С войства определителей.

1 . Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы — соответствующими строками.

2 . Общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.

3 . Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

4 . При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример 1.5.

Вычислите определитель .

.

§ 2. Матрицы

М атрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества:

или

П ервый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Матрица имеет размерность , если у неё строк и столбцов.

Для обозначения матриц употребляются символы: , , , , , , и т.д.

К вадратными порядка называются матрицы, у которых число строк равно числу столбцов, т.е. .

В частности, матрица порядка 1 отождествляется с её элементом, т.е. любое число — частный случай матрицы.

Г лавную диагональ квадратной матрицы составляют её элементы , ,…, .

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю ( при ).

Н апример, — диагональная квадратная матрица размерности 3 с элементами 1, 2, 3 по главной диагонали.

Ступенчатой называется матрица:

, где

.

Н апример, — не ступенчатая,

— ступенчатая.

Е диничной называется диагональная матрица, все элементы которой равны единице; единичная матрица обозначается или , где — порядок матрицы.

, , .

Верхней (нижней) треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) диагонали равны нулю.

— верхняя треугольная матрица;

— нижняя треугольная матрица.

Н апример, — верхняя треугольная матрица, — нижняя треугольная матрица.

Н уль-матрицей (нулевой матрицей) размерности , обозначаемой , называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Равными, называются матрицы и , если они имеют одинаковые размерности, т.е. , и элементы этих матриц, занимающие одну и ту же позицию, равны, т.е. .

Н апример, если , , то .

§ 3. Основные операции над матрицами

Сложение матриц. Суммой двух матриц и одной и той же размерности называется матрица той же размерности такая, что .

И так, можно складывать только матрицы одной и той же размерности. При сложении матриц складываются соответствующие элементы.

Пример 1.6.

Найдите сумму матриц и .

— нуль-матрица размерности .

Из определения суммы следует, что сложение матриц подчинено:

а) коммутативному закону ;

б) ассоциативному закону

;

в) — закон поглощения нуля.

У множение матрицы на число. Произведением матрицы на число (или на матрицу ) называется матрица , где , т.е. при умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.

Пример 1.7.

2 .

С войства операции умножения матрицы на число:

а) (ассоциативность);

б) (дистрибутивность относительно сложения чисел);

в) (дистрибутивность относительно сложения матриц);

г) .

Пример 1.8.

Найдите , где , .

.

Умножение матриц. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица размерности такая, что , , .

У множать матрицы и можно лишь в том случае, когда число столбцов первого сомножителя (число элементов в каждой строке матрицы ) совпадает с числом строк второго сомножителя (число элементов в каждом столбце ). В частности для квадратных матриц одинакового порядка определены оба произведения и , и матрицы произведения являются матрицами того же порядка

Пример 1.9. Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).

.

П роизведение не существует, так как число столбцов матрицы не совпадает с числом строк матрицы .

Пример 1.10. Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).

.

.

И з приведенных выше примеров ясно, что в общем случае .

Коммутирующими называют матрицы и , если для них выполнено условие .

С войства операции умножения матриц:

а) ассоциативность: если определено одно из произведений или , то определено также и второе произведение, и имеет место выше приведённое равенство ;

б) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);

в) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);

г) .