Подставим решение (6) в радиальное уравнение Шредингера. Для этого вычислим производные от и другие слагаемые из уравнения отдельно.

	d 2 P( )		( 1)	P( )	2z	P( ) P( ) 0
	d 2		2

P( ) A(1 a 2	a 3	...)e	,
1	2

Пусть	P( ) Ae f ( ),

где			f ( ) (1 a 2
				1
при		a0	1.
				dP
Первая производная:
Вторая производная:				d
	d 2 P	A 2e f ( )		A e
	d 2

a2 3 ...) a 1,

0

A e f ( ) Ae f ( ).

f ( ) A e f ( ) Ae f ( )

Ae f ( ) 2A e f ( ) A 2e f ( ).

Второе слагаемое уравнения («центробежный барьер»):

	( 1)	P ( 1)Ae	f ( )	.
	2
			2

Третье слагаемое уравнения (потенциальная энергия в кулоновом поле):

2z

P( ) 2zAe

f ( )

.

Четвёртое слагаемое уравнения (полная энергия):

P Ae f ( ).

Итого:

f ( )

Ae

2

Ae

f ( ) ( 1)Ae

2

f ( ) 2Ae

f ( )

2zAe

f ( )

Ae f ( ) 0

Разделим уравнение на Ae-αρ :

f ( )

f ( )

2

f ( ) ( 1)

2z

f ( ) 0.

2

f ( )

2 f ( )

Так как 2

,

f ( )

f ( )

2z

f ( ) 0,

2

f ( ) 2 f ( ) f ( ) ( 1)

f

f ( )

2z

f ( )

0.

(7)

2

( )

2 f ( ) ( 1)

Теперь представим

f ( ), f

( ), f

( ) в виде рядов:

f ( ) 1

a

a 1,

,

f ( ) a ( 1)

f

1

,

( ) a ( 1)( )

f ( )

a

;

f ( )

a 1.

2

Теперь представим найденные выражения в уравнение (7):

a ( 1)( ) 1	2 a ( 1)

( 1) a 1 2z a 0.

a ( 1)( ) 1	2 a ( 1)

( 1) a 1 2z a 0.

Ряд равен нулю, когда все его коэффициенты равны нулю. Найдем коэффициенты при одинаковых степенях ρ. Для этого сначала объединим все слагаемые под общим знаком суммы, а затем вынесем за скобки множитель ρ +l

[a 1 ( 2)( 1) 2 a ( 1)

( 1)a 1 2za ] 0.

Равенство нулю достигается, когда выражение в скобках равно нулю, а это возможно, если

a 1[( 2)( 1) ( 1)] a [2 ( 1) 2z].

Таким образом,

a 1 a		2 ( 1) 2z			.	(8)
	( 2)( 1) ( 1)
;		( 0;	E	, E		0).
			| E |
		1

Получена рекуррентная формула, по которой можно вычислить коэффициенты a , а, следовательно, найти решение радиального

уравнения Шредингера. Однако, эта формула обладает рядом особенностей.

Выясним, сколько слагаемых должен содержать полученный ряд. Знаменатель в рекуррентной формуле всегда положителен (при любом неотрицательном ν), числитель же может иметь разные знаки.

При z > α( + l +1) коэффициенты ряда могут быть как отрицательны, так и положительны, при z < α( + l +1) – отрицательны. Можно показать, что при z < α( + l +1) эти коэффициенты есть коэффициенты

разложения в ряд функции e+2αρ .

Но тогда, при z < α( + l +1)

P( ) Ae e 2 Ae .

т.е. при больших ρ функция неограниченно неограниченно возрастать и волновая функция должно выполняться условие z > α( + l +1),

знакопеременным.

возрастает. Будет R(ρ). Следовательно, и ряд должен быть

Необходимо, чтобы выполнялось условие z > α( + l +1), и коэффициенты

ряда были положительными. При отрицательных значениях коэффициентов рано или поздно ряд даст функцию, возрастающую на бесконечности, как это было при z < α( + l +1) . Следовательно, должно

существовать такое = n , чтобы			a	0.
	anrr 0,
			nr 1
Применим рекуррентную формулу (8).
		anr 1 0,
anr 1 anr		2 (nr 1) 2z			0.
	(n	2)(n	1) ( 1)
	r	r

Это возможно, если

2 (nr 1) 2z 0,

2 (nr 1) 2z 0,

z . nr 1

Но ранее мы показали, что 2 ,

то есть имеет вполне определённый физический смысл – энергии, измеренной в ридбергах.

Таким образом, энергия электрона в атоме водорода может быть

определена как 2

nz2 .

Здесь n nr 1.

Назовём величину n главным квантовым числом, определяющим значение энергии электрона в атоме.

Ez2 ,

E1 n2

k 2me4

E1 2 2

Энергии связанных состояний электрона в водородоподобном атоме

определяются формулой	me4		z2
En				.
	k2 2 2		n2

Эта формула совпадает при Z = 1 с формулой, полученной Бором для атома водорода.

			z		,
		n	1
		r

- > 0 для связанных состояний, Z > 0, n = nr + l +1 – целое положительное

число, n = 1, 2, 3, 4, … Отсюда следуют определённые ограничения, накладываемые на значение орбитального квантового числа l.

Пусть n = 1 (основное состояние),

nr 1 1,

следовательно, возможно только одно неотрицательное значение l:

0.

Основным состоянием в атоме водорода (и в других кулоновских потенциалах) может быть только состояние с l = 0, то есть состояние s-симметрии.

Пусть n = 2 (первое возбуждённое состояние),

nr 1 2,

при разных nr, возможны два неотрицательных значения l:

0, 1.

При n = 2 возможны состояния с l = 0 и l = 1 то есть состояния s- симметрии и p-симметрии. При n = 3 возможны состояния с l = 0, l = 1 и l = 2 то есть состояния s-симметрии, p-симметрии и d-симметрии.

На этом свойстве решения уравнения Шредингера основано объяснение периодического закона Менделеева.

Решения радиального уравнения Шредингера для кулоновского потенциала.

Z r a1