицы с кинетической энергией 1000 МэВ?

7.45. Сколько литров воды можно вскипятить, используя собственную энергию 1 л воды? Начальная температура воды

t = 00 C , удельная теплоемкость воды C	уд	= 4,2 103	Дж (кг К).
1

7.46. Протон и α-частица проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов u, после чего масса протона составила треть массы α-частицы. Определить разность потенциалов.

7.47. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить скорость частицы массы m от 0,6с до 0,8с. Сравнить результат со значением, полученным по нерелятивистской формуле.

130

7.48.Сколько энергии (в расчете на единицу массы) необходимо затратить, чтобы сообщить первоначально покоившемуся космическому кораблю скорость v = 0,98c? Сопротивления нет.

7.49.На покоящуюся частицу массы m1 налетает частица массы m2, кинетическая энергия которой равна Т2. После столкновения частицы слипаются и движутся как целое. Найти массу образовавшейся частицы. При каких условиях эта масса приблизительно равна сумме масс исходных частиц? Найти скорость образовавшейся частицы.

7.50.Найти изменение массы mμ, происходящее при образовании ν = 1 моль воды, если реакция образования воды такова: 2H2+O2 = 2 H2O. Теплота образования моля Q = 5,75·105 Дж.

7.51.При делении ядра урана 23592 U освобождается энергия Е = 200

МэВ. Найти изменение массы mμ при делении ν = 1 моль урана.

7.52. При распаде некоторой частицы появляется две частицы с массами m1 и m2. Из опыта известны абсолютные величины импульсов p1 и p2 этих частиц и угол θ между направлениями их разлета. Найти массу распавшейся частицы.

7.53.Покоящееся тело массы М распадается на две части с массами m1

иm2. Вычислить кинетические энергии Т1 и Т2 продуктов распада.

7.54.Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле со скоростью v = 0,8c. Индукция поля B = 0,01 Т. Определить радиус окружности: 1) не учитывая увеличения массы со скоростью; 2) учитывая это увеличение.

7.55.Электрон движется в магнитном поле по окружности радиусом r = 2 см. Индукция поля B = 0,01 Тл. Определить кинетическую энергию Т электрона.

7.56.Электрон, влетевший в камеру Вильсона, оставил след в виде дуги окружности радиусом r = 10 см. Камера находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 10 Tл. Определить кинетическую энергию Т электрона.

7.57.Кинетическая энергия α-частицы Т = 500 МэВ. Частица движется в однородном магнитном поле по окружности радиуса r = 80 см. Определить индукцию B поля.

7.58.Электрон, кинетическая энергия которого Т = 1,5 МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Индукция поля B = 0,02 Тл. Определить период τ обращения. Энергия покоя электрона E0 = 0,51 МэВ.

131

Ответы.

1.12.	r =13,85м.
1.13.	y =	2Ax B2	− x2
		B2

1.14.ϕ=1,4°

1.15.t =1,7c

1.16.r = 2м

1.17.vy =5,625t2 +0,1t =5,725 м/c

1.18.t =1c

1.19.v = 7,02м/c

1.20.vr = 2παcos(2πt)ir −3πβsin(3πt)j м/с

ar = 4π2αsin(2πt)ir −9π2βcos(3πt)j м/с2

1.21.t = 2c, lmin = 6,7м

1.22.vr = 3irм/c, ar = −2 rj м/c2 , ϕ = π2

1.23.

rr = −12 rj м

r

r

1.24. y = 4 −3x,

−5 j м

r

= 3i

1.25. ϕ= 24,8°

r

r

−

r

ϕ =15,3°

1.26. a =

2i

4 j,

1.27. v =1,27м/c, a = 2,54 м/c2

βx3

r

r

2

1.28. y =

α3

, a = 6β j м/с

1.29.

y =

2x2

− a, vr

= −aω(sin ωtir + 2sin 2ωtrj )м/c

a

ar = −aω2 (cosωtir + 4cos2ωtj )м/с2

1.30.

x

cosϕ

−

A2 − x2

sin ϕ

y = B

A

A

0

0

1.31. y = A −

2x2

r

2

2

A , v

= Aω cos

ωt +

4sin

2ωt м/c

1.32. ϕ =arccos

(2ατ +β)6βτ +36γθτ4

36δ2τ2 +144θ2τ4

(2ατ +β)2 +(3γτ)2

3

v0tg2α

, R =

v02 (1+tg2α)

1.33.

h = h −

2

0

2g

g

132

1.34. v =		gt
	sin α							3
1.35. s = v02 sin 2α v04 sin2 2α +8gh0v02 cos2 α							; R =	(v02 + 2gh0 )2
					2g			v g cosα
				v0 g cosα				0
1.36. an =						;
		v2	− 2v g		t sin α + g2
						t2
		0	0
aτ =			g(v0 sin α − g t)
		v2	− 2v g		t sin α + g2	t2
		0	0
1.37. R =		v2 cos2 α
		0
		g

1.38.v0 = 3gR =17,2 м/c, α = arctg 2 ≈54,7°

1.39.R =1,52м

1.40. α = arctg h +

h2 + (2R)2

; v0 = g( (2R)2 + h2 + h);

2R

1.41. vcp

=

sv

= 50 км/ч

v(t

+t

2

)+

2(s −v t)

1.42. vcp

1

1

=119 км/ч

1.43. vcp =13,8 м/с,

vr =9,76ir+8,31j м/с

1.44. vcp

=1,5 м/с

1.45. vcp

= 3,5 м/с

1.46. t =

1

, s =

b

2α

α

1.47. t1 = 8,85 c; t2 =1,15 c.

1.48. h = 2180м

1.49. x = αv ln 1+

t

, s → ∞

0

α

1.50. s = 2R 3

1

1.51. ϕ = arccos

5

1.52. v =

α2

t,

a =

α2

2

2

3

2

v

1.53. t =

,

s =

2v2

0

0

β

3

133

1.54. s =

α

h2

2v

0

1.55. an =

αv

; aυ =

α2h

; a = αv0 ;

0

αh

2

αh

2

1+

v

1+

v

0

0

1.56. r(t)= αti

+ 0,5βαt2 rj

1.57. y =

β

x2

2α

3

v2

α

xβ 2

1.58. R =

=

2

β

1

+

α

a

2

− a

2

τ

1.59.ϕ = arctg 2s

R

1.60.a = α 1+ (4βS 2 α3 )2

1.61.

a = v

1+ 4β2t4

= 0,7м/с

t

1.62. ω =2 −2t рад/с; ε =−2 рад

,v =0,2 −0,2tм/с

с2

1.63. a =(0,3t2 −1)3R 4 =2,175м/с2 ; a

=0,6t3R 4 =0,45м/с2 ;

n

τ

a =2,22м/с2

1.64. N = 3

= (β+ 2γτ)2

1.65.

v =β+ 2γt

=8 м/с; a

= 2γ = −1 м/с2 ; a

=1,6 м/с2

1

τ

n

R

2 =11,2м/с; a

1.66.

v = α + 3βt

τ

= 6βt =1,2 м/с2 ;

1

1

a = (α +3βτ)2

=156,8 м/с2

n

R

1.67.

t =

πR

= 5,2 c

6(vB −vA )

= 2πn1R1 = 0,3м

1.68.

v = 2πn R =1,26м/с;

R

1

1

2

ω2

1.69.

v =

2s −v0t1

= 25 м/с;

a =

1

(2s −v0t1 )4

+ 4(s −v t )2

= 0,7м/с2

t2

t

R2

0 1

1

1

1.70.

t =

R tg α

= 0,5 c

ατ

134

1.71.	r	=	v	r	=	v2	1	+	1	≈ 0,1 м/с	2
	v		1	= 7,1м/с; a		1	s2		R2
			2			2

1.72. ω =4рад/с; ε =−6 рад/с2

1.73. ε =−12 рад/с2 1.74. N =120nt1 = 30

1.75. v =1,2 м/с; a = 2,54 м/с2 ; t1 = 43 c

1.76. ϕ = R1at2

2rR2

1.77. t = 3 200tgϕ = 7 c

1.78.ω = ω0 3

1.79.ϕ = (1−e−αt )ω0

α

1.80.ω= ω0e−αt

1.81.ω= 2ε0 sin ϕ

1.82.vA = 0; vB = 4t1 = 2м/с; vC = vD =1,41м/с;

aA =1 м/с2 ; aB = 4,1 м/с2 ; aC = 3,6 м/с2 ; aD = 2,2 м/с2

1.83.v0 =100 км/ч

	1.84. aB =	v2		r	r
		0	;	aB = an вектор ускорения направлен к центру колеса
		R

1.85.s =8R = 4м

1.86.RB = 4R = 2м; RD = 2 2R =1,41 м

1.87. ω= αt

βt 2

=8рад/с; ε = α

1+

2βt 2

=1,3 рад/с

2

1+

α

α

1.88. vотн =12м/с

1.89. v =

v2 −v1

;

ω=

v2 + v1

c

2

2R

1.90. ω=

ω2 + ω2

= 5 рад/с; ε = ω ω =12 рад/с2

1

2

1

2

1.91. ω=

v

1+

r

2

; ε =

v2

= 0,5 рад/с

2

r

R2

rR

1.92.ϕ = arctg R =83°

r

135

v

v 2

2

1.93. ω=

cosα = 2,3 рад/с; ε =

tg α = 2,3 рад/с

R

R

1.94. vC = 2vA; vB = 0

ε0t

2

1.95. ω= ω0

= 0,6рад/с; ε = ε0

2

2

= 0,2рад/с

2

1+

ω

1+ ω t

0

2.11. t1 = t2

g − F / m

g − F / M

2.12.f = [Ft cosα - (v – v0)m]/[t(mg – F sinα)]

2.13.Угол α определяется из уравнения:

2	α -	m(1	− f1 f2 )	tgα +	(f1	+ f2 )m	+ f2M	= 0
tg		f2M				f2M

2.14.t = ( 2v0 sin α ) g sin2 α − f 2 cos2 α

2.15.a = [F(cosα + f sinα) – (m1 + m2)(sinα + f cosα)g]/[m1 + m2]

2.16.F = mg cosα(sinα - f cosα), при f ≤ tgα;

F = 0 при f> tgα

2.17.f = 0,43

	a =	F		2
2.18.			- g = 73,5 м/с ;
		M + m
2.19.	a1 =	m1g − m2 (g − a2 ) ;		Fтр =
		m1 + m2
2.20.	a = 0, при m2 - m1 g ≤ Fтр;

	T =	3	m	F = 625 H
		4	M + m

m1m2 (2g − a2 ) m1 + m2

a =			m2 − m1		g − Fmр	, при m2 - m1 g > Fтр;
			m1 + m2

T2 – T1 = Fтр

2.21. x = F(k1 + k2 ) k1k2

2.22.Fmin = fg (m1 + m2)

2.23.lmax = l0 + (mg)/2k

136

2.24. F1 = f1 (m1 + m2)g = 19,6 H; F2 = f2 m2 g = 23,5 H

2.25.

mмin = M

tg α − f

f

2.26.

tgα = f; Tmin =

fmg

1+ f 2

2.27.

ctgα = f;

t =

v

1+ f 2

0

g(1+ f 2 )

2.28.

β = arctg f;

F = mg sin(α + β)

2.29.

При tgα = 1/f

Smin =

v02

2g

1+ f 2

2.30. tg2α = –1/f; α =49°

2.31. T = m(g sinα + a cosα);

N = m(g cosα - a sinα)

2.32.

T =

m1m2

(1 + f)(a + g)

при fm1 < m2;

m + m

1

2

T = m2(a + g)

при fm1 > m2

2.33. T =

m1m2

(

a2 + g2 + fg – a)

в случае движения системы

m + m

1

2

относительно стола, T = m2

a2 + g2

в случае покоя системы

относительно стола

2.34.

F =

4m1m2 (g + a)

m1

+ m2

r

=

t

β−

γt

r

r

2.35.

v

1

1

i

= 2i м с

max

m

2

2.36.

S =

2β3

=

16

м

3mγ2

3

r

r

αt2

r

βt3

2.37. r = v0ti

+

2m j

+

6m k

137

2.38. y =

x

3x

2

t2

a

2.39.

S =

− fg

2 3m

t0 =

mg

r

at2 cosα

2.40.

;

v

=

2m

i

- до отрыва тела от плоскости;

asin α

r

a(t2 + t02 )cosα r

a(t2

+t02 )sin

α

r

v =

i

+

− g(t −t0 )j

- после отрыва.

2m

2m

2.41.

t =

2mv0

к

2.42.

x =

кτ

3

кτ

−

2

τ =t0

−

fmg

,

где

3

к

2m 4mfg

2.43. t =

(m1 + m2 )T

α(2m + m )

1

2

2.44. v =

T

(m1 + m2 )T

;

3(2m + m )

α(2m + m )

1

2

1

2

2.45. v =

2g sin α

3k

2.46.α/β = 3 3

2.47.F = βω2 sin(ωt) = 7,4 H

2.48.S = (ωt – sin(ωt))F0/mω2

2.49.t = 2π/ω; S = 2F0/mω2; vmax = F0/mω

2.50.S = 4 R [ cos (ωt/2) - 1]

2.51.v = [2r2 (ρ2 - ρ1)g]/(9η) ≈ 0,25 cм/с

2.52.a = –2g [exp(-gt/v0)]

2.53.t = vg0 ln(1 + sinα);

2.54.ymax = v02 [sinα - ln(1 + sinα)] g

138

v2 cosα

2.55. x = 0 (1 - exp(-gt/v0)); g

y =

v2

0

(1+ sinα)(1 - exp(-gt/v0)) – v0t

g

1+sin α

2

gx

2.56.

y =

x +

v0

cosα

ln 1

−

g

v2 cosα

0

t =

3mv2

2.57.

0

= 3 c

8α

t =

mv2

2.58.

0

= 4c

2α

2.59.F =βmv

2.60.v = v0 e-βt

2.61.S = vβ0 (1 – e-β)

2.62. v =			v0
		1+ αv		t	m
			0
2.63.	S =		m ln(1 + αv0 t/m)
			α
2.64.	v∞ =		4πgρвr				≈ 6 м/с, ρв = 10	3	кг/м	3
			3ρ0							– плотность воды

2.65. t = h(v0 − v)(v0v ln(v0 v))

2.66 v∞ =Ar2, где r – радиус капли, A = 4πρg , ρ - плотность вещества

3γ

тумана (вода); v1 = 0,25 м/с; v2 = 0,01 м/с

2.67. vmax =	g sin α tg α
	γ

3.11.p = (π 2 mR)/2t ≈ 4,4 кг·м/с

3.12.p = 100 кг·м/с

139

rMu

3.13.w = M + m

3.14.l ≈ 321,3 м

3.15. v0 =

(1+ m gl)sin 2α

M

3.16. v =

M

2gl sin α

mcosα

3.17.

s =

M 2v02

sin 2α

≈ 283м

g

M + m

r

r

1 r

17 r

3.18.

p = mvx i + mvy j =

i

+

j [кг·м/с]

2

6

3.19. F = mSt2 = 2,5·104 H

3.20. A=32 Дж

3.21. A = SgH 2 (ρ0 −ρ1 )2 = 7,84 Дж, 2ρ0

где ρ0 – плотность воды, ρ1 – плотность льда

3.22. A = 5mgl

36

3.23. A = − (1−η)ηmgl = –1,3 Дж

2

3.24. а) F = (α/r2) e , где e

- единичный вектор, направленный вдоль

r

r

радиус-вектора rr ( er

= rr

/r); A = 0,082α; б) F = -k r ; A = -7,5k

r

3.25. F = α

2x r

x2

2y r

y2 r

A =

4

−

i

+

+

j −

k

,

α

y

y2

z

z2

3

3.26. Aстор =

m(v2

−v2 )

+

α(x2y2 – x1y1)

= 6 мДж

2

1

2

3.27. A = 0

140

3.28. A=−αmgx2 2 =−125 10−3Дж

3.29. v = v02 − gαx2 ≈ 0,87м с

3.30. t = 2 πgα ≈15,7c

3.31. S = vg0α ≈10м

3.32. A =		α2
		2mω2
3.33. A =		α2
		2mβ2
3.34. A =		mv02			(1−e−2αm )
		2
3.35. A =		α	v				−	α		≈ 0,28 Дж
		3
			0					6m

3.36.A = α

3.37.A = α/2

3.38. A = -		mv4
			0
		2v2	+ α
		0
3.39. A =	3mβ
	2	3β

3.40. A =		β4
		32m3
3.41. A=	ρgh2				2
		12 (a +b)				+ab
3.42. A =		l2
		2mα2

3.43. A = mα4 8

141

3.44. hmax = H/2; Smax = H

3.45. vmin = 2r

πg

l

3.46. tgα2

= ctgα1

1

−

2Fl

при F1

>

mv02 cos2

α1

mv02 cos2

2

α1

3.47. tgα2

= ctgα1

1−

αl2

при k >

mv02 cos2

α1

mv02 cos2

l2

α2

3.48. v =

m2 (v −v )2 + 2ghM 2

1

2

= 25 м/с

M

3.49. U =

m1m2 (v1 −v2 )2

;

1) 9,6 Дж;

2) 86,4 Дж

2(m + m )

1

2

3.50. t =

3h

≈ 1,75 c

2g

3.51.1) h1 = 0,005 м; h2 = 0,08 м; 2) h = 0,02 м

3.52.l = 0,64 м

ω4m m

3.53.= (m1 +1m22 )2 = 0,75

r

(m1v1x + m2v2 x )i + (m1v1y + m2v2 y )j + (m1v1z + m2v2 z )k

=

3.54 u =

m1 + m2

= (2 rj + 2 kr) м/с

3.55. Ek = −

μ(vr

−vr

)2

, μ =

m m

1

2

1 2

2

m + m

1

2

3.56. v1

=

m1(u + v)+ mv

; v2

= v; v3

=

m1(v −u)+ mv

m1

+ m

m1

+ m

3.57.m1/m2 > n, где m1 – масса шара, имевшего меньшую энергию

3.58.E = ( 4m1m2 )2 Потеря энергии максимальна при m1 = m2

E m1 + m2

142

3.59. v = (v(1 + ηv)2 ); v = 4 м/c; 1+ η

3.60. cosβ = v1v2 cosα u1u2

3.61. α = 90°

3.62. <F> =	mMν2
	4(m + M )r
3.63. cosα = 1 -		m2v2		gl
		2M 2
			0
						Q
3.64. Q1 = 2			− 2			2
	mQ2 v					m

3.65.n = m2 g tg α m1v

3.66.h = mg/k

3.67.F = mg 1+ 1+ 2k (h −l)

mg

3.68. x =

m

(m

+ m )v2

1

1

2

m2k

3.69. vmin = fg

15m

k

3.70. v1 =

m2

2m1gR

; v2

=

2m1gR

m

m

+ m

m

+ m

1

1

2

1

2

F2τ2 m

+m

0

2

3.71. v1 = F0τ/m; v2 = v – F0τ/m2; Q = F0vτ -

1

2m1m2

3.72. F = ρSu2

4.9.J = 20m0l3/3 = 2·10-2 кг·м2

4.10.J = 2m0l3/3 = 4·10-3 кг·м2

4.11.J = ma2/3 = 4,8·10-2 кг·м2

143

4.12.J = ma2/6 = 0,36 кг·м2

4.13.J2/J1 = 3

4.14.J = 2m((R5 − r5)) + mR2

5 R3 − r3

4.15.Jx = ma2/12, Jy = mb2/12

4.16.J z = m(a2 +b2 )12

4.17.J = m a26

4.18.J =3m R22

4.19.J = m R24

4.20.J = m l2 3 + m R2 4

	4.21.	m =				FR − M тр					= 7,5 кг
						0,5R2 ε
	4.22.	F =				m d π n					= 9,4Н
						2t f
	4.23.	F =				m R ω0			= 5H
						2t
	4.24. N =		3Rω2
						0	≈ 15
			16πfg

4.25.v = 4,37 мс

4.26.t =1,51c ;

4.27.a =3,27мс2 ;

4.28.M = 4/5 mR2 (B + 3Ct) = -0,64 Н·м;

4.29.M = (aB-bA) k , где k - орт оси OZ;

2πgfρh(R3 − R3 )

4.30. M = 2 1 ; 3

144

4.31. Fгор =		3mg		; Fверт =			mg	;
		2					4
4.32. F =		mg				, при l = L			F =	mg	;
		l 2								4
1+3
		L

4.33. F = (1 + 4a2m/J)mg, где J – момент инерции человека относительно перекладины, a – расстояние между осью вращения и центром масс человека. Если при оценке момента инерции моделировать человека однородным стержнем, вращающимся вокруг одного из его концов, то F =4mg;

4.34. L = mR2 ω;
4.35. L0 = 7·1033 кг·м2/c; L = 3,9·106 . L0 = 2,7·1040 кг·м2/c;
4.36. L0 = mg v0t2 cos α/2;						L = (mv03 sin2α cosα)/(2g) = 37 кг·м2/c;
4.37. L = ml		gl(1−cosβ) 3 ≈ 1,3 кг·м2/c;
4.38. 1) a 1 =			(m1 − m2 )g					2
							= 2,8 м/c ;
			m + m + m / 2
		1		2		3
	m g(2m + J / R2 )							T2 =	m g(2m + J / R2 )
1		2							2	1
2) T1 =						= 14 Н;						= 12,6 Н,
	m + m + J / R2								m + m + J / R2
1		2							1	2

где J = m32R2 - момент инерции блока; 4.39. a = 2mg / (M+2m) = 3 м/c2;

4.40. a =

2(m + M )r2 g

;

mr2 + MR2 + 2(m + M )r2

4.41. a =

2r2 g

2

Mg

= 0,192 м/c ; T =

= 4,8 Н;

R2 + 2r2

+ 2(r

2

2 1

R

)

4.42. T =

Mg

= 0,9 Н

1

+

Mr2

4mR2

145

4.43. Fтр = 5mg sinα ≈ 0,94 Н

4.44. a) ω =

gt

б) EK =

mg2t2

;

;

M

M

R 1

+

2 1+

2m

2m

4.45. a) T1 =

M (m1 + m2 )g

); б) T2 =

Mm2 g

) ;

2(m1 + m2

+ M

2

2(m1 + m2 + M

2

4.46. F =

Mm g

);

2(m1 + m22+ M

2

4.47. a =

(m1 sin α1 − m2 sin

α2 )g

;

m + m

+ M

2

1

2

g(m − M )

2 );

4.48. a =

2(M + m + J

R

4.49. a =

4g

;

5

4.50 EK =

F 2t2 (3m + m )

;

1

2

2m (m + m )

1

1

2

4.51. v = 2

la0 ;

3

4.52. a = (g – a1)/2; T = m(g –a1)/2;

4.53. ω =

6F sin ϕ ;

ml

4.54. F =

fmg

, a =

f (ctgα −1)

g;

(1+ f )sin α

1+ f

4.55. <ω> = ω0/3

4.56. ε =

2mgx

;

R(2m + M )

4.57. Eк =

7mπ2n2d

2

=1,1 Дж;

10

146

4.58. 1) ω1 =	3g	≈ 17 рад/c; v1 = ω1l/2 ≈ 0,85 м/с;
	l

2)ω2 = ω1; v2 = ω2l = 1,7 м/с;

4.59.Скорость поступательного движения стержня не зависит от точки

удара и равна	u0 =	mv	= 6,7 м/с; η1 = 2/3; η2 = 5/12;
		m
		1

4.60.v = 2M 3gl ; M +3m

4.61.l = L3 ;

4.62.После удара шарик и стержень будут подниматься как единое

тело, H =	6m2h
		;
	(M + 2m)(M + 3m)
						3	M			2
4.63. После удара шарик поднимется на высоту h1					=	2				h;
							M +		3m
а нижний конец стержня – на высоту h2			M			2	h;
			=
			M +3m

4.64.v = v0 – 2mM gL3 sin(α/2) ≈ 380 м/с;

4.65.ω = 2m1vх 13 m2b2 + m1x2 ≈ 2,1 м/с2; x = 23b ;

4.66. x =	l	M		−1		, при M ≥ m;
	2	3 m
4.67. n2 = (m1 + 2m2 )n1 ≈ 12,8 об/мин;
		m +	m2
		1		2
4.68. Кинетическая энергия уменьшится на EK =							J1J2 (ω1 −ω2 )2
								;
							2(J1 + J2 )

147

4.69. ϕ = − ( 2m1ϕ1 ); 2m1 + m2

4.70. ω = 3lg ;

Mv2 cos2 α

4.71. F = 0 ;

R

4.72. T = m(ω2 R + g ctgθ); 2π

5.12.F = 667 нН ;

5.13.F = 1,86·10-44 H;

5.14.h = 22 106 м, ϕ = −1,42 107 Джкг;

5.15.F = 0; g = 0;

5.16.v = 29,8кмс;

5.17. F =

γmMh

; g =

γMh

;

(R2 + h2 )32

(R2 + h2 )32

5.18. а) F = γmM

;

б) F =

γmM

;

b2

2

5a2

5.19. h = 4,19 106 м;

5.20. а) F =

2γmM

h

2γmM

1−

; б) F =

- при h = 0;

R

2

R

2

R2 + h2

5.21. ρ = 5,51 103 кг м3

;

5.22. F =

2γM

- при h = 0; F → 0

h → ∞;

R2

5.23.P = 0,04 H;

5.24.Вес тела со стороны Луны больше;

	R − h			g			g
5.25. g1 = g		; h = R 1	−	1		;	1	=0,3 при h = 0,7R;
	R			g			g

148

	5.26. gл = 0,165gз;
	5.27.	gh	=	R2	; g = 0,25g при h = R;
		g		(R + h)
					h
				2

5.28. 0,25 м/с2; 0,998 м/с2; 5.29. Wп = –3,8·10-10 Дж; 5.30. h = 2H;

		g
			0
	5.31. H = R			−1	= 13,6 Мм;
		g

5.32.а = 0,6 смс2 ;

5.33.d = 3 γ M T 2 4π2 ;

5.34.g = γ RM2 = 3,7 H/кг;

5.35. T =	3π		=1,2 10−3 c
	γ ρ
5.36. r =	l		= 344 Мм;
	M
		+1
	m
5.37. 2γδm ; g =			2γδ		;
r			r
0			0
5.38. F =	γ m M				если r0 <<l ;	F =	2γ m M	;
		l2	2				r l
	r0	4	+ r0				0
5.39. F = 4,2 10−7 H ;
5.40. F = 4,2 10−4 H ;
5.41. F =	γ m M			;
	2R2
5.42. внутри		g = 0 ;			вне g = 4π γ σ;

149

			4π R2	γ σ		g
	5.43.	g =				вне оболочки;
			r2
	g = 0 внутри оболочки					(см.рис.1)

5.44.g = 2γ σ ; r0

5.45.(см.рис.2 и 3)

→

g

R r

	0			R
		γ M		Рис.2.
gr =			rr	(при
		R3

								0
								R = r		r
								Рис.1
						ϕ				r
								0
								ϕ -	1
									r
	−				γM
R 1/r2					R
	−	3γM						ϕ = -a + br2
	x			2R
	γ M r							Рис.3.
r ≤ R ), gr = −								(при r > R ).
	r2				r

ϕ(r)= −

3γ M

+

γ M

r2

(при r ≤ R ),

ϕ(r)= −

γ M

(при

2R

r

2R3

r > R )

5.46. v = 2γ M Л = 2,35 103 м с;

RЛ

5.47 ϕ = -γ

M

, ϕ1 = -γ M1 = -62,6 МДж/кг; ϕ2

= -γ M2

= -190 ГДж/кг;

R

R

R

1

2

5.48. h = 2,1 105 м;

S = 4,6м;

150

5.49. Wп

= 2;

W

к

5.50. 1) A1

=

γMm

= 31,3 МДж; 2) A2

=

γMm

= 62,6 МДж;

2R

R

5.51. v =

2γM

=42,1 км/с;

R

5.52. W = −0,36 нДж;

5.53. ε =

A

=

h

;

A

2R − h

5.54. R =

3ϕ

4

4πγρ

= 8,06·10

м;

5.55. R =

3Eп

5

4πγρm =4,7·10 м;

5.56. A =

γMЗm

9

= 5,23·10 Дж;

R0

5.57 ϕ = −

γ m

ln

a +l

; g

=

γ m

;

a(l + a)

l

a

5.58. v =

gR

= 5 км/с;

η

g R2t2

5.59.h = 2(R + H )2 = 2,18 м;

5.60.T = 7,8 ч.; T = 31,2 ч.;

5.61.6,33 км/с;

5.62.v = 1,7 км/с; T = 1 ч. 50 мин.;

5.63.v2 = 2,4 км/с;0

5.64. v = v1	R1 = 7,9 км/с;
	R

151

5.65. M =

v2r

23

= 6,21·10

кг;

γ

5.66. T1 = T2

R1

3

= 15 мес.;

R

2

M1

r1

3

T2

2

=

= 100, индекс 1 относится к Сатурну и его

5.67. M

r

T

2

2

1

спутнику, 2 – к земле и Луне;

5.68.R2 = 1,46·104 км; T2 = 104 мин.;

5.69.1000;

5.70.T = 88 мин.;

5.71.v = v02 − γRM =6,12 км/с;

5.72.v = gR( 2 −1)= 3,27 км/с;

5.73.v = v02 − 2gR = 10 км/с;

5.74.

h, км	v, км/с	Т
0	7,91	1 ч. 25 мин.
700	7,79	1 ч. 28 мин.
7000	5,46	4 ч. 16 мин.

5.75.an = 9,2 м/с2;

5.76.gЛ = RЛρЛ g0 = 1,61 м/с2 ;

RЗρЗ

	5.77. r =	γMT 2	= 8,06 Мм; h = r – R = 1,69 Мм;
		4π2

6.12.t =2c.

6.13.5см; 0,8с; 1,25Гн; 1,04Рад.

152

6.14. x = 10 sin2t см; а =40 смс2 .

	π	t +	π	мм; x	= 35,2мм;	x		= 0 .
6.15. x = 50sin							2
2			6	1

6.16.vmax при π6t + nπ,где n =1,2,3,… amaxприπ6t = (2n +1)π2 .

6.17.vмах = x0ω; amax = x0ω2;

6.18.t = T6 ;

6.19.Tл = 2,46T0

6.20.x = 10 sin π6 t см;

6.21.x = 0,1sin π t м;

ϕ1	= аrcsin	x	=36	0 ′	ϕ2 = аrcсos	v		0	′
		A		52 .		π	A	= 71 26 .

6.22.v = ω x02 − x2 ;

6.23.t =1c ;

6.24.T = 4 c; vмах = 3,14 cм/с; aмах =4,93 cм/с;

6.25.v = ω x02 − x2 , (см.рис.4),

6.26.a = -ω2x0;

6.27.а = 12см/с2 .

6.28.F = mg cos(ϕmωt) + mlω2ϕm2 sin2(ωt);

6.29.x = a cos(ωt + α) = -29 см; vz = -81 cм/с;

2

v

2

v

x0

a =

x

+

z0

; α = arctg

−

;

ωx

0

ω

0

v 5

3 1

-5 -3 -1 1 3 5 x

Рис.4

6.30.v = 13,6 cм/с;

6.31.ω = amax = 10c-1; T = 2ωπ = 0,628 c;.Amax = 1 см; x = sin(10t) см;

vmax

153

6.32. a = −ω x2ω2	−v2	;
0

6.33.x = 5 sin πt + π см;

6

6.34.А = 8,3 см;

6.35.t1 = 0; t2 = T6 = 0,025 c;

6.36.а) T = 0,2 c; a = 0,01 m; б) x = 0,01(1 – cos(31t));

6.37. ω =	v2	−v2	; А =	v2 x2	−v2 x2		;
	1	2		1 2	2	1
	a2	− a2		a2	− a2
	2	1		2	1

6.38. A = 3,1 см; T = 4,1 c;

6.39. А = 7,07 см; ω = 4,0 c-1; T = 1,57 c; ϕ = 0,785 рад.; 6.40. ϕ2 - ϕ1 = 71°46`;

6.41. ω = 9,9 c-1; 6.42. A = 7; 6.43. A = 7;

6.44. Fмах = 137 мкН; E = 3,42 мкДж;

6.45. F = -mAω2 sin(ωt); F1 = -62,5 мН; F2 = -125 мН;

6.46. x2 + y = 1 – уравнение параболы;

2

6.47.vмах = 2,73 αω

6.48.ω1 = 47,9 и ω2 = 52,1 c-1; T = 1,5 c;

	6.49. а)	x2	+	y2	= 1; б) a = –ωr ;
		A2		B2

6.50.y2 = 4x2 1− x2 (см. рис. 5);

a2

y

0 x

Рис.5.

154

		2x		2			y
6.51. y = а 1	−					(см. рис. 6);
			2
		a

6.52. m = 0,2кг;
6.53. T = 2π	2l	;				0	x
	3g
6.54. T = 2π	3(R2 + r2 )(R + r)
	2g(R2 + Rr + r2 ) = 1,14 c;
						Рис.6.
	1−		l2	l		= 10 и 30 см.;
6.55. x = 1±			3l2		0
					2
			0

					2	mA2ω2
	6.56. Fмах = mω A = 2 мН; Eк мах =						= 50 мкДж;
						2
	6.57. t = 0,463 c; ϕ = 0,927 рад.;
	6.58.	U	= tg2(ωt+ϕ);
		EК
	6.59. t =		1	24	c;

F 2

F 2

6.60. Ek =

0

sin(ωt); Eмах =

0

;

2

2

2mω

2mω

6.61. A =10 см Т = 0,42с;

6.62. T0 = 2π

ρЛ H

≈ 1,3 c;

ρВg

6.63. L =

l2

−2d(l −d )

= 50 см; T = 2π

L

= 1,42 c;

l − 2d

g

6.64. L =

5l

= 25 см; T = 2π

L

= 1 c;

6

g

6.65.d =10,1 см;

6.66.l1 = 9см , l2 = 25 см ;

155

J + mx2

6.67. T = 2π

g(mx − Ma) ;

6.68. T = 2π

2R

= 1,55 c;

g

6.69. L =

3R

= 36 см; T = 2π

L

= 1,2 c;

2

g

6.70. ε =

T2 −T1

= 1 -

l

; ε = 9%;

T1

1,4r

2

+

2rl +l2

6.71. T =

2π

= 2π 10R ;

ω

g

0

6.72. T = 2π

7(R − r) ;

5g

6.73. J0 =

ma2

2

= 0,025 кг*м ;

T

2

1 T

−1

0

= 2 ω2 − g l

6.74. J m l 2 ;

ω12 −ω22

6.75. T = π 2h ; l	пр	=	h	;
g		2

k

6.76.ω0 = m + J R2 .

6.77.δ = 0,264; β = 0,05 c-1; x = 20e-0,05t cos(1,26t);

6.78. n =	1	ln		A1		= 173; T = 2πn	m	k	= 2 мин. 52 сек.;
	λ			A2
6.79. v =	1	k			= 11,2 м/с;
	π	m

6.80. а) a0	и a0ω; б) tп =	1			ω		, где n =1,2,3…;
			arctg			+ nπ
		ω			β

156

6.81. а) ϕ& (0) = - β ϕ0; ϕ&&(0) = (β2 - ω2)ϕ0;

б) tП =	1			ω2 −β2
			arctg			+ nπ		, где n =1,2,3…;
				2βω
	ω

6.82.В 1,22 раза;

6.83.x = 7e-1,6t sin(10,5πt) см; F = 72 sin(10πt) мН;

6.84.β = 2mFαω0 ;

			2	&2			2
6.85. ϕm = ϕ0	1	+ m R		ϕ0	;	E =	к ϕm	;
							2
		2к ϕ02

7.8.Δτ = 3,2 c;

7.9.m = 2m0; v = 260 Mм/с;

			l			l
7.10.		l			= 0,661;		≈ 0,001;
						l
			0	e		0

7.11. v = c

η(2 − η)

= 0,1 c;

l

2

v2

(v

x

−v

′ )

7.12. vх = c

1−

1−

x′

= 0,43 c; v0 =

x

= 0,34c;

l

c2

vxvx′

2

1

1−

c

7.13.

а)

l

l

≈ 0,005 cos2α;

б) –0,0025; 0;

0

7.14.

l0 = l

(1−β2 sin2

α)

=1,08 М,

где β = v/c;

(1−β2 )

7.15. а) стержень 2;

б) стержень 1;

7.15. а) α′ = 490 ,

б) l′ =3,8м,

l′ l = 0,66 ;

7.17. а) l = 0,94м,

б) α = 490 .

7.18.S = 0,5S0;

7.19.а) часы 1; б) часы 2;

7.20.m = 8,6·10-27 кг

157

7.21. v = 0,06c; под плотностью понимается отношение массы покоя

тела к его объёму.						e
					m m			e
7.22. 20,6; 1,01;
7.23. v = 2,22*108 м/с;								m
7.24.	mрел	=	1		) ≈ 70;
			2(1− v
	m			c			m
7.25. См. рис.7;									β=
7.26.	1,94;						Рис.7.

7.27.v = 2,94·108 м/с;

7.28.Tk = 25,6 кэВ – для электронов; Tk = 47 МэВ – для протонов;

7.29.0,341 МэВ;

7.30.U = 4,61 МВ; U = 8450 МВ;

7.31.U = 510 кВ;

7.32.v = 260 Mм/с;

7.33.E = 1410 МэВ; T = 470 МэВ;

7.34.При η << 1 mcT 2 ≤ 43η ≈ 0,013;

7.35.E = E02 + p2c2 ;

7.36.2,05·10-22 кг·м/с;

7.37.v = 212 Mм/с;

	7.38. p =	T	1	+	2mc2	;
		c			T

v c

						1
	c −v				2	−	2
7.39.		= 1 - 1	+	mc			= 0,44 %;
	c
			p
7.40.	p = 4,7 ·10-22 кг·м/с

158

7.41. p = T (T + 2mc2 )=1,09 ГэВ/c, где с – скорость света; c

7.42. η =	2			;
		v2
	1+3
		0	2	l
			c

7.43.v = ηc η2 −1 = c 23 ;

7.44.U ≈ 3,78·109 B;

7.45.V = 2,1 1011 л;

			(m	α	−3m			)c2
7.46. U =		0					0 p			= 912 MB;
					e
7.47. A = 0,42 mc2, вместо 0,14mc2;
	E				1					17
7.48.						2		2
	m	=		1−β			−1 c			= 3,6·10 Дж/кг;

7.49. суммарная масса приблизительно равна сумме масс исходных

		T m	2		c T	(T + 2m c2 )
	чаcтиц, если	2 1	<<(m + m )	v =	2	2	2		;
					(m + m )c2		+T
		c2	1 2
					1	2	2

7.50.mμ = 3,2·10-9 г/моль ;

7.51.mμ = 0,217 г/моль;

7.52.M2c2= (m12 + m22)c2 + 2 ((p12 +m12c2 )(p22 +m22c2 )− p1 p2 cosv);

7.53.T1 = 2cM2 [(M − m1 )2 − m22 ]; T2 = [(M − m2 )2 − m12 ] 2сМ2 ;

7.54.1) 13,7 см; 2) 22,8 см;

7.55.3,54эВ;

7.56.300 МэВ;

7.57.B = 4,2 Тл;

7.58.τ =7,02 нс;

159