Математические модели в экономике.-5

Министерство высшего образования и науки РФ

Томский государственный университет систем управления

и радиоэлектроники

Кафедра экономической математики, информатики и статистики

«Математические модели в экономике»

В.И.Смагин

Учебно-методическое пособие к лабораторным и практическим работам для бакалавров ЭФ ТУСУР.

Предлагаемые задания к практическим и лабораторным работам выполняются студентами в компьютерном классе с использованием пакета прикладных про-

грамм Scilab и Excel.

Томск - 2018

Аннотация

В учебно-методическом пособии для дисциплины «Математические модели в экономике» рассматриваются разделы: модели экономическо-

го равновесия, производственные функции, модели ценообразования,

модели межотраслевого баланса, динамические модели фирмы, модели сетевого планирования.

Предлагаемые задания к практическим и лабораторным работам выполняются студентами в компьютерном классе с использованием па-

кета прикладных программ Scilab и Excel.

2

СОДЕРЖАНИЕ

1.Модели экономического равновесия………………………..4

2.Производственные функции.………………………………….12

3.Теория ценообразования…………………………….……....24

4.Межотраслевой баланс. Модель Леонтьева……………..….32

5.Взаимодействие двух фирм на рынке одного товара……...38

6.Динамические модели фирмы…………………………….….44

Литература……………………………………………………......52

3

1. Модели экономического равновесия

Потребитель, идя на рынок (магазин, мастерскую и т.д.), приобретает там некоторые товары (услуги тоже можно считать товаром). Пусть на рынке имеется в наличии всего n видов товаров товар №1, товар №2, ... , товар № n . Пусть потребителю предлагается набор товаров, в котором первый товар будет в количестве x1 , второй в количестве x2 , ..., n -ый

товар будет в количестве xn . Тогда этот набор можно представить в виде вектора-столбца

			(x , x	, x , , x		)T .
		x			n
			1 2	3
	Очевидно, что i	xi 0 (в дальнейшем это будет обозначаться так:
	0 ).
x

Конечно, многие товары можно приобрести только целиком нельзя

купить 1,3 автомобиля. Однако, для нижеследующей теории будем счи-

тать, что все товары безгранично делимы, то есть xi могут принимать любые неотрицательные значения. Это позволит в дальнейшем использовать аппарат дифференциального исчисления.

Пусть потребителю предлагается два набора товаров		и		. В каче-
	x		y

стве аксиомы предполагается, что потребитель, сравнивая эти наборы, всегда может сказать одно из следующих утверждений:

1.	Набор		не хуже набора			(это обозначается так:
		x			y					x	y );
2.	Набор		лучше (предпочтительнее ) набора
		x						y	( x y );
3.	Наборы
			x	и y для потребителя эквивалентны ( x ~ y );
4.	Набор
		y	лучше набора x		( y x );
5.	Набор
		y	не хуже набора x			( y	x ).

В качестве аксиом принимаются следующие свойства этого отноше-

ния:

;

1.x x

4

2. x	y	y	z x		z .
Определение. Отношение предпочтения называется непрерывным на
некотором множестве
				X , если множество {(x, y): x			X , y	X , x	y} яв-

ляется открытым подмножеством декартова произведения X X .

Содержательно это определение означает следующее: если для неко-

торого набора товаров								, то при малом изменении
				x0 и	y0 верно	x0	y0
каждого из этих наборов отношение						сохраняется, то есть если
									x	и y
близки к
		x0 и y0 соответственно, то				x y .
Определение. Функция
					u(x ) называется функцией полезности для
отношения , если.
1.
	x	y	u(x) u(y) ;
2.
	x	y	u(x) u( y) ;
3.
	x ~ y		u(x) u( y) .

Основной теоремой является так называемая теорема Дебре.

Теорема 1.1. (Дебре) Если множество X связно, а отношение предпо-

чтения удовлетворяет свойствам

;

1.x x

2. x		y	y z		x z .
3.	отношение непрерывно на X ,
то для этого отношения существует функция полезности u(x ) .
Теорема 1.2.
1.	Пусть f (t )				есть строго монотонно возрастающая функция и
									u(x)
								есть также функция полез-
есть функция полезности. Тогда v(x) f (u(x))
ности.
2.	Если			и		есть две функции полезности для одного и того
			u(x)		v(x)

же отношения предпочтения, то существует такая строго монотонно воз-

растающая функция
	f (t ) , что v(x) f (u(x)) .

5

Мы будем предполагать в дальнейшем, что функция
	u(x ) является

дважды дифференцируемой функцией. В экономике на функцию полезно-

сти накладывают некоторые дополнительные требования, характерные именно для экономики. Рассмотрим их.

		u
	1. i, xi		0.
		xi

Это условие означает, что чем больше каждого товара, тем лучше.

2.	lim		u		.
			xi
	xi 0
	i					u	0.
3.			1,n		lim
					xi xi

Это требование носит название закона убывающей полезности.

4. Пусть					0	1 естественно требовать, чтобы
	y	x . Тогда
									(1.1)
			y (1		)x		x .
Это приводит к следующему ограничению на u(x ) :
			(1						(1.2)
		u( y		)x)		min(u(x), u( y)).

Функция, удовлетворяющая этому требованию, называется квазивогнутой.

В дальнейшем мы, для упрощения теории, будем требовать, чтобы

u(x ) была вогнутой, то есть
								,	(1.3)
0 1 u( y (1		)x) u(y) (1					)u(x)
или даже строго вогнутой, то есть
									(1.4)
0 1 u( y (1 )x) u( y) (1						)u(x) .
Заметим, что всякая вогнутая функция одновременно и квазивогнута.
Обратное, вообще говоря, неверно.
Рассмотрим матрицу U (x)		uij		с элементами
uij		2 u			.				(1.5)
	xi x j

6

В экономике эта матрица называется матрицей Гессе. Для строго вогнутой функции эта матрица отрицательно определена. Отсюда, в частности, сле-

дует, что

			2u
	i 1,n			0 .	(1.6)
			x2
			i

Приведем примеры функций полезности.

1. Функция Стоуна

	n		a
u(x) (xi		xi ) i ,		xi	xi 0,	ai 0 .

i 1

Это выражение часто логарифмируют и берут в виде

	n
u(x) ai ln(xi xi ) .

i1

2.Функция постоянной эластичности

n

ai

u( x)

( xi xi )1 bi ,

i 1

1 b

i

xi xi 0, ai

0, 0 bi 1.

3. u(x , x ) xa xb a (x b a) b ,

b a .

1

2

1

2

1

Введём теперь цены на товары. Пусть ci

есть цена единицы I- го то-

вара, так что

c (c

1

, c ,

, c )T

2

n

есть вектор-столбец цен.

Пусть покупатель идет на рынок имея капитал K . Приобретая набор

, , xn )

T

он, естественно,

желает за свои деньги иметь

товаров x (x1 , x2

максимум полезности для себя. Поэтому поведение разумного потребителя выглядит как решение задачи

7

u( x1, x2 ,			, xn ) max ,
				x
	n
ci xi K,					(1.7)
i 1
x
		0, i 1, n.
	i

Это типичная задача нелинейного программирования. Заметим, что об-

ласть допустимых значений выпукла и замкнута. x

Теорема 1.3.

1.Для вогнутой функции, определённой на выпуклом замкнутом множестве, любой локальный максимум является глобальным.

2.Для строго вогнутой функции глобальный максимум достигается в единственной точке.

x

Выведем уравнение для точки максимума u(x ) , обозначая ее через
				T	. Для этого составим функцию Лагранжа
(x1	, x2	, x3	, , xn )

	n
L(x, ) u(x)	ci xi	K	,
i 1

и запишем необходимые условия экстремума

	L	0, i		,	L	0.
			1,n
	x
	i

Получаем, что в точке максимума имеют место соотношения

(1.8)

(1.9)

		u( x )	ci
					0,	i 1, n,
		xi
						(1.10)
		n
				K	0,
		ci xi
		i 1

где через обозначено значение множителя Лагранжа, соответствующее
	.
точке максимума x
Заметим, что в точке максимума выполняется соотношение
	n
	ci xi K ,	(1.11)

i 1

то есть потребитель тратит на рынке весь свой капитал. Так как

8

										1			u(x )
															,							(1.12)
											c		x
											i			i
то при оптимальном выборе потребителя имеют место соотношения
1			u(x	)		1				u(x )						1		u( x		)	.	(1.13)
	c		x				c				x		2			c		x	n
1			1					2								n
Величину u xi			называют предельной полезностью i-го товара. Та-

ким образом, в точке оптимального выбора предельные полезности про-

порциональны ценам на товар.

Из этого же соотношения следует, что 0 , так как цены отрица-

тельными быть не могут.

Понятие компенсирующего дохода или просто компенсации проще всего понять из рассмотрения примера.

Пример. Пусть имеется всего лишь два вида товаров товар номер 1

и товар номер 2 с ценами за единицу товара c1 и c2 соответственно. Пусть

количества приобретаемых товаров равны x1 и x2 и функция полезности имеет вид u(x1 , x2 ) x1 x2 . Тогда, имея капитал K , покупатель должен решить следующую задачу:

x1 x2 max ,
				K,
c1x1 c2 x2					(1.14)
	x	0, x	2	0.
	1

Составляем функцию Лагранжа

L(x1, x2 ,) x1 x2 (c1x1 c2 x2 K) .

Запишем необходимые условия экстремума

L

x1

Lx2

L

0,

0,

0,

x2 c1 0,

x1 c2 0,

(1.15)

c1x1 c2 x2 K 0,

9

относительно переменных x1 , x2 и . Решение этой системы имеет вид

	x		K	; x		K	.				(1.16)
	1		2c1		2	2c2
При этом
	max u(x , x ) u(x , x )								K 2	.	(1.17)
	1		2		1	2			4c1c2
Если, например, K =120, c =10, c					=20, то x			=6,		x =3. При этом
	1		2			1				2
u(x , x ) =18.
1	2

Постановка задачи. Пусть теперь покупателю предлагают увеличить

цену за первый товар с 10 до 15 за единицу товара, но при этом обещают компенсировать увеличение его расходов, возникшее за счёт этого увели-

чения цены. Определим размер компенсации. Величина компенсации по-

лучается из того условия, что после изменения цен и получения компенса-

ции максимальное значение функции
полезности должно остаться неизменным.
Пусть компенсация равна K	и новые цены есть c , c				. Тогда до ком-
			1	2
пенсации
max u(x , x )		K 2	,		(1.18)
1	2	4c1c2

а после компенсации

max u( x1, x2 ) (K K )2 . 4c c

1 2

Должно выполняться равенство

	K 2			(K K )2
											,
	4c c				4c c
1		2			1			2
откуда легко получить, что
							c c
K			K				1 2			1 .
							c1c2

(1.19)

(1.20)

(1.21)

10