1464
.pdfгде
К - В 2
Интегрируя (110, XII) по частям, получим:
Z2 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
Z2 |
r |
|
|
|
|
|
dZ |
|
|
/ V aZ 2 - К |
dZ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VaZ2 - |
К |
|
||
Z i |
|
|
|
|
Z i |
Zi |
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 - ^ |
a |
|
|
|
|
и введем переменную |
|
A |
“ |
|
|
|
||
y = Z + V Z - А2, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
dZ |
|
|
У2 |
= _ L , n ( z + ^ |
^ |
) |
||
|
Inу |
|||||||
/ VaZ2 - |
К |
s/a |
У1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln Z2 + |
|
|
|
|
|
|
|
V5 |
П Zi + v % 2 - |
А2 |
|
|
||
Подставляя уравнение (114, XII) в (112, XII), имеем: |
||||||||
RK |
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
J VaR*2 - |
BR* dR* = JV aZ 2 - |
К dZ = |
|
|||||
1 |
|
|
|
Zx |
|
|
|
|
= Ц^аг2- к - Ц ^ а г \ - к -
K +
2N/5 Z I + >/2? - A2 '
(111, XII)
(112, XII)
(113, ХП)
Z2
Z1
(114, ХП)
(115, ХП)
Подставляя формулу (115, ХП) в (108, XII), получим:
* = |
1 |
Z ^ a Z l - K - |
Zx xjaZl - К - |
||
Д 2 - 1 |
|||||
|
|
(116, ХП) |
|||
|
|
к |
h z 2 + ^ |
||
|
|
' |
|||
|
|
\А |
Zi + y/Z( - |
А2 ‘ |
|
Задаваясь различными значениями R* и £, находим из фор мул (109, ХП), (111, XII) и (113, XII) отвечающие им значения а', К , Zi, Z2 и А и по формуле (116, ХП) вычисляем соответствующие значе-
>.Р
шя ^ = ^ .
Т а б л и ц а 13
р
Значения £ = — (отношение среднего давления к контурному)
при установившейся радиальной турбулентной фильтрации газа
гск |
|
|
£ при £, равном |
|
||
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
||
|
||||||
10 |
0,94981 |
0,95059 |
0,95218 |
0,95045 |
0,96001 |
|
100 |
0,99491 |
0,99501 |
0,99512 |
0,99643 |
0,99574 |
|
1000 |
0,99900 |
0,99901 |
0,99904 |
0,99909 |
0,99916 |
|
5000 |
0,99980 |
0,99980 |
0,99980 |
0,999807 |
0,99984 |
|
10000 |
0,999900 |
0,999901 |
0,999904 |
0,99910 |
0,999916 |
|
|
|
|
|
П р о д о л ж е н и е |
||
д; |
|
|
£ при е, равном |
|
||
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
||
|
||||||
10 |
0,96290 |
0,96924 |
0,97696 |
0,98338 |
0,99219 |
|
100 |
0,99626 |
0,99677 |
0,99748 |
0,99819 |
0,99900 |
|
1000 |
0,99925 |
0,99936 |
0,99948 |
0,99964 |
0,99981 |
|
5000 |
0,99984 |
0,99988 |
0,99988 |
0,99992 |
0,99996 |
|
10000 |
0,999926 |
0,999936 |
0,999950 |
0,999964 |
0,999980 |
|
В табл. 13 приведены значения f = £(Д£, £), а на рис. 80 помещены кривые £ = £(s) для разных значений Л*.
Как видно из табл. 13 и кривых, приведенных на рис. 80, различие между средним давлением р и контурным давлением рк совершенно
§
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,997 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,996 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,995 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.99b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
OJ |
0.2 |
0.3 |
O.k |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0,8 |
0.9 6 |
Рис. 80. Зависимость отношения £ среднего давления р к контурному дав
лению рк от величины е = |
при радиальной турбулентной фильтрации |
газа. |
г К |
|
незначительно и гораздо меньше, чем в случае радиальной фильтра ции по линейному закону фильтрации. Это указывает, что при ради альной турбулентной фильтрации газа практически почти вся потеря давления имеет место лишь в непосредственной близости от скважины.
Действительно, если для простоты положить рс = |
и пРене речь |
||
величиной -5- , которая при RK ^ 10 м мала по сравнению с |
то из |
||
Лк |
|
|
|
формулы (106, XI) получим: |
|
|
|
<5= ^ •100 = 100 у 1" |
|
|
|
При |
<5= 70,5%, |
|
|
r = 2Rc |
|
|
|
при |
<5= 94,7%, |
|
|
г = 10ДС |
|
|
|
т. е. при радиусе скважины Rc = 0,1 м на ближайш |
обшего п р . |
||
жины 10 см пути движения к ней газа теряется свыш |
теояртгя |
||
репада давления, а в однометровой призабойной зоне |
, |
|
|
около 95%; между тем при радиальной фильтрации газа |
* 3 |
||
закону фильтрации соответствующие значения о состав |
^ |
||
27,8 и 50,8%. |
|
|
|
§ 7. Движение реальных газов в пористой среде по линейному закону фильтрации
Особенностью реальных углеводородных газов по сравнению с иде альным газом являются их отклонения от характеристического уравне ния идеальных газов. Следует указать также на значительные измене ния вязкости природных газов при падении давления в пласте. Данные об отклонениях реальных газов от идеальных и зависимости вязкости реальных газов от давления приведены в § 3 главы III.
До сих пор при решении задач о фильтрации газов вязкость газов принималась постоянной, а газ совершенным. Ниже излагается пред ложенный Б. Б. Лапуком [90, 91] метод приближенного решения задачи об установившемся и неустановившемся движении реальных газов в по ристой среде по линейному закону фильтрации с учетом изменений их свойств в пластовых условиях.
1. Установившаяся фильтрация реальных газов
Весовая скорость фильтрации газа в направлении х может быть представлена в следующем виде:
7 v = -к(х)ф (р)-£ , |
(117, ХП) |
где 7 — удельный вес газа; v — скорость фильтрации; к(х) — проницае мость пласта, которую в ряде случаев можно рассматривать как функ
цию х. В однородных по проницаемости пластах к = const, р — дав-
/V
ление, ф(р) = р — абсолютная вязкость газа. Удельный вес га
зов 7 = р , Z, R и Т — соответственно коэффициент сжимаемости,
газовая постоянная и абсолютная температура газа.
Рассматривая (согласно § 2 настоящей главы) фильтрацию газа как изотермический процесс, можно принять, что Z = Z(p) и р = р{р). Значения коэффициентов сжимаемости и вязкости газов легко опреде лить при помощи методов, изложенных в § 3 главы III.
Зная скорость фильтрации газа, находим его весовой расход G:
G = Н В Д , |
(118, XII) |
где F(x) — площадь сечения пласта, которая должна быть задана как функция координаты х.
В случае линейного движения F(x) = const.
При радиальной фильтрации F(x) = 2тгЬх, где b — мощность точки пласта, в которой давление равно р, а скорость фильтрации равна v.
Подставляя в формулу (118, XII) значение весовой скорости филь трации из формулы (117, XII), получим:
G = k{x)F(x)<Mp)&. |
|
|
Разделяя переменные и обозначая |
|
|
|
(119, |
ХП) |
имеем |
|
|
G f(x)dx = ф{р)йр. |
(120, |
XII) |
Величина х изменяется в пределах от хс (радиус скважины) до хк (расстояние до контура питания) в условиях радиального движения и от 0 до Ьк при линейном движении, если начало координат взято у стока газа (галлерея). Величина р изменяется от рс (значение дав ления на забое скважины или галлереи) до рк (значение р на контуре питания). Интегрируя уравнение (120, XII) в указанных пределах, по лучим:
откуда
Рк
/ 4>(p)dp
I f(x)d x
Обозначим постоянную
В случае линейного движения в однородном пласте
При радиальной фильтрации в однородном пласте
1п|£
А - к (1216, ХП) 2тгкЬ'
Введем приведенный дебит G*, где
* |
II |
(122, ХП) |
О |
||
|
|
Тогда, подставляя в формулу (122, ХП) полученные выражения для А и G, имеем:
Рк |
|
|
G * = J Ф Ш р■ |
(123, |
XII) |
Рс |
|
|
Весовой расход газа |
|
|
С = 1 С - |
(124, |
ХП) |
Величину G* нетрудно определить по формуле (123, ХП) путем графического интегрирования функции ф(р), значения которой при различных давлениях р определяются по приведенным в § 3 главы Ш экспериментальным данные о коэффициентах сжимаемости Z и вязко сти газов р.
Найдем распределение давления в пласте. Для этого проинтегри руем уравнение (120, XII) по р в пределах от рс до р и по х — от хс до х.
G |
(125, XII) |
Обозначим
ф (р ) = |
(126, ХП) |
Тогда в случае линейного движения в однородном пласте
ф (р) = |
(127, |
ХП) |
При радиальном движении в однородном пласте |
|
|
G |
(128, |
XII) |
ф(р) = 2пЬк |
|
|
Из выражений (127, XII) и (128, XII) получим следующие формулы распределения давления в однородном пласте:
при линейной фильтрации
* = |
(129, |
XII) |
при радиальной фильтрации |
|
|
27ГкЬ . . |
(130, |
XII) |
х — хсе G щр) |
Задаваясь различными значениями давления р, заключенными в пределах между значениями давлений рс (на скважине или в галлерее) и рК (на контуре питания), находим по экспериментальным дан ным значения ф(р) и отвечающие им значения ф = ф(р) и по форму лам (129, XII) или (130, XII) определяем соответствующие значения х.
В общем случае для каждого значения ф значение х определяется подбором так, чтобы выдерживалось равенство (125, XII).
Следует иметь в виду, что формула (118, XII) является точной лишь в тех случаях, когда скорости фильтрации одинаковы во всех точках площади сечения пласта F (x ), как это имеет место в условиях линейной и радиальной фильтрации газов. При неравномерном рас пределении скоростей фильтрации по площади F(x) в качестве при ближения расчет можно вести по среднему по площади F(x) значению скорости фильтрации.
2.Неустановившееся радиальное движение реальных газов
впористой среде
Вусловиях газового режима, при котором запас энергии в пласте не пополняется извне, уравнение истощения залежи может быть напи сано в следующем виде:
Gdt = —12dr/, |
(131, XII) |
где G — весовой расход газа, t — время, i? — объем порового про странства газовой залежи, 7 — средневзвешенное по объему значение удельного веса газа:
7 = j j f 7 dn. |
(132, XII) |
Q
Как было показано в § 4 настоящей главы, в условиях радиаль ной фильтрации газов средневзвешенное по объему пласта давление р
в практических расчетах может быть принято равным контурному дав лению рк, а следовательно, можно также принять, что
7 — 7к* |
(133, XII) |
Подставляя в формулу (131, XII) вместо 7 величину 7К, получим уравнение истощения газовой залежи в виде:
Gdt = - Ш 7к; |
(134, |
ХП) |
отсюда |
|
|
t = Q J7н |
(135, |
ХП) |
7к |
|
|
где 7н и 7к — соответственно значения 7Кпри t = 0 (начальный момент разработки пласта, когда пластовое давление рк равно начальному дав лению рн) и в некоторый момент времени t, когда контурное давление равно рк-
Рассматривая неустановившуюся радиальную фильтрацию газов как непрерывную последовательность стационарных состояний, мож но в формулу (135, XII) подставить вместо весового расхода G его значение из формулы (124, ХП), причем величина А дается форму лой (121, XII). Тогда
Г-Ц II
(136, XII)
7к
Вводя приведенное время
(137, ХП)
Т = J n 1,
имеем
7н
f dry,с
(138, ХП)
J G*
7к
Для нахождения величины т должно быть известно условие отбора газа на скважинах. Такими условиями могут быть следующие:
1) G = const, что дает также G* = const;
2) рс = const — поддержание постоянного давления на скважинах; 3) поддержание постоянной скорости фильтрации газа в призабой
ной зоне пласта.
При условии отбора G = const из формулы (138, XII) имеем:
7н —7к
(139, XII)
G*
При эксплуатации скважин в условиях поддержания постоянно го давления на скважинах порядок вычислений следующий. Зада емся различными значениями контурного давления рк по форму ле (123, XII) определяем значения G*, интегрируем (графически) урав нение (138, ХП) и по полученным данным строим график т = т(7К), по которому находим соответствующие значения т. Далее из форму лы (137, XII) вычисляем отвечающие найденным величинам т значения времени t. Весовой расход газа G определяется по формуле (124, ХП).
При эксплуатации скважин в условиях поддержания постоянной скорости фильтрации в призабойной зоне скважин вычисления ведут ся так. Задаемся различными значениями контурного давления рк и по формуле (123, XII) подбираем значение давления в скважине рс та ким образом, чтобы скорость фильтрации газа в призабойной зоне бы
ла v = -Op постоянна и равна величине, установленной на основании
геолого-технических соображений. Этому значению рс, согласно фор муле (123, ХП), соответствует определенная величина G*. Затем зада емся новым значением рк и т. д. Построив график зависимости величи
ны G от 7К, находим по формуле (138, ХП) (путем графического инте-
грирования) значения т, отвечающие соответствующим величинам рк и из формулы (137, XII) определяем значения времени t. Весовой рас ход газа G определяется по формуле (124, XII).
3. Влияние изменения вязкости и отклонений природных газов от законов идеальных газов на дебит скважин и истощение газовых залежей
Для выяснения влияния на дебит скважин отклонений реальных газов от законов идеальных газов рассмотрим конкретный пример.
Пример 1. Сопоставить дебиты газовой скважины в случае уста новившейся фильтрации метана и природного газа с дебитом сква жины при фильтрации идеального газа с теми же вязкостями. Вяз кость газов принимается постоянной и равной значению их абсолют ной вязкости при атмосферном давлении и пластовой температуре. В качестве расчетных данных принимаем следующие: давление на контуре рк = ЮО ата, абсолютная вязкость при атмосферном давле нии метана р = 0,012 сантипуаз, абсолютная вязкость природного га
за /л= 0,0105 сантипуаз, температура пласта t = 37,7° С. Значения коэффициентов сжимаемости определяются кривыми на рис. 26.
Состав природного газа (в % по объему) следующий: метан — 83,19, этан — 8,48, пропан — 4,37, бутан — 5,44, более тяжелые — 1,52.
Величина дебита реальных газов определяется по формуле
(124, XII). В случае идеальных газов Z — 1, ф(р) = jjpp, где R — газо
вая постоянная, а Т — абсолютная температура. Подставляя это значе ние ф(р) в формулу (123, ХП) и принимая фильтрацию газа изотерми ческой, получим значение приведенного дебита (3*д идеального газа:
С"А 2 Д 7 > а т ^Рк Рс^' |
^14 0 , Х П ) |
Различие в дебитах скважины при фильтрации реального и иде ального газов при постоянной вязкости составит величину А\ (в про центах):
(141, XII)
Т а б л и ц а 14
Влияние изменений вязкости и отклонений углеводородных газов от законов идеальных газов на дебит скважины при установившейся фильтрации
с — |
1 пи |
|
М е т а н |
|
|
Природный газ |
|
|
е - |
Рк 1UU |
|
Л2 |
А |
|
А 2 |
А 2к |
А |
|
90 |
11,80 |
-29,7 |
-15,83 |
23,3 |
-67,2 |
2,0 |
-27,8 |
|
80 |
11,32 |
-28,4 |
-15,03 |
22,0 |
-64,4 |
3,0 |
-27,6 |
|
60 |
10,25 |
-26,0 |
-14,1 |
20,5 |
-58,0 |
6,55 |
-25,8 |
|
50 |
10,08 |
-24,4 |
-12,1 |
19,8 |
-55,5 |
8,2 |
-25,1 |
|
10 |
9,25 |
-20,2 |
-10,7 |
17,7 |
-46,7 |
13,5 |
-23,1 |
|
1,5 |
8,65 |
-19,9 |
-10,65 |
17,65 |
-46,0 |
13,8 |
-23,1 |
1,0 |
8,6 |
-19,9 |
-10,6 |
17,6 |
-46,0 |
13,8 |
-23,0 |
|
В табл. 14, составленной нами по данным вычислений И. Н. Самушенок, приведены определенные по формуле (141, XII) путем графи ческого интегрирования значения А\ для метана и природного газа