Математические модели в экономике.-2

Министерство высшего образования и науки РФ

Томский государственный университет систем управления

и радиоэлектроники

Кафедра экономической математики, информатики и статистики

«Математические модели в экономике»

В.И.Смагин

Учебно-методическое пособие к лабораторным работам для студентов направления 38.03.01

«Экономика». Профиль: «Фнансы и кредит»

Томск - 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Аннотация……………………………………………………………………………...3

Перечень закрепленных за дисциплиной компетенций……………………..4

1.Модели экономического равновесия……………………………………………5

2.Производственные функции.…………………………………………………...12

3.Теория ценообразования…………………………………………………..........22

4.Межотраслевой баланс. Модель Леонтьева…………………………….……29

5.Взаимодействие двух фирм на рынке одного товара…………………….…34

6.Динамические модели фирмы…………………………………………………39

Литература……………………………………………………………………........46

2

Аннотация

Учебно-методического пособия к лабораторным работам для студентов направления 38.03.01

«Экономика». Профиль: «Финансы и кредит»

В методических указаниях для дисциплины «Математические модели в

экономике» рассматриваются разделы: модели экономического равновесия,

производственные функции, модели ценообразования, модели межотраслевого

баланса, динамические модели фирмы.

Предлагаемые задания к лабораторным работам выполняются студентами

в компьютерном классе с использованием пакета прикладных программ

MathCad

3

Перечень закрепленных за дисциплиной компетенций

ПК-3 способностью выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами;

ПК-5 способностью анализировать и интерпретировать финансовую, бухгалтерскую и иную информацию, содержащуюся в отчетности предприятий различных форм собственности, организаций, ведомств и т.д., и использовать полученные сведения для принятия управленческих решений.

В результате изучения дисциплины студенты должны

знать:

-теоретические основы экономико-математических систем, используемых в рыночной микро- и макроэкономике, на примере моделей производства, моделей фирмы, управления запасами и моделей межотраслевого баланса;

-закономерности и свойства сложных систем;

-многообразие экономико-математических систем и моделей;

-особенности современных моделей производства, моделей фирмы.

уметь:

-использовать изученные методы для решения конкретных задач построения математических моделей экономики;

-проводить анализ экономических показателей производства;

-выявлять экономико-математические особенности различных систем.

владеть навыками:

-самостоятельного проведения математического исследования экономических систем;

-самостоятельного построения математических моделей в экономике;

-самостоятельной работы со специальной и справочной литературой;

-навыками поиска экономико-математической информации.

4

1. Модели экономического равновесия

Потребитель, идя на рынок (магазин, мастерскую и т.д.), приобретает там некоторые товары (услуги тоже можно считать товаром). Пусть на рынке имеется в наличии всего n видов товаров товар №1, товар №2, ... , товар № n . Пусть по-

требителю предлагается набор товаров, в котором первый товар будет в количестве x1 , второй в количестве x2 , ..., n -ый товар будет в количестве xn . Тогда этот набор можно представить в виде вектора-столбца

		(x , x	, x , , x		)T .
	x			n
		1 2	3
Очевидно, что i						0 ).
	xi 0 (в дальнейшем это будет обозначаться так: x

Конечно, многие товары можно приобрести только целиком нельзя купить

1,3 автомобиля. Однако, для нижеследующей теории будем считать, что все това-

ры безгранично делимы, то есть xi могут принимать любые неотрицательные значения. Это позволит в дальнейшем использовать аппарат дифференциального исчисления.

Пусть потребителю предлагается два набора товаров		и		. В качестве акси-
	x		y

омы предполагается, что потребитель, сравнивая эти наборы, всегда может сказать одно из следующих утверждений:

1.	Набор		не хуже набора			(это обозначается так:
		x			y					x	y );
2.	Набор		лучше (предпочтительнее ) набора
		x						y	( x y );
3.	Наборы
			x	и y для потребителя эквивалентны ( x ~ y );
4.	Набор
		y	лучше набора x		( y x );
5.	Набор
		y	не хуже набора x			( y	x ).

В качестве аксиом принимаются следующие свойства этого отношения:

;

1.x x

2. x	y	y	z	x	z .
Определение. Отношение предпочтения называется непрерывным на некото-
ром множестве X , если множество {(x, y): x							X , y	X , x	y} является открытым

подмножеством декартова произведения X X .

5

Содержательно это определение означает следующее: если для некоторого

набора товаров x0 и				y0 верно x0		y0 , то при малом изменении каждого из этих
наборов отношение
				сохраняется, то есть если x			и y	близки к x0 и	y0 соответ-
ственно, то x			y .
Определение. Функция
					u(x ) называется функцией полезности для отноше-
ния , если.
1.
	x	y	u(x) u(y) ;
2.
	x	y	u(x) u( y) ;
3.
	x ~ y		u(x) u( y) .

Основной теоремой является так называемая теорема Дебре.

Теорема 1.1. (Дебре) Если множество X связно, а отношение предпочтения удовлетворяет свойствам

;

1.x x

2.
	x	y y z			x z .
3.	отношение непрерывно на X ,
то для этого отношения существует функция полезности
								u(x ) .
Теорема 1.2.
1.	Пусть		f (t )						есть
					есть строго монотонно возрастающая функция и u(x)
функция полезности. Тогда v(x)							f (u(x)) есть также функция полезности.
2. Если				и		есть две функции полезности для одного и того же от-
			u(x)		v(x)
ношения		предпочтения,				то существует такая строго монотонно возрастающая
функция f (t ) , что v(x) f (u(x)) .
Мы будем предполагать в дальнейшем, что функция
								u(x ) является дважды

дифференцируемой функцией. В экономике на функцию полезности накладывают некоторые дополнительные требования, характерные именно для экономики. Рас-

смотрим их.

		u
	1. i, xi		0.
		xi

Это условие означает, что чем больше каждого товара, тем лучше.

6

2.	lim		u		.
			xi
	xi 0
	i					u	0.
3.			1,n		lim
					xi xi

Это требование носит название закона убывающей полезности.

4. Пусть			. Тогда	0 1 естественно требовать, чтобы
	y	x
								(1.1)
				y	(1 )x	x .
Это приводит к следующему ограничению на u(x ) :
								(1.2)
			u( y	(1 )x) min(u(x), u( y)).

Функция, удовлетворяющая этому требованию, называется квазивогнутой.

В дальнейшем мы, для упрощения теории, будем требовать, чтобы была u(x )

вогнутой, то есть

0 1	u( y (1 )x) u(y) (1 )u(x) ,								(1.3)
или даже строго вогнутой, то есть
0 1									(1.4)
	u( y (1				)x) u( y) (1			)u(x) .
Заметим, что всякая вогнутая функция одновременно и квазивогнута. Обрат-
ное, вообще говоря, неверно.
Рассмотрим матрицу U (x)		uij		с элементами
				uij	2 u	.			(1.5)
					xi x j

В экономике эта матрица называется матрицей Гессе. Для строго вогнутой функ-

ции эта матрица отрицательно определена. Отсюда, в частности, следует, что

			2u
	i 1,n			0 .	(1.6)
			x2
			i

Приведем примеры функций полезности.

1. Функция Стоуна

	n		a
u(x) (xi		xi ) i ,		xi	xi 0,	ai 0 .

i 1

Это выражение часто логарифмируют и берут в виде

7

	n
u(x) ai ln(xi xi ) .

i1

2.Функция постоянной эластичности

n

ai

u( x)

( xi xi )1 bi ,

i 1

1 b

i

xi xi 0, ai 0, 0 bi 1.

3. u(x , x ) xa xb a (x b a) b ,

b a .

1

2

1

2

1

Введём теперь цены на товары. Пусть ci

есть цена единицы I- го товара, так

что

c (c

1

, c ,

, c )T

2

n

есть вектор-столбец цен.

Пусть покупатель идет на рынок имея капитал K . Приобретая набор товаров

(x1 , x2 , , xn )

T

он, естественно, желает за свои деньги иметь максимум полез-

x

ности для себя. Поэтому поведение разумного потребителя выглядит как решение задачи

u( x1, x2 ,			, xn ) max ,
				x
	n
ci xi K,					(1.7)
i 1
x
		0, i 1, n.
	i

Это типичная задача нелинейного программирования. Заметим, что область до-

						выпукла и замкнута.
пустимых значений x
	Теорема 1.3.
	1.	Для вогнутой функции, определённой на выпуклом замкнутом множестве,
любой локальный максимум является глобальным.
	2.	Для строго вогнутой функции глобальный максимум достигается в един-
ственной точке.
	Выведем уравнение для точки максимума
								u(x ) , обозначая ее через
					T	. Для этого составим функцию Лагранжа
x	(x1	, x2	, x3	, , xn )
							n
						L(x, ) u(x)	ci xi K ,		(1.8)
						i 1

8

и запишем необходимые условия экстремума

	L	0,	i		,	L	0.	(1.9)
				1,n
	x
	i

Получаем, что в точке максимума имеют место соотношения

		u( x )	ci
					0,	i 1, n,
		xi
						(1.10)
		n
				K	0,
		ci xi
		i 1

где через обозначено значение множителя Лагранжа, соответствующее точке

максимума . x

Заметим, что в точке максимума выполняется соотношение

								n
							ci xi K ,														(1.11)
							i 1
то есть потребитель тратит на рынке весь свой капитал. Так как
									1			u(x )
														,							(1.12)
										c		x
										i			i
то при оптимальном выборе потребителя имеют место соотношения
1			u(x )		1				u(x )						1		u( x		)	.	(1.13)
	c		x			c				x		2			c		x	n
1			1				2								n

Величину u xi называют предельной полезностью i-го товара. Таким обра-

зом, в точке оптимального выбора предельные полезности пропорциональны це-

нам на товар.

Из этого же соотношения следует, что 0 , так как цены отрицательными быть не могут.

Понятие компенсирующего дохода или просто компенсации проще всего по-

нять из рассмотрения примера.

Пример. Пусть имеется всего лишь два вида товаров товар номер 1 и товар номер 2 с ценами за единицу товара c1 и c2 соответственно. Пусть количества приобретаемых товаров равны x1 и x2 и функция полезности имеет вид

u(x1 , x2 ) x1 x2 . Тогда, имея капитал K , покупатель должен решить следующую задачу:

9

x1 x2 max ,
				K,
c1x1 c2 x2					(1.14)
	x	0, x	2	0.
	1

Составляем функцию Лагранжа

L(x1, x2 ,) x1 x2 (c1x1 c2 x2 K) .

Запишем необходимые условия экстремума

L

x1

L

x2

L

0,

0,

0,

x2 c1 0,

x1 c2 0,

(1.15)

c1x1 c2 x2 K 0,

относительно переменных x1 , x2			и . Решение этой системы имеет вид
				x	K	; x	K	.					(1.16)
				1	2c1	2	2c2
При этом
		max u(x , x ) u(x , x )								K 2	.		(1.17)
				1	2	1	2			4c1c2
Если, например, K =120,	c	=10, c	2	=20, то		x =6, x			=3. При этом u(x , x ) =18.
	1					1	2					1	2

Постановка задачи. Пусть теперь покупателю предлагают увеличить цену за

первый товар с 10 до 15 за единицу товара, но при этом обещают компенсировать увеличение его расходов, возникшее за счёт этого увеличения цены. Определим размер компенсации. Величина компенсации получается из того условия, что по-

сле изменения цен и получения компенсации максимальное значение функции полезности должно остаться неизменным.

									. Тогда до компенсации
Пусть компенсация равна K и новые цены есть c1								, c2
max u(x , x )				K 2		,			(1.18)
	1	2		4c1c2
а после компенсации
max u( x , x )			(K K )2				.		(1.19)
				4c c
1	2
			1		2

Должно выполняться равенство

10