Fiz_Polupr_dlya_stud / ФТТ_Садыков_2012 / FTT_Sadykov_5

gD	V 2					1
	2	2				l		3
					vзв

где введено очевидное обозначение

2					V 3 2
						,	(5.25)
	vt	3			2 2vзв3
	зв

1		1		1			2
									.
				vl	3		vt
vзв3		3						3
				зв			зв

Это равносильно использованию закона дисперсии вида q vзв q , где vзв -

усредненная по поляризациям скорость.

Второе упрощение Дебая является следствием первого упрощение. Оно состоит в том, что волновые вектора, идентифицирующие решеточные осцилляторы, теперь заполняют

сферический объем в q - пространстве. Радиус этого объема qD называют радиусом Дебая,

частоту D vзвqD , соответствующую радиусу Дебая, – частотой Дебая. Эта частота

является максимальной частотой колебаний в рамках модифицированной выше описанным способом модели. Она определяется на основе введенной выше функции спектральной плотности gD при V 1 соотношением ( N - число элементарных ячеек в единице объема):

D
gD d 3Ns .	(5.26)
0
В этом соотношении учтены не только три акустические ветви колебаний, но и 3s 3
оптические ветви для числа атомов в элементарной ячейке	s 1 . Можно показать, что в

представлении расширенных зон оптические ветви колебаний действительно могут быть приближенно представлены соотношением q vзв q .

Следует также заметить, что в общем случае объем сферы Дебая превышает объем зоны Бриллюэна в s раз. Таким образом, в модели Дебая частоты колебаний заключены в диапазоне от нуля до частоты D (частота Дебая), которая определяется из (5.26) как

D 36 2 Nsvзв . Функция плотности колебательных состояний gD , полученная выше

(Рис. 5.4а), конечно, отличается от реальной функции спектральной плотности (Рис. 5.4б), но такая модель намного лучше описывает интегральный эффект колебаний решетки, нежели

модель Эйнштейна. Главное, эта функция позволяет нам провести суммирование

(интегрирование) в (5.24).

Теплоемкость.

Переходя в (5.24) от суммирования к интегрированию на основе спектральной плотности gD получим колебательную энергию на единицу объема.

D

exp

kT 1 1 1 2 0 .

Dреш d gD

0

Здесь мы ввели нулевую энергию

0

и тепловую

энергию

, которая зависит от

температуры.

D

3 kT 4

TD

3 1

2d

T

x3dx

,

(5.27)

2 2 v3

2 2v3

3

ex 1

e kT

1

зв

0

зв

0

где определены новые параметры закона дисперсии Дебая: температура Дебая TD , радиус

Дебая qD в q - пространстве:

D

kT ,

T v

3

6 2 Ns k

, v q

, q

D

3

6 2sN .

D

D

зв

s D

D

Вычисление интеграла в (5.27) можно легко выполнить при двух предельных температурах. 1) T TD , в этом случае переменная интегрирования меньше единицы во всей области

интегрирования, поэтому знаменатель под интегралом (5.27) можно представить как x :

	3 kT		4	3
T
						6 2sNv3			3ksNT .	(5.28)
	2 2v3	3 3 T 3			k3
							зв
	зв
2) T TD , в этом		случае			интеграл			(5.27) можно		свести к табличному,

dxx3 exp x 1 1 4 15 :

0

	T	3 kT	4		4 .	(5.29)
		2 2v3	3
					15
		зв

Соответственно, теплоемкость при высоких и низких температурах равна:

C

T

3kNs ,

(5.30)

V T

			12			T	3
	CVD				4kNs		.	(5.31)
			5		TD

Первый результат совпадает с известным законом Дюлонга-Пти для классической теплоемкости. Второй результат – он известен как закон Дебая – отражает дискретный характер энергетического спектра системы, т.е. ее квантовую природу. Качественное поведение теплоемкости с температурой представлено на Рис. 5.5.

В заключение напомним, что помимо решеточной теплоемкости имеется электронная теплоемкость (в частности, в металлах), которая обсуждалась в Разд.3.

	1		1		* 3 / 2
CVel		2k 2Tg F		2k 2T 4	2m		F1/ 2	(5.32)
	3		3		2
					h

Отношение Cel к C

равно:

V

VD

Cel

5 2k 2Tg F T

3

5nT 3

V

D

,

36

4

kNs

24

2

2

CVD

TD

NsT TF

здесь n - электронная концентрация,

она связана с числом атомов в металле соотношением

n ZNs , где Z - валентность. Легко найти температуру T0 , ниже которой это отношение больше единицы:

T0 0,145 ZTD TF 12 TD .

Значения температуры Дебая кристаллов по порядку величины совпадают со значением комнатной температуры (T 300 К), а температура Ферми имеет значение порядка десятков тысяч градусов Кельвина. Как результат, для T0 получим значение порядка одного градуса Кельвина.

(q ) (q ) qa /M

/a 0 /a

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Рис. 5.3.

Рис. 5.4

Рис. 5.5