- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
Контрольный тест
В какой системе линейных уравнений применим метод обратной матрицы:
a) если в системе число уравнений равно числу неизвестных; б) к любой системе; в) если определитель матрицы системы равен нулю; г) если в системе число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен нулю.
К какой системе линейных уравнений применимо правило Крамера:
a) если матрица системы не является квадратной; б) если матрица системы является квадратной и её определитель не равен нулю; в) к любой системе; г) если в системе число уравнений равно числу неизвестных.
При каких условиях однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение:
a) если определитель матрицы системы равен нулю; б) если определитель матрицы системы не равен нулю; в) если количество неизвестных больше числа уравнений в системе; г) любая однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение.
Решением системы является:
a) б) в) г)
В матричной форме система линейных уравнений имеет вид:
a) ; б) ;
в) ; г) .
Расширенной матрицей системы линейных уравнений является:
a) ; б) ; в) ;
г) .
Матрицей системы линейных уравнений является матрица:
a) ; б) ; в) ;
г) .
Система линейных уравнений
a) имеет единственное решение; б) не имеет решения; в) имеет нулевое решение; г) имеет бесконечно много решений.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 2.1.. Решите систему методом Крамера. Ответ: .
З адача 2.2. Запишите систему линейных уравнений в виде если , .
Задача 2.3. Решите систему линейных уравнений, заданную расширенной матрицей . Ответ: .
Задача 2.4. Решите систему уравнений
Ответ:
Задача 2.5. Решите систему уравнений матричным методом и методом Гаусса.
Ответ:
Задача 2.6. Для системы уравнений найти общее и два частных решения.
Ответ: — общее решение, , — частные решения.
Модуль 3. Векторная алгебра
§ 1. Векторы. Операции над ними.
Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке и концом в точке обозначается символом (или одной буквой , , …).
М одулем (длиной) вектора называется длина отрезка и обозначается , .
Е диничным называется вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор обозначают .
Нулевым называется вектор, длина которого равна нулю. Нулевой вектор обозначается .
К оллинеарными называются векторы и , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .
Компланарными называются три (и более) вектора, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Р авными называются два коллинеарных вектора и ( ), если они одинаково направлены и имеют равные длины.