Рассмотрим решения радиального уравнение Шредингера связанных состояний s-симметрии. Внутри потенциальной ямы, где потенциальная энергия W = 0,

(1)n m (r, , ) Akn j (knr)Y m ( , ),

	j (kr) sin kr			,
	0		kr
Pn(1)0	(r) Akn sin knr r				Asin knr.
	knr
	kn		2mEn		.

Решения для области пространства за пределами потенциальной ямы (r > a)

имеют вид:

Pn(2)0	(r) B n	e r	r Be r .	n	2m W En	.
		nr

Потребуем непрерывности функции и ее производной на границе, в точке x = a.

Asin ka Be

a

,

Ak cos ka Be a .

Разделив первое уравнение на второе, получим:

tg ka

k

.

Учтем, что

2mEn

2m W E

kn

,

n

n

.

Теперь

k

n

2mEn

E

.

n

W E

2m W E

n

	tg ka	E	.
		W E

tg ka	W E .
	E

Решать это трансцендентное уравнение будем графически. Для этого в правой части выполним подстановку:

	E	p2		2k2	,	W E W	2k2	.
		2m		2m			2m

tg ka

2mW 2k2 a2

2

k

2

a

2 .

2

2

tg

ka

W

k a

,

k2a2

где

W 2ma2

W

- безразмерный параметр.

2

Графическое решение этого уравнения:

Графическое решение этого уравнения:

tg ka	k2a2					.
	W	k	2	a	2

Второй способ графического решения системы уравнений:

Asin ka Be a ,

Ak cos ka Be a .

k ctg(ka) .

kn	2mEn	,	n	2m W En	.

k2 2 2mE,

2 2 2m W E .

2 k 2 2 2m W E E ,

2 k2 2 2mW.

kctg(ka) .

2 k2 2 2mW.

ka ctg(ka) a.

k2a2 2a2 2mWa2 .

2

Движение частицы в сферически симметричном потенциале

10. Атом водорода. Движение электрона в кулоновом поле.

С этой задачей мы сталкиваемся, рассматривая движение электрона в атоме водорода, в однозарядном ионе гелия, двухзарядном ионе лития и так далее. Такие ионы называются

водородоподобными.

В силу сферической симметрии рассматриваемой задачи волновую функцию электрона в атоме можно представить в виде

nem (r, , ) ARne (r)Yem ( , ),

где Yem ( , ) – сферические функции (собственные функции оператора

момента импульса).

Радиальные волновые функции можно определить из решения уравнения Шрёдингера. Потенциальная энергия электрона в поле ядра

с зарядом Z

U (r) k zer2 C.

где k – системный коэффициент; С – произвольная константа, определяемая условием калибровки потенциала (выбором начала отсчета потенциальной энергии). Считая, что при очень больших r потенциальная энергия стремится к нулю, получаем C = 0.

U(r) k zer 2

Радиальное уравнение Шрёдингера с таким выражением для потенциальной энергии принимает вид для функции P(r) = rR(r):

		2	d 2 P(r)		2	( 1)	P(r) k	ze2	P(r) EP(r)
		2m	dr2		2mr2			r

Упростим это уравнение . Для этого введем две величины:

E1			k2me4			- энергию основного состояния атома водорода по
			2 2			теории Бора, E1 = 13,602 эВ.
				2
a kme2
					0,529 A		- радиус первой боровской орбиты.

Эти величины будут задавать масштаб в изменении энергии и расстояния. Они называются атомными единицами энергии и расстояния , 1 а.е. = a,

E1 = 1 Ryd.

Разделим уравнение на E1

4

d 2 P

4

( 1)

P

2ze2 2

P

E

P.

k 2m2e4

dr2

k

2m2e4

r2

r kme2

E

1

a

2

a2

4

kme2

k2m2e4

a2 d2p a2 ( 1) p

2ze2

ap

E

p

r

dr2

r2

E1

Теперь, чтобы перейти от масштаба в метрах по радиусу к масштабу в атомных единицах введем новую переменную r / a . При этом

	dp		dp dr a dp
	d			dr d			dr
d 2 P				d		dP		2 d 2 P
					a		a		2
d	2							dr
				dr		dr