- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
§ 2. Таблица производных.
Приведём в таблице производные как простых, так и сложных функций, которые подробнее рассмотрим в следующем параграфе.
|
Простая функция |
Сложная функция |
1. |
, |
, |
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
11. |
|
|
12. |
|
|
13. |
|
|
§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Если функции , дифференцируемы, то
, где |
|
|
|
|
, |
Пример 7.4. Найдите производную функции .
В оспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами дифференцирования.
.
Пример 7.5. Найдите производную функции
.
П реобразуем функцию с помощью следующих правил:
Действия со степенями |
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем:
.
Воспользуемся формулой 1 таблицы производных и правилами дифференцирования.
.
Производная сложной функции.
Если , где , т.е. — сложная функция, то
или в других обозначениях .
Это правило легко распространить на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций.
Пример 7.6. Найдите производную функции .
В оспользуемся формулой 6 таблицы производных сложных функций:
.
Пример 7.7. Найдите производную функции
.
.
Производная обратной функции.
Если для функции существует обратная функция , имеющая производную , то справедлива формула
.
§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
Теорема. Пусть функции и на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и в точке одновременно обращаются в нуль или равны бесконечности. Тогда, если существует предел , то выполняется равенство
(7.1)
Правило применимо и в случае, когда .
Пример 7.8. Найдите предел .
.
П ример 7.9. Найдите предел .
.
Пример 7.10. Найдите предел .
.
П равило Лопиталя применяется и для раскрытия неопределенностей вида: ; ; ; ; .
Пример 7.11. Найдите предел .
.
Неопределенности вида ; ; можно раскрыть, предварительно вычислив предел от логарифма функции.
Пример 7.12. Найдите предел .
. Обозначим . Тогда .