где

A e−βt

- амплитуда собственных затухающих колебаний,

β-

0

коэффициент

затухания,

ω

-

угловая

частота затухающих

колебаний, α - начальная фаза.

Для

случая

k

r 2

система

совершает

апериодическое

<

m

2m

движение к положению равновесия.

Коэффициент затухания

β

- величина обратная времени, за

которое амплитуда убывает в e

раз

β =

r

.

(6.37)

2m

х

Круговая

частота

затухающих колебаний

ω=

ω2 −β2 .

(6.38)

A e−βt

0

Период

затухающих

0

A1

A2

колебаний

0

T =

2π =

2π

. (6.39)

t

ω

k

r

2

−

m

2m

T

Логарифмическим

декрементом

затухания

δ

Рис.6.5

называется

натуральный

логарифм

отношения двух

последовательных значений амплитуды, отстоящих друг от друга по времени на период

δ = ln

A

= ln

A e−βt

=βT .

(6.40)

t

0

A

A e−β(t+T )

t+T

0

Величина

δ

обратна числу колебаний,

за которое амплитуда

убывает в e

раз.

Из (6.40) и рис.6.5 видно, что

δ = ln

A1

= ln

A2

=... =βT = const .

(6.41)

A

A

2

3

Рассмотренные выше гармонические и затухающие колебания являются свободными. Если на колеблющуюся точку, кроме сил упругости и сопротивления, действует внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону, то колебания называются вынужденными. Из второго закона Ньютона

mx = −kx − rx + F0 sin ω1t		(6.42)
&&	&

получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

104

x +	r		x +	k	x =	F0	sin ω1t .	(6.43)
&&	m		&	m		m
Его решение имеет вид
x = A e−βt sin(ωt + α)+ Asin(ωt + Ψ).								(6.44)
	0						1
После			затухания колебаний, описываемых					первым слагаемым

соотношения (6.44), происходят установившиеся вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы ω1 по закону

x = Asin(ω1t + Ψ)					F0		(6.45)
и амплитудой A = m				(ω2		+ 4β2ω2 .	(6.46)
					−ω2 )2
				0	1	1
Сдвиг фаз между колебаниями точки и вынуждающей силы
определяется соотношением
tgΨ = −	2βω1		.				(6.47)
	2	2
	ω −ω
	0	1
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды колебаний при
определенной	частоте			ωрез		вынуждающей	силы	(6.48).

Продифференцировав соотношение (6.46) по частоте ω1 и приравняв производную к нулю, получим значение резонансной частоты

ω

рез

=

ω2

− 2β2 .

(6.48)

0

Из (6.46) и (6.48) найдем значение амплитуды колебаний при резонансе

Aрез

=

F0

.

(6.49)

ω2

2mβ

−β2

0

На

рис.6.6

A

приведен

график

Aрез1

β1 <β2

зависимости

амплитуды

установившихся

вынужденных колебаний

от

частоты

A

вынуждающей силы ω1 .

рез2

Чем

меньше

F0

β2

коэффициент

затухания

β,

тем

круче mω02

резонансная кривая.

ωрез1

ωрез2

ω1

Рис.6.6

105

6.2.Примеры решения задач

Задача 6.1. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки от положения равновесия равно x1 = 5 см. При увеличении фазы вдвое

смещение точки стало

x2

= 8 см. Найти амплитуду колебаний.

Решение.

Зависимость смещения от времени при

гармонических колебаниях имеет вид

x = Asin(ωt + ϕ) .

Обозначим через α фазу в момент времени, когда смещение равно x1 ,

x = Asin α .

Тогда

x = Asin 2α = A 2sin αcos α,

sin α =

x1

.

Тогда

1

2

A

cosα =

A2

− x2

=

x2

A

1

1− 1 .

A2

Подставим

sinα, cosα в выражения для

x2

x = A 2

x

1−

x2

x2

1

1 = 2x 1−

1 .

2

A

A2

1

A2

Откуда после очевидных алгебраических преобразований

x

=

1−

x2

x2

=1−

x

2

;

x2

1−

x2

;

2

1 ;

2

1

1 =

2

2x

A2

4x2

A2

A2

4x2

1

1

1

A

2

=

x

2

=

4x4

,

1

1

4x2 − x2

1−

x2

2

1

2

4x2

1

получим выражение для амплитуды колебаний

A =

2x2

=8,3см.

4x2 − x2

1

1

2

Задача 6.2.

Частица совершает колебания вдоль оси

x по

закону

x = 0,1sin 6,28t

[м]. Найти

среднее

значение

модуля скорости

vr

( среднюю путевую скорость) за вторую 1/8 часть периода T.

Решение.

По определению,

t2

τ = T8 ; t1 = T8 ;t2 = T4 .

v

=τ1 t∫v(t)dt , где

1

v = dx

Так как

x = Asin ωt ,

а

,

среднее

значение модуля

скорости

dt

8 T 4

8

T 4

8A

π

π

v

=

∫Acosωtdt =

Asin ωt

=

sin

−sin

= 0,23 м с.

T

T 8

T

T 8

T

2

4

106

Задача 6.3. Точка движется в плоскости xOy по законам x = Asin ω0t , y = B cos ω0t ,где A, B,ω0 - постоянные. Найти:

а) уравнение траектории точки; б) ускорение точки в зависимости от ее радиус-вектора, проведенного из начала координат.

Решение. Перепишем уравнения колебаний в виде

виде

где

Ax = sin ω0t , By = cosω0t .

Возведя их в квадрат и сложив, получим уравнение траектории в

x2		+		y2		=1. Это уравнение эллипса.
A2				B2
Запишем выражение для радиус-вектора в виде
r				r		r
r	= xi				+ yj = Asin ω0t i + Bcosω0t j ,
ir,	rj		- орты прямоугольной декартовой системы координат xOy.

Тогда скорость точки, по определению, равна vr = drr = Aω0 cosω0t ir − Bω0 sin ω0t rj .

dt

Аналогично находим ускорение точки ar = ddtv = −Aω02 sin ω0t ir − Bω02 cosω0t rj .

Искомая зависимость будет иметь вид ar = −ω02rr.

Задача 6.4. Полная энергия тела, совершающего

гармонические

колебания,

равна

E = 3 10−5 Дж.

Максимальная сила, действующая на тело,

Fmax =1,5 10−3

Н. Написать уравнение движения тела, если период

колебаний

T = 2 с, а начальная фаза α0 = 60° .

Решение.

Закон движения запишем в виде x = Asin(ωt + α0 ),

где ω=

2π

= π

рад; α0 =

πрад. Найдем амплитуду. Полная энергия

T

с

3

равна

E

=

mA2ω2

.

Сила,

действующая

на

тело,

2

E

A

F

= ma = mω2 x;

F

= mω2 A. Откуда

=

. Следовательно ,

max

Fmax

2

A =

2E

= 4 10−2 м =4см

F

max

Окончательно, закон движения примет вид x = 4sin(πt + π3)[см]

107

Задача 6.5.						Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый в
						стену горизонтально, колеблется в плоскости,
			O
						параллельной стене. Радиус обруча					R = 30
						см. Вычислить период			T	колебаний обруча.
	d
						Сопротивлением среды пренебречь.
						Решение.		Обруч представляет собой
R
						физический маятник (рис.6.7). Период малых
			C
						колебаний физического маятника равен
						T = 2π	IO	,
Рис.6.7							mgd
						где d = R - расстояние от центра масс С до
						точки подвеса,		I0	-	момент	инерции

относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О. По теореме Штейнера,

IO = IC + md 2 = mR2 + mR2 = 2mR2 ,

где IC - момент инерции относительно горизонтальной оси,

проходящей через центр масс точку С. Следовательно, период гармонических колебаний маятника равен

T = 2π 2mR2 = 2π 2R =1,55 c . mgR g

Задача 6.6. Частица находится в одномерном потенциальном

поле, в котором ее потенциальная энергия U(x) зависит от координаты
x по законуU (x)=U0 (1 − cos ax), где U0 , a -	постоянные. Найти

период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Решение. Консервативная сила и потенциальная энергия связаны соотношением

F = − dU

= −

d

[U

(1−cos ax)]= −

d

(U

0

−U

0

cos ax)= −aU

0

sin ax .

x

dx

dx

0

dx

Если колебания малые, то x мало и sin ax ≈ ax . Тогда

2

Fx

&&

Fx = −aU0 sin ax = −a U0 x . С другой стороны,

= max = mx .

2

2

x +

a2U0

x

= 0,

Следовательно,

− a U0 x = mx . Тогда mx

+ a U0 x

= 0 и

&&

&&

&&

m

a2U0

где

= ω2

. В итоге период равен

T = 2π = 2π

m .

m

0

ω0

a

U0

108

Задача 6.7.	Однородный диск массы					m = 3 кг и радиуса
R = 20 см скреплен с тонким стержнем (рис.6.8), другой конец
которого	прикреплен		неподвижно		к
потолку.	Отношение		приложенного
								M
вращательного момента сил M				к углу
закручивания ϕ		у	стержня	равно

k = 6 Н м/рад. Определить частоту ω

малых крутильных колебаний диска. Решение. Если повернуть диск на угол ϕ ,

то появится возвращающий момент сил M = −kϕ

(см.рис.6.8). В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения

M = Iε = Iϕ&&.

Тогда Iϕ&& = −kϕ или ϕ&&+ kI ϕ = 0 , где I = mR2 2 .

ϕr

ϕ

Рис.6.8

В итоге дифференциальное уравнение крутильных колебаний

&&

2k

примет вид ϕ+ mR2 ϕ = 0, откуда

2

2k

1

2k

−1

ω = mR2 ; ω=

R m =10 c

.

Задача 6.8. Однородный стержень положили на два быстро

вращающихся

блока

N1

Nr

(рис.6.9),

расстояние

2

между осями которых

l

r

x

x

= 20 см. Коэффициент

Fтр1

Fтр2

трения между стержнем и

блоками

μ = 0,18 .

Fтр1

A

mgr

B

Показать,

что

стержень

будет

совершать

l

2

гармонические

колебания

и найти их период.

Рис.6.9

Решение.

При вращении

блоков на них действуют силы трения со стороны стержня. К стержню приложены силы трения Fтр1 и Fтр2 , противоположно направленные.

Их величина определяется силами нормальной реакции опоры N1 и N2 . К середине стержня приложена сила тяжести mgr. При смещении

стержня на x влево тoчка приложения силы тяжести также сместится на x влево. Тогда сумма моментов сил, действующих на стержень относительно горизонтальной оси, проходящей через точку В , будет равна нулю: ∑M B = 0 .

109

l

mg(l + 2x)

N1 l − mg

+ x

= 0 . Откуда N1

=

2l

2

и сила трения

F

= μN

= μmg(l + 2x).

тр1

1

2l

Аналогично ∑M A = 0 .

μmg(l −

2x)

l

mg(l − 2x)

Fтр2 = μN2 =

N2 l − mg

− x

= 0

, N2 =

2l

,

2l

.

2

При смещении влево

Fтр1 > Fтр2 и появляется возвращающая

сила, смещающая стержень вправо

F = F

− F

2

=

μmg

(l + 2x −l + 2x)=

μmg

4x = 2μmgx .

тр1

тр

2l

2l

l

С учетом разнонаправленности

x

и

F получим

F = −

2μmgx

l

F = ma = mx . Тогда

С другой стороны

&&

&&

= −

2μmgx

&&

+

2μg

x = 0;

2

2μg

;

ω=

2μg

,

mx

l

, x

l

ω =

l

l

а период T

=

2π

= 2π

l

= π

2l

=1,49 c

ω

2μg

μg

Задача

6.9.

Тело массы

m

упало с высоты

h на чашку

пружинных весов (рис.6.10).Массы чашки и пружины пренебрежимо

малы, коэффициент жесткости пружины			k. Прилипнув к чашке, тело
начинает совершать гармонические			колебания в		вертикальной
m	плоскости. Найти амплитуду колебаний,
	считая их гармоническими.
h	Решение.			После	падения	груза
	пружина будет			сжиматься	на	y1 , где
y	чашка остановится. В соответствии с
1	законом		сохранения		энергии
	mg(h + y )=	ky2
			1 .
	1		2
	Решая квадратное уравнение
	ky2
	1 − mgy − mgh = 0 ,
y	2		1
	найдем			максимальное		сжатие
Рис.6.10	пружины

110

y	=	mg ± m2 g2	+ 4k 2mgh	=	mg ±	m2 g	2 + 2kmgh	.
1		2 k 2				k

Так как y1 > 0 , а подкоренное выражение больше m2 g2 , то

y	=	mg +	m2 g	2 + 2kmgh	.
1			k

Положение равновесия чашки с грузом определяется как mg = ky0 .

Откуда y0 = mgk . Амплитуда колебаний – это максимальное отклонение от положения равновесия, поэтому

A = y	− y	0	=	mg + m2 g2	+ 2kmgh	−	mg	=	m2 g2 + 2kmgh	.
1				k			k		k

Задача 6.10. Логарифмический декремент затухания колебаний δ = 0,003. Определить число полных колебаний N, которые должен совершить маятник, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза.

Решение.

Число полных колебаний

N = t T , где T - период

затухающих

колебаний.

Логарифмический

декремент

затухания

δ =βT , где

β

- коэффициент

затухания.

Амплитуда затухающих

колебаний равна

A(t)= A e−βt .

0

A(t)= A

По условию задачи

2 , поэтому A

2 = A e−βt ;

eβt = 2 .

0

0

0

Логарифмируя, получим

βt = ln 2 , откуда t = ln 2 β. Тогда

N = t T = ln 2 βT = ln 2 δ = 231.

Задача 6.11. Колебательная система совершает затухающие

колебания с частотой

ν = 1000 с-1. Определить частоту собственных

колебаний системы, если резонансная частота

νp = 998 с-1.

Решение. Круговая частота затухающих колебаний равна

ω= ω2 −β2

. Так как

ω= 2πν,

ω

0

= 2πν

0

,то

0

2πν =

4π2ν02 −β2 , или ν =

ν02 −β2

4π2 .

Резонансная частота

ω

p

=

ω2

− 2β2

,

0

или νp =

ν02 − 2β2 4π2

=

ν02 −β2 2π2 .

Решая уравнения совместно находим

ν0

, исключая β:

ν2 = ν02 −β2

4π2 ;

ν2p = ν02 −β2

2π2 Вычитаем 2ν2 −ν2p = 2ν02 −ν02 = ν02

Находим ν0 =

2ν2 −ν2p =1002 c−1 .

111

6.3.Задачи для самостоятельного решения

6.12. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится относительно положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с,

начальная фаза		ϕ0 = 0.
	6.13. Найти амплитуду А, период Т, частоту ν и начальную фазу
ϕ0			39,2t +5,2
	колебания, заданного уравнением x = 5 sin		5	см. Здесь t

всекундах.

6.14.Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Наибольшее смещение точки А = 100 см, наибольшая скорость

v= 20 см/с. Написать уравнение колебаний и найти максимальное ускорение amax точки.

6.15.Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 50 мм, периодом Т = 4 с и начальной фазой

ϕ0 = π/4. Найти смещение x колеблющейся точки от положения равновесия при t = 0 и t = 1,5 c.

	πt
6.16. Уравнение движения точки дано в виде x = sin	. Найти
	6

моменты времени t, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

6.17.Точка колеблется гармонически по закону x = x0sin (ωt + ϕ0). Найти максимальные значения скорости и ускорения точки.

6.18.Начальная фаза гармонического колебания ϕ0 = 0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

6.19.Как изменится период колебания математического маятника при перенесении его с Земли на Луну?

6.20.Точка равномерно вращается по окружности против

часовой стрелки с периодом Т = 12 c. Диаметр окружности d = 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на прямую, касательную к окружности. За начало отсчета принять момент, когда точка, вращающаяся по окружности, проходит через точку касания.

6.21.Точка совершает гармонические колебания с амплитудой

А= 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний,

считая, что при t = 0 смещение x = 0. Определить также фазу ϕ для двух моментов времени: когда смещение точки х = 6 см; 2) когда скорость точки v = 10 см/c.

6.22. Найти зависимость скорости гармонического колебания материальной точки от смещения.

112

6.23. Через какое время от начала движения точка, совершающая

колебательное движение по уравнению					πt
					x = 7 sin	, проходит путь
						2
от положения равновесия до максимального смещения?
6.24.	Уравнение			движения	точки	дано	в	виде
πt	+	π			колебания	Т, максимальную
x = 2 sin		4	см. Найти период
2

скорость vmax и максимальное ускорение amax точки.

6.25Построить график зависимости скорости гармонического колебания материальной точки x = 5 sin(2 πt+ ϕ0) от смещения.

6.26.Найти зависимость ускорения гармонического колебания

x= x0 sin(ωt+ ϕ0) от смещения.

6.27.Точка колеблется гармонически. Амплитуда колебаний

А = 5 см, круговая частота ω = 2 c-1, начальная фаза ϕ0 = 0. Определить ускорение точки в момент, когда ее скорость v = 8 см/с.

6.28. Найти закон, по которому изменяется со временем натяжение F нити математического маятника, совершающего колебание ϕ = ϕmcos(ωt). Масса маятника m, длина l.

6.29.Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия x = 0. Частота колебаний ω = 4 c-1. В

некоторый момент координата частицы x0 = 25 см и ее скорость v0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость v частицы через t = 2,4 с после этого момента.

6.30.Точка совершает гармоническое колебание. Период

колебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза ϕ0 = 0. Найти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия x = 25 мм.

6.31. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки vmax = 10 см/c, максимальное ускорение amax = 100 см/c2. Найти циклическую частоту ω колебаний, их период t и амплитуду A. Написать уравнение колебаний.

6.32.Найти зависимость ускорения гармонического колебания

x= x0 sin(ωt + ϕ0) от скорости.

6.33.Написать уравнение гармонических колебаний, если максимальное ускорение amax = 49,3 см/c2, период колебаний Т = 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени x0 = 25 мм.

6.34.Точка совершает гармонические колебания. В некоторый

момент времени t смещение точки x1 = 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало x2 = 8 cм. Найти амплитуду А колебаний.

113

6.35. Начальная фаза колебаний точки равна π/3. Период колебаний Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые скорость и ускорение в два раза меньше амплитудных значений.

6.36. Шарик массы m = 50 г подвешен на пружине с коэффициентом жесткости k = 49 Н/м. Шарик поднимают до такого положения, когда пружина не напряжена, и отпускают без толчка. Пренебрегая трением и массой пружины, найти а) период Т и амплитуду А возникших колебаний; б) направив ось X вниз и совместив точку х = 0 с начальным положением шарика, написать закон движения шарика.

6.37.Найти круговую частоту и амплитуду гармонических

колебаний частицы, если на расстояниях x1 и x2 от положения равновесия ее скорость равна соответственно v1 и v2.

6.38.Начальная фаза гармонического колебания ϕ = 0. При

смещении точки от положения равновесия x1 = 2,4 см скорость точки v1 = 3 см/с, а при смещении x2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

6.39.Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки x = 5 см, ее скорость v = 20 см/c и

ускорение a = 80 cм/с2. Найти амплитуду А, циклическую частоту ω, период колебаний Т и фазу ϕ колебаний в рассматриваемый момент времени.

6.40.При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одной и той же частотой и амплитудами, равными 2 и 4 см, получается гармоническое колебание с амплитудой 5 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

6.41.Пренебрегая трением, определить частоту ω малых колебаний ртути, налитой в U-образную трубку с внутренним

сечением σ = 0,5 cм 2. Масса ртути m = 136 г.Плотность ртути равна

13600 кг/м3 .

6.42. Найти графически амплитуду А колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления: x1 = 3 cos (ωt + π/3), x2 = 8 sin(ωt + π/6).

6.43. Найти графически амплитуду А колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления:

x1 = 3 cos (ωt), x2 = 5 cos (ωt + π/4),				x3 = 6 sin (ωt).
6.44. Уравнение колебания материальной точки массой m =						10г
	π	t +	π	см.	Найти максимальную	силу,
имеет вид x = 5 sin	6
			4

действующую на точку, и полную энергию E колеблющейся точки.

114

6.45. Материальная точка массой m = 0,05					кг совершает
гармонические	колебания,	уравнение		которых	имеет вид:
x = 0,1 sin(5t) м.	Найти силу F, действующую на точку: 1) в момент,
когда фаза колебания ϕ =		30°,	2)	в положении	наибольшего
отклонения точки.

6.46.Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями

x= 2 cos πt и y = – cos (πt). Определить уравнение траектории точки.

2

6.47.Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного

направления, которые происходят по законам x1 = a cosωt и

x2

=a cos 2ωt. Найти максимальную скорость точки.

6.48.При сложении двух гармонических колебаний одного направления уравнение результирующего колебания точки имеет вид

x= a cos(2,1t) cos(50,0t), где t - время в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений.

6.49. Точка движется в плоскости XY по закону x = A sin(ωt), y = B cos(ωt), где t, A, ω - постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки y(x) б) ускорение a точки в зависимости от ее радиус-вектора r относительно начала координат.

6.50.Найти уравнение траектории y(x) точки, если она движется по закону x = a sin(ωt), y = a sin(2ωt). Изобразить график найденной траектории.

6.51.Найти уравнение траектории y(x) точки, если она движется

по закону x = a sin(ωt), y = a cos(2ωt). Изобразить график найденной траектории.

6.52. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной

пружине на 600 г, то период			колебаний							r
груза возрастает в 2 раза. Определить массу								O
первоначального груза.
6.53. Однородный стержень длины l
совершает	малые	колебания		вокруг		O2
горизонтальной оси, перпендикулярной к
стержню и проходящей через его верхний
						O1
									R
конец. Найти период колебания. Трения
нет.
6.54. Из тонкого однородного диска
радиусом R = 20 см вырезана часть,
имеющая вид круга радиусом r			=	10 см
так, как это показано на			рис.	6.11.	Рис.6.11
Оставшаяся	часть	диска	колеблется
относительно	горизонтальной		оси	О, совпадающей с				одной из
								115

k =800Н м

F = F0cos(ωt).

Определить

образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период Т колебания такого маятника.

6.55.Математический маятник длины l0 = 40 см и тонкий однородный стержень длины l = 60 см совершают синхронно малые колебания вокруг горизонтальной оси. Найти расстояние от центра стержня до этой оси.

6.56.Материальная точка массой m = 0,1 г колеблется согласно уравнению x = 5 sin(20t) см. Определить максимальные значения возвращающей силы F и кинетической энергии Wкин точки.

6.57. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 5 sin(2t) см. В момент, когда возвращающая сила впервые достигла значения F = +5 Н, точка обладала потенциальной энергией П = 100 мкДж. Найти этот момент времени и соответствующую ему фазу колебаний ϕ.

6.58. Определить отношение потенциальной энергии гармонически колеблющейся точки к ее кинетической энергии, если известна фаза колебаний.

6.59. Материальная точка совершает колебания по закону x = x0 sin(2πt + π/6) см. В какой момент времени ее потенциальная энергия равна кинетической?

6.60. Тело массой m движется под действием силы Найти выражение для кинетической энергии тела. максимум кинетической энергии (при t = 0, v = 0 ).

6.61. На горизонтальной пружине жесткостью укреплено тело массой М = 4кг, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности. Другой конец пружины прикреплен к вертикальной стене

			(рис. 6.12.). Пуля, массой	m =10г,
	M	r	летящая с
			горизонтальной	скоростью
		mv0
			v0 = 600м с, попадает	в тело и
			застревает в нем. Пренебрегая массой
Рис.6.12			пружины и сопротивлением воздуха,
			определить:

1)амплитуду колебаний тела; 2) период колебаний тела.

6.62.В в воде плавает льдина с площадью основания S = 1 м2 и высотой H = 0,5 м. Льдину погружают в воду на небольшую глубину x0 = 5 см и отпускают. Определить период ее колебаний. Плотность

льда ρл = 900 кг/м3, плотность воды ρв = 1000 кг/м3. Силой сопротивления воды пренебречь.

6.63. На концах тонкого стержня длиной l = 30 см укреплены одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня.

116

2R

O2

R

O1

Рис.6.14

Определить приведенную длину lпр и период t колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.

6.64.На стержень длиной l = 30 см укрепили два одинаковых грузика - один в середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить

приведенную длину lпр и период t колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.

6.65.Физический маятник представляет собой тонкий

однородный стержень длиной l = 35см. Определить на каком

расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

6.66. Два математических маятника, длины которых отличаются

на l =16см, совершают за одно и то же время один						m
n1 =10	колебаний, другой	n2 = 6 колебаний.
Определить длины маятников l1		и l2 .
			x
						M
6.67. Маятник метронома представляет собой груз
M , качающийся около оси O , с прикрепленной к нему
						O
спицей, по которой может перемещаться малый груз m
			a
(рис. 6.13). Как зависит период		колебаний маятника от				C
координаты	x грузика? Момент инерции груза M равен

I. Груз т считать материальной точкой.

6.68. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, Рис.6.13 вбитый горизонтально в стену, колеблется в

плоскости, параллельной стене. Радиус обруча R = 30 см. Вычислить период колебаний.

6.69.Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период его колебаний?

6.70.На тонкой нити длиной l

подвешен шар радиусом	r = 0,1l.
Какова относительная	погрешность в

определении периода колебания, если маятник считать математическим?

m

m

6.71. Обруч радиуса 2R имеет массу m и

приварен к другому такой же массы и радиуса R1 (рис.6.14). Система стоит на горизонтальном столе. Определить период Т ее малых колебаний.

117

6.72.Шарик радиуса r катается по внутренней поверхности цилиндра радиуса R, совершая малые колебания около положения равновесия . Найти период колебаний.

6.73.Период колебаний крутильного маятника t0 = 4 с. Если на расстоянии а = 0,5 м от оси колебания к нему прикрепить шар массой m = 0,3 кг (радиус шара r<<d ), то период колебаний станет равным T1

=8 с. Определить момент инерции маятника.

6.74.Физический маятник совершает малые колебания вокруг

горизонтальной оси О с частотой ω1 = 15 с-1. Если в положении равновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии l = 20 см от нее небольшое тело массы m = 50 г, то частота колебаний становится

ω2 = 10 с-1. Найти момент инерции первоначального маятника относительно оси О.

6.75. Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой h совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника.

6.76. Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 6.15. Известны радиус блока R, его момент инерции J относительно оси вращения,

R масса тела m и жесткость пружины k. Массы нити

и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.

6.77. Начальная амплитуда колебаний

mматематического маятника A1 = 20 см, амплитуда после 10 полных колебания равна A10 = 1 см. Определить логарифмический декремент δ

затухания и коэффициент затухания β, если период Рис.6.15 колебания Т = 5 с. Записать уравнение колебаний.

6.78. Гиря массой m = 500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k = 20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания λ = 0,004. Сколько колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда A колебаний уменьшилась в два раза? За какое время t произойдет это уменьшение?

6.79. Жесткость пружин рессоры вагона k = 481 кН/м. Масса вагона с грузом m = 64 т. Вагон имеет четыре рессоры. При какой скорости v вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина рельса l = 12,8 м?

118

6.80. Затухающие колебания точки происходят по закону x = a0 e−βt sin(ωt). Найти: а) амплитуду смещения и скорость точки в момент t = 0; б) момент времени, когда точка достигает крайних положений.

6.81. Тело совершает крутильные				колебания по закону
ϕ = ϕ0 e	−βt	cos	ωt. Найти: а) угловую скорость	&	и угловое ускорение
				ϕ

тела ϕ&& в момент t = 0; б) момент времени, когда угловая скорость максимальна.

6.82.Математический маятник совершает затухающие колебания

слогарифмическим декрементом затухания λ = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

6.83.Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с

максимальной амплитудой Amax = 7 см, начальной фазой ϕ0 = 0 и коэффициентом затухания β = 1,6 c-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет

вид x = 5 sin(10πt - 3π/4) см. Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.

6.84.Осциллятор массы m движется по закону x = α sin(ωt) под

действием вынуждающей силы Fτ = F0 cos(ωt). Найти коэффициент затухания β осциллятора.

6.85.Горизонтальный однородный диск

массы m и радиуса R укреплен на конце тонкого стержня АО (рис.6.16) при повороте диска на угол ϕ вокруг оси АО, на него действует момент упругих сил Nz = –kϕ, где k - постоянная. Найти амплитуду малых крутильных колебаний и их энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол ϕ0 из положения равновесия и сообщили ему угловую скорость ϕ&0 .

A

ϕ0

O

Рис.6.16

119

7.Элементы специальной теории относительности (СТО)

7.1.Основные понятия и законы

Для описания движения со скоростями, близкими к скорости света, Эйнштейном была создана релятивистская механика, т.е. механика учитывающая требования специальной теории относительности (СТО).

СТО представляет собой физическую теорию пространства и времени для случая пренебрежимо малых гравитационных полей. В ее основу положены два постулата.

Первый постулат – принцип относительности Эйнштейна: все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Неизменность вида уравнений при замене в них всех координат и времени одной системы отсчета на соответствующие величины другой системы называется инвариантностью. Поэтому первый постулат можно сформулировать иначе: уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Второй постулат – принцип постоянства скорости света:

скорость света в вакууме ( c = 3 108 мс) одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников

иприемников света.

Врелятивистской механике рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси

y

y′

y,

y′

и

z, z′

сонаправлены,

x и

K

K′

x′ совпадают, а

скорость

v0

v0

системы

координат

′

K

′

относительно

x

′

O

x

O

системы

K

x

направлена

вдоль

общей

оси

xx′

z

v0t

x′

Рис.7.1

(рис.7.1).

z′

Преобразования Лоренца – преобразования координат и времени при переходе от системы K к K′

120