1464

Интегрируя полученное уравнение в пределах от рн до р и от О до £, находим закон изменения среднего давления во времени:

t
* = p" ~ n j Q{t)dt = Р " - % * .	(77- х п )
О

t

где <ЭДоб / Q{t)dt = i?в — суммарный объем газа, извлеченного из зале-

о

жи с начала разработки до момента времени £, равный объему воронки депрессии Г2В.

Подставляя в уравнение (75, XII) вместо контурного давления рк значение среднего давления р из формулы (77, ХП), получим зависи­ мость забойного давления рс от времени t в виде:

	Рс =	QAоб(О	Q	(78, XII)
		п	А ’

Поскольку Q = Q(t) — известная функция t, то тем самым и

QAоб(0 = Jt Q(t)dt

о

является заданной функцией зная которую легко определить по фор­ муле (78, XII) значения рс в различные моменты времени t.

Время Т разработки газовой залежи может быть определено сле­ дующим образом. Принимая, что к концу разработки давление р в га­ зовой залежи равно ркон, находим из уравнения (77, XII) количество газа (Эдоб., т, извлеченное из залежи за время ее разработки:

QAоб., Т — (Рн Ркон)12*

Подставляя в уравнение (ЭДОб = (Эдоб ( 0 вместо (ЭДОб его значе­ ние (Эдоб., Тч находим затем время Т разработки газовой залежи, ибо при QAO6 = QAоб., т t — Т .

3. Неустановившаяся радиальная фильтрация газов в случае эксплуатации скважин при поддержании постоянной скорости

фильтрации газа (Q = срс),

= c°nst

При условии отбора газа (52, ХП) для приведенного к атмосфер­ ному давлению дебита газовой скважины можно написать следующие три уравнения:

Q = - Л ^ ,	(53, ХП)
Q = A (p l - p l),	(54, XII)
Q = срс	(52, ХП)

Приравнивая правые части равенств (54, XII) и (52, XII) и решая полученное квадратное уравнение относительно забойного давления рс> имеем:

(79, ХП)

Подставляя это значение рс в условие (52, ХП), получаем формулу дебита скважины, выраженного через контурное давление рк:

Приравнивая уравнения (80, ХП) и (53, ХП), имеем:

Ф к
dt
Введем обозначение
_	2 А „		2пкЬ	Рк-
У -	—	Р к -	1 Як
			сАФат In -д —
Тогда
Ос dy		й [ -1 + А ^ 7 ]
2A	dt

(80, ХП)

(81, ХП)

Разделяя переменные, имеем:

d y ___ =

= —4 d t .

-

1 + y / l

+

у 2

^

Для интегрирования полученного уравнения применяем подста­

новку

_____

х

- у

=

\Л +

У2 ,

что после освобождения от радикала дает:

х 2 - 1

j

I 2 + 1 j

/7 1 —

9

_

х2 - 1

х2 + 1

У = - 2 £ - ’

d y = ^ T d x '

V l + y 2 = x - ~ 2 —

= ~ 2 Г -

Тогда

[

d y

_ f

х 2

+ 1

dx =

J - l

+

y/1+ у 2

j

z ( x - l ) 2

= I n

-x- - - - -=

l n

( y

+

v / l

+

- -2/2- - -)- - - - - - - - - - - - --—- - , ..

.+ В ,

-

1 + y + v /T + y 2

где В — произвольная постоянная.

Таким образом:

1 п(у +

\Л +

у 2 ) - ------------1

......

=

c t + B .

(82,

XII)

- 1 + У + \ /1 + у 2

и

При t =

0 , р

= р „

У —

с

— Ун ‘

(83, ХП)

Следовательно:

£ = 1п(ун +

v/1 + у2)

------- -

+ Уи + \ДТ у 2

Подставляя это значение В в уравнение (82, XII) и решая последнее

относительно

находим:

-«{i . -

1 + у

+

у / 1

+ У 2

-

1 + Ун +

\/1 + Уи .

t

i

i

+

Ун +

"I" Ун1

(84,

XII)

+ 1п:

у + у / 1 + у¥ Г

Обозначая

„ 2А	(85, ХП)
а = —

и подставляя в уравнение (84, XII) вместо у и уИих значения из урав­ нений (81, XII) и (83, XII), получим искомую зависимость между вре­ менем t и контурным давлением рк.

__________ 1___________
- 1 + арк + \/1 + а2р2		(86, XII)
__________ 1___________ ,
	, аРн + у/1 +	а2р1
+	ш ------------.
- 1 + ар„ + у/1+ a2pl	аРк + \ / 1 +	а 2Рк

При арк > 10 с вполне достаточной точностью можно принять, что

t	П	1	1	+ In	Р н \	(87, XII)
	с	2czp|{ 1	1		Рк J

Задаваясь различными значениями рк, по формулам (86, XII) или (87, XII) находим соответствующие значения t. Располагая эти­ ми данными, легко построить кривую падения контурного давления во времени.

Подставляя значения рк в формулу (79, XII), находим отвечающие им значения забойного давления рсс, что позволяет построить кривую

Pc = P c ( t ) .

Подставляя полученные значения рс в формулу (80, ХП), определяем дебит скважины Q в различные моменты времени £, что позволяет построить кривую Q = Q{t).

Задаваясь некоторым конечным значением контурного давления к концу разработки газовой залежи р = ркон и подставляя его в фор­ мулу (86, XII), можно найти время Т разработки газовой залежи (время извлечения газа), так как при рк = рКон t = Т.

§ 6. Установившееся движение газа, не подчиняющееся линейному закону фильтрации

На основании принципа однородности размерностей весовая ско­ рость фильтрации газов в соответствии с уравнением (36, VII) может

быть представлена в виде:

1~п		Зп—1						(88, XII)
|^v|= Slx 2		к	2 M1- 2n7 nS1" n
Из уравнения состояния (2, XII) имеем:
	dp		Ъ*	dp	7ат		dp2
7	dL		Pax р dL		2р ат		dL ’
что дает
7	VdLy			\ 2 р а т /		^ d Z , j
Подставляя это значение 7"						в уравнение (88, XII), имеем:
			М	= Е				(89,	XII)
где
^ ~~п		Зп—1				/	\ п
£ = 31! 2	fc—		д1- 2^ 1-		"	^	)	(90,	ХП)

Если для получения уравнения весовой скорости фильтрации вме­ сто формулы (40, VII) воспользоваться формулой (44, VII), то вместо формулы (90, XII) получим:

Зп—1	/	\ п	(91, XII)
Е = (0, lm 2,3ReKp)1_nfc 2	^ - г п ^ - п /	\

Исходя из общего выражения для весовой скорости фильтра­ ции (87, XII), рассмотрим установившуюся одноразмерную и радиаль­ ную фильтрацию газов, не подчиняющуюся линейному закону филь­ трации.

1.Одномерная установившаяся фильтрация

Пусть движение газа происходит в горизонтальном направлении, противоположном направлению оси х. Тогда при площади вертикаль­ ного сечения пласта F весовой расход газа G равен:

	п
G = |7t>|F = E F	dp2 = EF	dP
	dx	dx
р	= Р 2
Разделяя переменные Р и х, получим:
d P = { m ) nd*-			(92, XII)

Граничные условия выражаются уравнениями (9, ХП). Интегрируя дифференциальное уравнение (92, XII) в пределах

от РГдо Рк и от 0 до LK, получим:

Р к - Р г

L K = P I - P I

откуда весовой расход газа равен:

G = EF

(93, 'XII)

Чтобы найти распределение давления в пласте, проинтегрируем уравнение (92, XII) в пределах от Рг до Р и от 0 до х. Тогда

Р ш Р ' + { & ) ' * •

что дает формулу распределения давления в пласте в виде:

р= \ р?+(т>Ух.	(94, XII)

Из уравнения (93, XII) имеем:
G _\ n = ( р1 ~ Р г\
EFJ	\ LK )
	1
Подставляя это значение	п в формулу (94, XII), получим:
	х.	(95, ХП)

Сравнение формулы (95, ХП) с формулой (13, ХП) распределе­ ния давления в пласте при установившейся одномерной фильтрации газов показывает полное их совпадение. Это позволяет сделать вывод, что при установившемся одномерном движении газов в пористой среде распределение давления в пласте не зависит от закона фильтрации.

Величина средневзвешенного по объему давления р определяется формулой (17, XII).

В случае турбулентной фильтрации газов п = ^ . Подставляя это

значение п в уравнение (93, XII), получим формулу весового расхода газа в виде:

(96, XII)

2. Радиальная установившаяся фильтрация

По аналогии с уравнением (89, XII), в случае радиальной филь­ трации газа, не подчиняющейся линейному закону фильтрации, модуль весовой скорости фильтрации газа, направленной противоположно на­ правлению оси г, равен:

71

(97, XII)

где величина постоянной Е дается формулами (90, XII) или (91, XII). Весовая скорость фильтрации равна:

G = 2тггЬ\^уу\ = 27гЬЕг

dp2 dr

Отсюда найдем приведенный к атмосферному давлению объемный расход газа:

dp2	-Г	dP	(98,	ХП)
II		dr
dr
где
TTi/_2тгЬЕ			(99,	ХП)
Е ~ 7ат

Разделяя переменные в уравнении (98, ХП), получим:

dP =

(100, ХП)

Граничные условия выражаются уравнениями (29, XII). Интегрируя уравнение (100, ХП) в пределах от Рс до Рк и от Дс

до Дк, заменяя Р на р2 и решая полученное уравнение относительно Q, получим формулу дебита газа в виде:

« - ^ ( Ь г 2)"	Рк - Рс		\	(101, XII)
	1_______ ] _
	1—п	1—п

Распределение давления в пласте найдем, проинтегрировав урав­ нение (100, ХП) в пределах от Рг до Р и от Rc до г.

(102, ХП)

18 Подземная гидравлика

Подставляя в формулу (102, XII) распределения давления в пласте вместо дебита газа Q его значение из формулы (101, XII), получим уравнение распределения давления в пласте:

V = Рс +			(103, XII)
N	1 —п	D	1—п
	Г> n		п
	хъс	Г1к
Рассмотрим установившуюся радиальную турбулентную филь­
трацию. В этом	случае п =		i , и из уравнений (101, XII), (102, ХП)

и (103) XII) получаем следующие формулы дебита газа и распределе­ ния давления в пласте при турбулентной радиальной фильтрации:

	Q = Е'	р1 - Р с		(104,	XII)
	\	Яс	Як
р =	( Я	. ) (	± - i	(105,	XII)
	\E'J \RC			г

Р =

(106' ХП)

\Rc RK

Сравнение формул (104, XII) и (106, XII) с формулами дебита га­ за (31, XII) и распределения давления (37, XII) при установившейся радиальной фильтрации газа по линейному закону фильтрации пока­ зывает, что (в отличие от случая одномерного движения) не только формулы дебита, но и уравнения распределения давления в пласте при радиальной турбулентной фильтрации коренным образом отличаются от соответствующих формул радиальной фильтрации по линейному за­ кону фильтрации.

Характерные особенности радиальной турбулентной фильтрации выявляются при рассмотрении величины среднего взвешенного по объ­ ему пласта давления р. В условиях плоской радиальной фильтрации

пк

Я с

Подставляя в эту	формулу			вместо р его. значение из (106, XII),
получим:
									(107,	XII)
Rc	\		Rc		RK
Введем безразмерные величины
Р __ Рс_		р» _ Г							р — J L
Р к ’			R c '			К ~ R c '			* Рк
и разделим уравнение (107, XII) нарк, тогда
	Як							/ '
	/■		2 ,	1 -		^2			1
	/	£	+	l	-	x	(	1	R*
	■ N					ж
или		я:
{ =	/	' / “ й ' г "				BR‘		ж	(108,	XII)
									'
где
		a = e’		+	- b		i ±
					‘ “		Ж		(109,	XII)
			1 - £ 1
		В =

Обозначим

г= д, - |

ипроизведем замену переменных в интеграле (108, ХП):

JЯк VaR2 - BR dR = JZi V aZ2 - К dZ,

(110, XII)

1

Zi