которых желательно иметь малое значение е и d. Например, при использовании системы RSA при защите электронных платежей с применением кредитных карточек естественным является требование использования небольших значений экспоненты d у владельца карточки и большого значения экспоненты e у центрального компьютера.

Однако выбор малых параметров е или d представляется небезопасным по ряду соображений. Если малым является секретный параметр d, то можно применить метод перебора малых значений до получения искомого числа d. А если малым является параметр е, то достаточно большое число открытых сообщений, удовлетворяющих неравенству

x	e N ,	будут зашифровываться простым возведением в степень	y x e ( m o d N )	и

поэтому их можно найти путем извлечения корня степени е.

Другая аналогичная ситуация может сложиться, когда у нескольких абонентов используется одинаковая экспонента е. Тогда становится возможна атака на основе китайской теоремы об остатках (см. ниже).

Ход работы

1.Вычисляем n = [sqrt(N)] + 1. В поле A помещаем N, в поле B – 2; нажимаем кнопку «D

=A^(1/B)». В поле D заносится число 8112686, в первую строку таблицы – сообщение «[error]». Это свидетельствует, о том, что N не является квадратом целого числа.

2.t1 = n + 1. Возводим число t1 в квадрат: A: = 8112687, B: = 2, C: = 0 (возведение в квадрат будет производиться не по правилам модульной арифметики), нажимаем «D = A^B

mod		C»	=>	D	=	t1^2	=	65815690359969.	Вычисляем
w1	=	t1^2 – N. Для		этого A:= t1^2, B:= –N,				затем нажимаем «D =	A + B» => D =
=	w1	= 18491912.		Проверяем,		является	ли	w1 квадратом целого	числа: A:= w1,

B:= 2, нажимаем «D = A^(1/B)» => в первой строке таблицы появляется сообщение «[error]», следовательно проделываем п. 2 заново с t2 = n + 2 и так далее, пока не найдем, что некое wi является квадратом целого числа.

3. При вычислении квадратного корня w5 первая строка таблицы остается пустой, а D =

sqrt(w5)	=	9132,	что	свидетельствует	об	успехе	факторизации.
t5 = 8112691.

4. Вычисляем p = t5 + sqrt(w5); A:= t5, B:= sqrt(w5), нажимаем «D = A + B» => D = p = 8121823; q = t5 – sqrt(w5) = 8103559. Вычисляем

424

Phi(N) =	(p – 1)(q – 1), A:=	8121822, B:=	8103558, нажимаем	«D = A·B» => D =
= Phi(N),ключи).В)	= 65815655642676.	Вычисляем	d, как обратный к	e: A:= e, B:= –1,
C:= Phi(N), нажимаем «D = A^B mod C» => D = d = 12490789985101.

5. Производим дешифрацию шифрблока С: A:= C; B:= d; C:= N. Нажимаем «D = A^B mod C». В поле D находится исходное сообщение M = 3402418120. Переводим M в текстовый вид. Для этого A:= M, нажимаем «D = text(A)» => D = = «КМЗИ».

Вариант №20

Ответ: «зования протокола ТСР: фрагментация на уровне IP»

Вариант №23.

425

Ответ: «оптимальным МТU на уровне DLC маленький

Как видно из приведенных выше примеров (а также из примеров выполнения заданий лабораторных работ) выбор параметров криптосистемы является ответственной задачей. Параметры необходимо выбирать в строгом соответствии с требованиями. Существующими в настоящими время методами (и при использовании существующих в настоящее время вычислительных мощностей) атака на алгоритм и/или криптосистему возможна лишь при неудачном выборе параметров. В процессе выполнения заданий лабораторных работ вы убедитесь в обоснованности перечисленных требований к параметрам криптосистемы. В частности, необходимо обеспечить каждому пользователю уникальные значения p, q и уникальное значение e, удовлетворяющие требованиям, приведенным выше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

426

В учебном пособии рассмотрены классические шифры, теория классических шифров, компьютерный практикум для классических шифров и задания на самостоятельную работу по классическим шифрам. Преставлены современные математические методы шифрования с секретным ключом, теория шифров с секретным ключом, компьютерный практикум для шифров с секретным ключом и задания на самостоятельную работу по шифрам с секретным ключо. Рассмотрены математические основы шифрования с открытым ключом, теория шифров с открытым ключом, компьютерный практикум для шифров с открытым ключом и задания на самостоятельную работу по шифрам с открытым ключом.

ЛИТЕРАТУРА

427

1.Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии

–М.: Гелиос АРВ, 2001. – 480 с.

2.Метлицкий Ю.В. Разработка программного комплекса для визуализации и анализа стандарта криптографической защиты AES, МИФИ 2003 г.

3.Зензин О.С., Иванов М.А. Стандарт криптографической защиты – AES. Конечные поля. – М: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2002. -176 с.

4.Б. Шнайер «Прикладная криптография. 2-е издание. Протоколы, алгоритмы и исходные тексты на языке С». - М.: Изд-во "Триумф", 2002. - 816 с.

5.http://www.des-crypto.ru/cryptography/rc4/

6.Асосков А.В. и др. Поточные шифры. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. - 336 с.

7.http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~itsik/RC4/rc4.html

8.Романец Ю.В. Защита информации в компьютерных системах и сетях / Под ред. В.Ф. Шаньгина. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 2001. - 376 с.

9.RSA Laboratories // http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2009

10.Алгоритм RSA : метод. указания к выполнению лабораторных работ для студентов спец. 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности

автоматизированных систем» очной формы обучения / сост.: О. Н. Жданов, И. А. Лубкин ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. – Красноярск, 2007. – 38 с.

11.Diffie, D. N),ключи).Вew directions in Cryptography / D. Diffie, M.Hellman // IEEE Transactions on information theory. N),ключи).Вovember. 1976.

12.Rivest, R. A Method for obtaining digital signatures and public keyCryptosystems

/R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman // Communications of the ACM. February. 1978.

13.Столингс, В. Криптография и защита сетей: принципы и практика

/В. Столингс ; пер. с англ. . – 2-е изд. – М. : Изд. дом «Вильямс», 2001. – 672 с.

14.Коблиц, Н. Курс теории чисел и криптографии / Н. Коблиц ; пер. с англ. М. А. Михайловой и В. Е. Тараканова ; под. ред. А. М. Зубкова. – М. : Науч. изд-во ТВП, 2001. – 254 с.

428