3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

После очевидных упрощений получаем:

A B sin( )

A kB cos( )

1

B sin(kL ) C exp 3LkB cos(kL ) 3C exp 3L

1

2

3

4

Из этой системы уравнений определим допустимые значения параметров k, γ1 и γ3. Далее по ним

определим собственные значения энергии частицы.

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), а уравнение (3) на уравнение (4):

		1			1	tg( )			tg( )	k
					k					1
			1
	1						1					k
		tg(kL )					3	tg(kL )
k												3

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Далее воспользуемся формулой для суммы

тангенсов: tg( ) tg tg .

1 tg tg

tg(kL )				tg kL tg										k		.
		1 tg kL tg												3
Учтём, что:						tg( )				k	.
						1
	tg kL		k
								k	.			tg kL			k			k	tg kL k	k	.
				1
				k
1 tg kL								3							1			3		1 3
				1

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

tg kL	k										k		tg kL					k				k	.
	1								3											1 3
								k			2					k			k
tg kL 1																					.
							1 3
																1			3
					k					k
tg kL				3						1					.
			1					k			2													k 1 3k
																			tg			kL
								1 3																k2 .
																								3	1

Величины k, γ1 и γ3 зависят от энергии частицы, поэтому полученное уравнение является трансцендентным и для его решения применим графический метод.

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

k

k

tg

kL

1

3

.

1

k

2

Вспомним, что

1 3

2m W E ,

k

2m E W .

1,3

2

1,3

2

2

Не нарушая общности, можно считать W2 = 0.

b W1 ,

Введём безразмерные переменные:

z

E

,

W1

W3

и преобразуем сначала правую часть уравнения.

k

E

zW1

z

.

1

W1 E

W1 zW1

1 z

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

k

E

zW1

z

bz

.

3

W3

E

W1

zW1

1

z

1 bz

b

b

Теперь уравнение принимает вид:

z

bz

tg kL

1 z

1 bz

.

z

1

bz

1 z

1 bz

L

2m W z

z

bz

tg

1 z

1 bz

.

2

1

z

bz

1

1 z

1 bz

			2m W E ,
1,3			2		1,3
	k			2m E.
					2
z	E	,			b W1 ,
	W1				W3

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

В левой части уравнения удобно ввести следующие
обозначения: L ,	W w ,
	1	1

где	10 9 , 1,6 10 19 ,

l - длина ямы в нанометрах, w1 - энергия в электрон- вольтах (эВ).

Перепишем левую часть уравнения:

tg L

2m

2

W1z	tg

2m			tg					,		2m
		W1z				wz			где		.
	2									2

Эта величина зависит от исходных параметров задачи и задаёт масштаб. Можно вычислить её значение для электрона, когда размер ямы l измеряется в нанометрах, масса электрона m – в килограммах, энергия w – в электрон-

вольтах.	2m W1		2 9,1 10 31 1,6 10 19
kL		w		10 9 5,1393 w.
	2	1	1,052 10 68

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

z

bz

tg wz

1 z

1 bz

.

1

z

bz

1

z

1 bz

При этом переменная z изменяется в переделах 0 z 1.

Это трансцендентное уравнение можно решать графически. Для получения более точных значений корней уравнения можно применить какой-либо численный метод решения уравнений, например, метод дихотомии.

Значение параметра b определяет высоту второго потенциального барьера. Если b < 1, то параметр z не может превышать b.

Рассмотрим решение уравнения для случая b = 1, то есть для симметричной ямы (W1 = W3).

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

z

bz

tg wz

1 z

1 bz

.

1

z

bz

1

z

1 bz

для случая b = 1

2

z

z 1 z

tg wz

1

z

2

.

z

1 z

1 2z

1

1

z

tg2 wz

4z 1 z

.

2

1 2z

Решение выполним графически для длины ямы l = 1 нм и глубин ямы w = 1 эВ и 5 эВ.

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

На рисунке красным показан график функции правой части уравнения, синим – левой части. Абсциссы точек пересечения соответствуют корням уравнения. Точка z = 0 корнем не является.

En znW1.

z1 0,18,	z2 0,70.	z1	0,06,	z2	0,12,
		z3	0, 22,	z4	0, 48,
		z5	0,51,	z6	0,81.

3.3.4. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Итак, решения уравнения Шрёдингера областях 1, 2 и 3:

1n x Aexp 1x ,

2n x B sin(kx ),

3n x C exp 3 x .

1,3	2m2 W1,3 En ,	k	2m E		W .
			2	n	2

Чтобы найти явный вид волновой функции, нужно определить коэффициенты A, B и C, а также фазу δ.

Для этого снова рассмотрим систему уравнений, возникающую из условий непрерывности волновой функции и её производной.