Математические модели в экономике.-1

v1(k 1) (1 k21)v1(k) s1(k),

z2(k 1) (1 k12)z2(k) s2(k) u2(k), v2(k 1) (1 k22)v2(k) s2(k),

w(k 1) w(k) c1s1(k) c2s2(k) k31z1(k) k32z2(k)

c01u1(k) c02u2(k),	(6.6)
где u1(k), u2(k) количество товаров, выпускаемых за один	такт; k11, k12 коэф-
фициенты потерь; k21 , k22 коэффициенты потребления; k31 ,	k32 стоимость хра-

нения единицы товаров; с01, с02 себестоимости; s1(k), s2(k) количество продан-

ных товаров 1-го и 2-го вида в один такт (функции продаж). Формулы для s1(k), s2(k) имеют вид:

s (k) n				exp( c )(1 v			(k)Y 1)z (k),				(6.7)
1	1				1	1		1	1
s	(k) n	2		exp( c )(1 v				(k)Y	1)z	(k) ,	(6.8)
2					2		2	2	2
n1 , n2 коэффициенты продаж;			с1, с2		цены на товары; Y1,						Y2 потенциальный
спрос на товар 1-го вида и 2-го вида.
В векторно-матричном виде модель следующая:
x(k 1) A (x(k)) Bu(k),							x(0) x0 ,				(6.9)
В (6.9) вектор (x(k)) представляется в виде:

			x1(k)
			x (k)
			2
			x3(k)
(x(k))			x (k)	.	(6.10)
			4
			x (k)
			5
	x (k)x (k)
		1	2
	x		(k)x (k)
		3	4

Матрица динамики А для данного объекта имеет вид:

41

1 k11 n1exp( c1)

		n exp( c)
			1	1
A			0
			0
			cn exp( c)
	k
		31	1 1	1

0			0		0	0			n1exp( c1)
											Y1
1 k			0		0	0				n1exp( c1)
21											Y1
0	1 k12 n2exp( c2)				0	0					0
0		n2exp( c2)			1 k22	0					0
0	k	cn exp( c )			0	1			cn exp( c)
									1 1		1
	32	2	2	2							Y1

			0
			0
	n2exp( c2)
						.
			Y2
		n2exp( c2)
			Y2
	cn exp( c )
2 2			2
			Y2

Матрица В и вектор управления следующие:

	1	0
	0	0		u (k)
		1
B 0			,	u(k) 1	.
	0	0		u2	(k)
	c	c
	01	02

ЗАДАНИЕ

1. Для модели фирмы, производящей два вида товаров (6.6) (6.8) выполнить

моделирование для следующих значений параметров:
u1	60, u2	65		количество		товаров, выпускаемых		фирмой за		один такт;
n1	1,95,	n2 1,8		коэффициенты продаж; c1			2,5у.е.,	c2	1,5у.е. цены на това-
ры; c0,1 1,0у.е.,			c0,2		0,9у.е. себестоимости;		Y1 Y2 1000		потенциальный спрос
(объем рынка);			k1,1		0,15, k1,2 0,13 коэффициенты потерь; k2,1 0,1,					k2,2 0,055
коэффициенты потребления;						k3,1 0,002у.е., k3,2 0,001		у.е. стоимости хранения

единицы товара за один день.

Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140 (один такт соот-

ветствует 1 дню) для следующих начальных условий:

z1(0) 150, z2(0) 300, v1(0) 250, v2(0) 170, w(0) w0 у.е.

Построить графики процессов (величина w0 приведена в таблице 6.1).

2. Исследовать влияние различных стратегий управления фирмой на получен-

ную прибыль.

42

Стратегия 1. Увеличить цену 2-го вида товара c2 до величины 2,3 у.е. Привес-

ти в отчет графики изменения прибыли. Определить прибыль в последний день исследуемого периода (w140 ). Оценить возможность реальной реализации этой

стратегии. Сделать выводы.

Стратегия 2. Увеличить коэффициент продаж n2 до величины 3,2 (увеличение этого коэффициента можно осуществить, реализовав рекламную компанию). В

модели учесть затраты на рекламу в 2у.е. в течении первых 10 дней. Затем этот ко-

эффициент должен уменьшаться по линейному закону в течение 60 дней до перво-

начальной величины n2 1,8. Затем опять провести рекламную компанию в тече-

ние 10 дней.

Построить графики изменения прибыли. Определить прибыль в последний

день исследуемого периода (w140 ). Сделать выводы.

Стратегия 3. Увеличить потенциальный спрос (объем рынков для 1-го и 2-го вида товаров). В модели учесть затраты на расширение рынка в 8у.е. в течении первых 60 дней. По окончании этого периода значения Y1 и Y2 принять равными

2000 (увеличение этих параметров осуществляется посредством расширения рын-

ка в течении первых 60 дней, например, создав новые торговые точки в новом ре-

гионе).

Построить графики изменения прибыли. Сделать выводы.

3. Применить метод покоординатного спуска	для максимизации критерия
J(u1,u2) w140 (прибыли фирмы в последний день),	применив метод деления шага

пополам. Начальное значение шага принять равным 10. оптимизацию осуществить сначала по переменной u2 , затем по переменной u1 .

Промежуточные результаты оформить в виде таблицы. Привести в отчете оп-

тимальные значения объемов производства и оптимальное значение прибыли.

4. Найти оптимальные значения объемов производства и прибыли с учетом ограничений (величина uмах приведена в таблице 6.2):

u1 u2 uмах .

43

						Таблица 6.1.
n/n	1	2	3	4	5		6
w0	10	25	30	0	45		50
n/n	7	8	9	10	11		12
w0	35	15	40	55	65		70
						Таблица 6.2.
n/n	1	2	3	4	5		6
umax	20	25	30	35	40		45
n/n	7	8	9	10	11		12
umax	15	28	38	32	42		50

44

ЛИТЕРАТУРА

1.Сидоренко М.Г. Математические модели в экономике. Учебное пособие.

Томск: Изд-во ТУСУР, 2000.

2.Шапкин А.С., Мазаева Н. П. Математические методы и модели исследова-

ния операций: Учебник для вузов. М.: Дашков и К°, 2007.

3.Кундышева Е.С. Экономико-математическое моделирование: учебник для вузов. М.: Дашков и К°, 2008.

4.Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах,

бизнесе. Учебное пособие. М.: ЮНИТИ, 2000.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика в экономике. Математические ме-

тоды и модели. Учебное пособие. М.: Дело, 2006.

6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. Учебное посо-

бие. СПб.: Питер, 2005.

7. Усков Л.Ф. Математические модели в экономике: Учебное пособие. –

М.: ИМПЭ им. А.С. Грибоедова, 2005.

8. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и мо-

дели для менеджмента. СПб.: Питер, 2000.

9.Терпугов А.Ф. Экономико-математические модели. Томск: Изд-во ТГПУ,

1999.

10.Смагин В.И. Оптимальное и адаптивное управление экономическими сис-

темами. Учебно-методическое пособие. Томск: Изд-во ТГУ, 2010.

45