Математические модели динамических систем в форме уравнений для переменных состояния

Кафедра РТС

Тисленко В.И.

Математические модели динамических

систем в форме уравнений для

переменных состояния

Учебно-методическое пособие к практическим работам по теме «Математические модели динамических систем» по курсу «Радиосистемы управления» (спец. 210304)

Томск - 2011

1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВХОДНОГО СИГНАЛА В ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ МОЖЕТ ПРЕДСТАВЛЕНА В НЕСКОЛЬКИХ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОРМАХ. В ЧАСТНОСТИ:

1.В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ – ИНТЕГРАЛ СВЕРТКИ, КОТОРЫЙ ОПРЕДЕЛЯЕТ ВЫХОДНУЮ РЕАКЦИЮ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА СВЕРТКИ ВХОДНОГО СИГНАЛА (ОВ) С ИМПУЛЬСНОЙ РЕАКЦИЕЙ СИСТЕМЫ (В СЛУЧАЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ С МАТРИЦЕЙ ИМПУЛЬСНЫХ РЕАКЦИЙ) .

2.В ВИДЕ НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА ДЛЯ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА СИСТЕМЫ ПРИ ЗАДАННОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ.

3.В ВИДЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ, СВЯЗЫВАЮЩЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО

ЛАПЛАСУ ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО СИГНАЛОВ СИСТЕМЫ.

4. В ВИДЕ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ, СВЯЗЫВАЮЩЕЙ КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО СИГНАЛОВ

В современной теории автоматического управления

используются векторно-матричные

модели динамических систем в форме систем дифференциальных уравнений первого порядка для

переменных состояния

ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ НИЖЕ МАТЕРИАЛ ИСПОЛЬЗУЕТ ИНФОРМАЦИОННЫЙ ИСТОЧНИК, ПРИВЕДЕННЫЙ	2
В СЕТИ ИНТЕРНЕТ

Понятие пространства состояний

Для получения векторно-матричной модели исследуемая динамическая система представляется

в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и

выходных каналов.

Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы

в виде "черного ящика"

3

Входные переменные r - число входов

Выходные переменные m - число выходов

Переменные состояния n - число переменных

состояния

Состояние системы –

это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно.

4

Уравнения состояния и выхода

dxi

= f ( x ,x

2

,..,x

n

,u ,u

2

,..,u

r

,t ), i =1,2,...,n

dt

i

1

1

y j = ϕj ( x1,x2 ,..,xn ),

j =1,2,..,m.

Стационарная

система

x = Ax + Bu,

y= Cx + Du.

А- матрица состояния системы, размером n x n,

В - матрица управления (входа), n x r,

С - матрица выхода по состоянию, m x n, D - матрица выхода по управлению, m x r.

Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от

входа.

5

Структурная схема системы в векторной форме:

S - блок интеграторов; A,B,C,D - блоки матричных

усилителей

6

Переход от уравнений состояния к уравнениям «вход-выход»

Уравнения состояния: x = Ax +Bu

y =Cx

Преобразуем:

( pE − A)x = Bu

x=( pE − A)−1Bu

y=C( pE − A)−1Bu

Тогда передаточная функция: W ( p) =C( pE − A)−1B

Этот переход однозначен.

7

Другой способ получения передаточной функции – структурные

преобразования

Пример. Пусть

A =		0 −1		B =		0		C =		1 0
		−2 −3				1

Структурная схема системы имеет вид:

u	+ +	1	x2	1	x1=y
		p		p

3

-2

	Сворачивая схему, получим W (p) =	y	=	1
		u		p2 + 3p + 2

8

Переход от передаточной функции к уравнениям

состояния для систем с одним входом и одним выходом

pn y(t ) +a1pn−1y(t ) +... +an y(t ) = bu(t ), pn y(t ) = −a1pn−1y(t ) −... −an y(t ) +bu(t ).

y = x1
x1 = x2
x2		= x3
.........
xn−1 = xn
x	n	= −a x −a	x	2	−... −a x	n	+b u
		n 1 n−1			1		m	9

Векторно-матричная модель САУ

x					0	1	0		...	0				x
	1														1			0
x2					0	0	1		...	0				x2
																		0
...			=		..	..	..		.. ..					...			+		u
xn−1					0	0	0		..	1				xn−1				...
																		b
x					−a −a		−a		.. −a					x
	n							−2							n
					n	n−1	n			1

y = x1

Управляемая каноническая форма матрица состояния имеет

форму Фробениуса (нормальную форму). Характеристическое уравнение располагается в последней строке.

10