8 Теорем Рисса о представлении линейного функционала

Теорема

Пусть Н-гильбертово пространство (комплексное или вещественное) Для любого линейного ограниченного функционала f заданного всюду на Н существует единственный элемент такой что для всех

При этом ||f||=||y||

Доказательство

Рассмотрим L –множество всех элементов таких что

Если L=H то f=0 можно взять y=0 и теорема доказана

Пусть тогда найдется причем можно считать что <z_0,f>=1 Пусть теперь тогда x-<x,f>z_0 так как

Следовательно откуда

отсюда Итак можно принять

Покажем что ||f||=||y|| Действительно

По неравенству Коши-Буняковского Из определения нормы f имеем Но кроме того

Откуда Итак ||f||=||y||

Осталось доказать единственность y. Если то для любых Возьмем и получим ЧТД

9 Сопряженный дифф оператор

Пусть дан оператор L

Дифф оператор L* называется сопряженным к оператору L если он порожден сопряженным дифф выражением l*(y) и сопряженными краевыми условиями V_1=0,V_2=0,…,V_(2n-m)=0

Для нахождения сопряженного дифф уравнения используем

интегрирование по частям

получим

Это формула Лагранжа. Где -билинейная форма

Для нахождения сопряженных краевых условий выразим

Из условий

Если необходимо то дополним эту систему линейно независимыми для остальных y-ов

Подставим эти выражения в билинейную форму

И обозначим коэффициенты перед

Через

Тогда формула Лагранжа перепишется

ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Опр Оператор называется вполне непрерывным (или компактным) если замкнутый единичный шар пространства Х он переводит в компактное множество пространства Y

Не всякий оператор из L(X,Y) является вполне непрерывным. Напимер не является если Х не конечномерно т.к. единичный шар в Х является компактным множеством в Х лишь в случае конечномерности Х.

Свойство

Если вполне непрерывен то любое ограниченное в Х множество он переводит во множество компактное в Y.

Доказательство

Пусть и М ограничено т.е. существует R>0 такое что ||x||<=R для любых Возьмем любую последовательность тогда y_n=Ax_n де х_n Рассмотрим -единичный шар в Х. Вследствие полой непрерывности содержит фундаментальную подпоследовательность.Но тогда и фундаментальная подпоследовательность последовательности {y_n} т.е. AM компактно

10. Метод малого параметра.

Рассм-м систему диф ур-й с нач-ми усл-ми (1)

Пусть f_i и a_i явл-ся аналитич-ми ф-ми по совок-ти переем-х,тогда вектор-решение этой системы разлагается в сходящийся при малом μ ряд: =

=Для поиска фун-й надо разложить правую часть сист(2),приравняв коэф-ты при при одинак-х степенях μ.В рез-те получим сист диф-х ур-й с соотв-ми нач-ми усл-ми,интегрируя кот послед-но найдем ф-ии Пользуясь мтодом малого пар-ра можно находить периодич-ие решения:, (3)

гдеF-известная периодич. ф-я по f.В этом случае константы возник-ие при интегрир-ии сис диф-ых ур-й,находятся из условий нормы,заключ в отсутствии резонирующих слагаемых в пр-й части.Если ф-ия зав-т от t,то период решения x(t,μ) заранее неизвестен.В этом случае замена вида:(4),где τ-новая неиз-ая перем-ая и искать решение x(t,μ).При этом коэф-ты b₁,b₂,…опред-ся из усл-й период-ти решений ур-ия (2)

у₀(τ),….

11.Рез-ое множ-во и спектр линейного оператора.

Пусть Х компл-ое банахово простр-во.Рассм-м опер-р А:ХХ с обл-ю опред-я D(A) плотной в Х.Теперь рассм опер-р A-λI,где λ компл-ое число,I единица в L(Х).

Опр1Точка λ наз-ся регулярной точкой оператора А,если опер-р A-λI непрер-но обратим.Совок-ть регул-х точек опер-ра А наз-ся резольвентным множ-ом опер-ра А и обознач-т ρ(А).Если λρ(А),то лин-й опер-р R_λ= (A-λI)^-1 наз-ся резольвентой опер-ра А.

Т1 Резольвентное мн-во ρ(А) всегда открыто.

Док-во Пусть λ₀ρ(А).Это означает,чтоопер-р А- λ₀I непрер-но обратим.Рассм-м опер-р A-λI и запишем тождество: A-λI= А- λ₀I-(λ- λ₀)I=( А- λ₀I)[I-( λ- λ₀)I((A-λI)^-1]=( А- λ₀I)[I-( λ- λ₀)I R(A)]=( А- λ₀I) [I-( λ- λ₀) R(A)](1)Поскольку опр-р А- λ₀I непрер обратим,то опер-р A-λI будет непрер обратимкогда непрер обратим будет опер-р I-( λ- λ₀) R(A).Воспольз теор-й об обратном операторе.Согласно этой теореме опер-р I-( λ- λ₀) R(A) будет непрер обратим,если |λ- λ₀| ||R(A)||<1если λ₀ρ(А),то круг S_r(λ₀),где тоже лежит в ρ(А).А это означает,что ρ(А) открытое множ-во.

Т2 Пусть А L(Х),тогда {λ:|λ|>||A||} ρ(А).

След-е.Если опер.огр-н,то мн-во неогр.

Опр2.Дополнение кв компл.плоскости наз.спектром опер. и обозн.

Из теор.1,что спектр любого линейного опер-ра Aявл.замкн.мн-ом(как дополн.к открытому мн-ву)

Из теор.2,что спектр огран. лин. опер-ра Aлежит в круге и явл.огр-м мн-ом.

Еслито возм.3 случая:

1)опернеобратим;2)оперобратим,но его обл.знач-ий

3) оперобратим, но опер-р^-1неогр.

Замеч-е Из теор-ы Банаха об обратном опер-ре,что случай3)не возможен,если D(A)=Х и опр-р А огр-н.

Среди точек спектра важную роль играют собств-ые значения опер-ра А.Если λ-собств значен опер-ра А,то имеет место первый случай(операторнеобратим).В этом случаех=0,где х-собст-ый вектор,отвеч λ,но тогда мн-во нулей N≠{0} опер-р ^-1не сущ-ет.

Пример1 Если пр-во Х конечномерно,то спектр любого линейного опер-ра сост только из собст-ых значений.В m-мерном евкл-м или унитарном пр-ве Х всякий самосопр-ый опер-р имеет ровно m собств-ых значений с учетом их кратности.

Пример2 Спектр всякого вполне непрер опер-ра бесконечноммерно в банах-м пр-ве Х сост из не более,чем счетного мн-ва собств-ых значений,единой предельной тоской кот может служить точка λ=0.

№12 Задачу,определ-ую частные решения диф-го уравнения,удовл-го заданным условиям будем называть краевой задачей.

Рассмотрим краевые задачи на отр [0,l] оси Ох для лин-го диф-го ур-ия 2го пор-ка ,где g(x),h(x),f(x)-непрер ф-ии на [0,l].

Введем ф-ю заметим,что Через L[y]=f(x).Выр-ие L[y] наз диф-ым опер-м.Рассм краевую задачу для лин-го диф-го ур-ия 2го пор-ка,которое сведено к изучению краевых задач для ур-ия L[y]=f(x).Краевая задача L[y]=f(x) рассм с лин граничн усл-ми вида: .

Краевые зад,в кот пр ч ур-ие ≠0 наз-ся неоднор краевыми задачами.

Краевые задачи для однор ур-ия с однор гран усл-ми наз однородн краев задачами.

Рассм краевую задачу L[y]=f(x)

.(1)

Ф-ии p(x)>0 и непрер диф-ма на [0,l] ,а действ-ые ф-ии g(x) и f(x)-непрер ф-ии на отр [0,l].

Опр Реш-е краевой задачи (1) наз непрер диф-ой на [0,l] ф-ия у(х) с непрер 2й произ-ой на инт-ле [0,l],удовл на [0,l] ур-ию и гран усл-ям(1).

Предп,что сущ-ет решение задаи (1)при спец-ом способе зад-ия правой части ур-ия,а именно при ф-ии f(x) отличной от 0 лишь в ε-окр-ти некот-й фикс точки х=ξ(0,l):

F(x)= (2)

Причем,ф-ия f_ε≥0 и (3).Решение этой задачи обозн-т у_ε(х,ξ). Интегрир ур-ия(1) с таким обр зад ф-ей по отр [ξ-ε, ξ+ε] получим

1(т.к.интегр=1)(4)

Предп,что предельная ф-ия сущ-ет и непрер на [0,l],тогда совершая пред-й переем при ε ->0 в (4) получим,что производная в точке х=ξ должна иметь разрыв 1го рода,причем разность пр и левого пред-го знач-ия этой произв-ой в точке х=ξ опред выр-м -.Т.о. если ф-ия сущ-ет,то она подчин-ся след-м усл-ям:1)как ф-ия перем-ой х удовл однор ур-ию при 0<x<ξ,ξ<x<l;2) удовл-ет гран-м усл-ям (1);3) непрер на [0,l],а ее первая произв-ая в точке х=ξ имеет разрыв 1го рода с велич-й скачка предельн знач =

ОпрФ-ию,удовл усл (1-3) наз-т функцией Грина первой краевой задачи.

Существенное значение ф-ии Грина закл в том,что что через нее м.б. выражено реш-е первой краевой задачи с произв правой частью f(x).Пусть сущ-ет реш-е зад(1) и ф-ия Грина .Примен форм-лу Грина

= к этим ф-м на отр [0,ξ-ε] и [ξ+ε,l],где ф-ии y(x) и непрер диф-мы и обл-т 2мя непрер произв,получим

+(5)

Т.к. ф-ии у(х) и удовл однородн граничн усл-я (1),то подст-ки х=0 и х=l обращ-т в нуль.Переходя в (5) к пределу всилу опред ф-ии Грина получим ,что и т.д.