Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рис. 3.14. Графики перемещения возмущения на струне в разные моменты времени:

а — t = 1, б — t = 2, в — t = 3, г — t = 4, д — t = 5, е — t = 6

111

Рассматривая движение струны при распространении вдоль нее волны, считаем в первом приближении, что точки струны двигаются лишь перпендикулярно к равновесному положению струны. Итак, скорость точек струны в этом направлении υ = ∂y /∂t . Что касается

сил взаимодействия между элементами струны, то они всегда на- правлены по касательной к согнутой струне. В каждом сечении стру- ны составляющая силы по направлению скорости равна Fy = −F ∂y/∂x . Вследствие этого волновое сопротивление струны име-

ет вид:

Z =	−F ∂y /∂x .	(3.23)
	∂y /∂t

Для каждого из двух возможных типов волн в струне y1 = ψ(x +ct), y2 = ϕ(x −ct) имеем значение Z1 = −F /c , Z2 = F /c . С учетом значения для фазовой скорости волн в струне c2 = Fρ записываем

Z1,2 = ±ρc. (3.24)

Как видим, в общем случае значение волнового сопротивления ха- рактеризует и направление распространения волны. Поскольку выбор направления осей допускает некоторую произвольность, то, говоря о волновом сопротивлении среды, имеют ввиду абсолютное значение Z, т.е. в данном случае ρc. Как будет видно из дальнейшего изложения, произведение плотности среды на скорость волны характеризует вол- новое сопротивление самых разных сред.

3.4. Энергетические характеристики волнового движения струны

Принятая модель струны означает, что подведенная к ней извне энергия накапливается и существует лишь как кинетическая и потенциальная энергии. Кинетическая энергия элементарного участ- ка струны dx имеет вид

EК =	1		∂y 2	(3.25)
	2	ρdx	.
			∂t

Эта величина является квадратичной относительно скорости точек струны ∂y/∂t.

Для вычисления потенциальной энергии струны также нужно учи- тывать квадратичные величины относительно y. Эта энергия равна той работе, которую надо выполнить при смещении элемента струны из состояния равновесия в отклоненное положение. Для малых откло- нений от положения равновесия натяжение струны считается неиз-

112

менным. В процессе деформации элемент струны растягивается до некоторой длины s; итак, прирост длины представляет s −dx . Именно на этом пути неизменное натяжение осуществляет работу. Поэтому потенциальная энергия, накопленная в деформированном элементе, имеет вид

EП = F(			s −dx).		(3.26)
Длина элемента струны после деформации
s =			∂y 2	dx.	(3.27)
	1 +
			∂x
Итак, потенциальная энергия элемента струны
	1+		∂y 2		(3.28)
EП = F				−1 dx.
			∂x

При выводе уравнения движения струны, при условиях малости отклонений от положения равновесия, получили оценку (∂y∂x )2 <<1 .

При вычислении тригонометрических функций углов наклона каса- тельной к струне величинами (∂y/∂x)2 по сравнению с единицей пре- небрегали. Ясно, что в (3.28) этого сделать нельзя. Но учет малости

(∂y∂x )2 по сравнению с единицей дает возможность получить более

удобное для вычисления выражение для потенциальной энергии. Ис- пользуя соотношение

	∂y 2		+	1		∂y 2		1		∂y 4
1 +		=1		2			−	8			+...
	∂x					∂x				∂x

и оставляя лишь главные по порядку величины, находим, что

EП =	1		∂y 2
	2	F		dx.
			∂x

Отсюда полная энергия элемента струны имеет вид

EК + EП =	1		∂y 2		1		∂y 2
	2	ρ		dx +	2	F		dx.
			∂t				∂x

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Энергию, отнесенную к единице длины, называют плотностью энер- гии в струне:

E =	1		∂y 2		1		∂y 2	(3.32)
	2	ρ		+	2	F	.
			∂t				∂x
								113

Рассматривая движение систем с конечным числом степеней сво- боды, мы исследовали основные закономерности колебательных дви- жений. При этом энергетические соотношения довольно просты — полная энергия EК + EП при свободных колебаний системы остается постоянной величиной.

Поскольку в принятой модели струны отсутствуют потери энергии, общая энергия, подведенная к струне в начальный момент времени, остается тоже постоянной. Однако возмущение в струне существует в виде бегущих волн и это, конечно, обусловливает поиск новых харак- теристик. Здесь нужно выделить те характеристики, которые описы- вают потоки энергии, и определить скорость переноса энергии.

Определим полную энергию, которая содержится в некотором ко- нечном от x = a до x = b участке струны:

b	1		∂y	2	1		∂y		2
										dx.
H = ∫	2	ρ		+	2	F					(3.33)
			∂t				∂x
a

Тогда скорость изменения энергии, которая содержится в выделен- ном участке, приобретает вид

dH	b	∂y ∂2y			∂y ∂2y
dt	= ∫ ρ	∂t	∂t2	+ F			dx.	(3.34)
					∂x ∂x∂t
	a

Поскольку ρ ∂2y = F ∂2y , это соотношение можно представить так:

∂t2 ∂x2

dH	b	∂		∂y ∂y	∂y ∂y			∂y ∂y
	= F ∫			dx = F			− F			.	(3.35)
dt	a	∂x		∂t ∂x	∂t ∂x		x =b	∂t ∂x		x =a

Итак, скорость изменения энергии, накопленная участком струны, однозначно определяется величинами, которые вычисляются на кон- цах данного участка. Рассматривая полученный результат относи-

тельно выбранной системы координат, считаем, что величина
L = −F	∂y ∂y	(3.36)
	∂t ∂x

определяет проекцию на ось Ox вектора потока энергии в струне. Тогда равенство (3.35) определяет основное энергетическое соотно- шение для струны — скорость изменения полной энергии участка струны равняется разности потоков энергии на концах участка.

В правильности придания физического содержания величине L в (3.36) можно легко убедиться, размышляя следующим образом. На рис. 3.1 видно, что величина −F ∂y /∂x есть проекция на ось Oy силы,

действующей в сечении x со стороны левой отброшенной части стру-

114

ны. Произведение силы на скорость ∂y/∂t дает мощность, которая развивается в сечении x при распространении возмущения. Для по- перечных волн, которыми являются волны в струне, сила и скорость вычисляются в направлении оси Oy. Поток энергии направлен вдоль оси Ox.

При анализе волновых явлений важным есть вопрос о скорости переноса энергии волной. В данном случае ответить на этот вопрос можно, рассматривая выражение или для плотности энергии в струне E (3.32), или для потока мощности L (3.36). Для определенности счи- таем, что смещение точек струны y (x,t) связано с бегущей волной в положительном направлении оси Ox , т.е. y(x,t) = ϕ(x −ct). Понятно,

что при этом функциями аргумента (x −ct) будут и плотность энергии

	E = E(x −ct) , и поток энергии				L = L(x −ct).				Таким образом, эти обе
	энергетические характеристики удовлетворяют уравнениям
		1 ∂2E		= ∂2E	,		1 ∂2L		= ∂2L .	(3.37)
	c2 ∂t2					c2 ∂t2
				∂x2					∂x2

Это обстоятельство указывает на то, что энергия бегущей волны вдоль струны также переносится со скоростью c = Fρ . Поскольку при

распространении вдоль струны форма возмущения не изменяется, такой вывод есть физически довольно очевидным.

Если в струне одновременно распространяются две волны: y1 = ϕ1(x −ct) и y2 = ϕ2(x −ct) , то общее смещение струны — это сумма

смещений данных волн, т.е.

y = y1 + y2 = ϕ1(x −ct) + ϕ2(x −ct).	(3.38)
При этом величина y удовлетворяет волновому уравнению.	Это по-

ложение составляет сущность принципа суперпозиции, справедливо- го для любых линейных дифференциальных уравнений. Что касается энергетических характеристик волнового движения, то для них принцип суперпозиции в общем случае уже не выполняется. Это следствие квадратичного характера величин E и L относительно y. Для смещения, заданного (3.38), согласно формуле (3.32) будем иметь:

E(ϕ + ϕ	) =	ρc2 (ϕ ′)2	+ 2ϕ ′ϕ ′ + (ϕ ′)2			+	F (ϕ ′)2	+ 2ϕ ′ϕ ′ + (ϕ ′)2			=
1 2		2 1	1 2	2			2 1	1 2	2

(3.39)

= E(ϕ1) + E(ϕ2 ) + 2F ϕ1′ϕ2′.

Здесь штрих в функциях ϕ1 и ϕ2 означает производную по полному аргументу и учитывается, что ρc2 = F. Видно, что в зависимости от

115

знака величины 2F ϕ1′ϕ2′ плотность энергии в струне может быть

больше или меньше суммы плотностей энергий, которые соответст- вуют отдельным составляющим волнового движения.

Если рассматривать возмущения от бегущих волн, которые на- правляются навстречу друг другу,

		y(x,t) = ψ(x +ct) + ϕ(x −ct),									(3.40)
то имеем
E(ψ + ϕ) =	1	ρc	2		2		1		2	= E(ψ) + E(ϕ).
	2			ψ′ − ϕ′		+	2 F	ψ′ + ϕ′			(3.41)

Используя выражение для y (3.40) и исходя из определения потока энергии (3.36), находим

L(ψ + ϕ) = L(ϕ) − L(ψ). (3.42)

Таким образом, поток энергии в таком волновом движении равен разности потоков энергий, которые переносятся отдельными волна- ми.

3.5. Волновое движение в конечной струне. Нормальные колебания

Теперь задачей является изучение закономерностей пове- дения возмущений в конечной струне длиной l. Концы струны x = 0 и x = l считаются закрепленными, т.е. y(0,t) = y(l,t) = 0 . Энергию от

внешнего источника к струне подводим, задавая начальное отклоне- ние точек струны и их начальные скорости:

y(x,0) = Q (x),	∂y (x,0) = Q	2	(x).	(3.43)
1	∂t

Внешние силы отсутствуют. Искомая функция y(x,t) удовлетворяет волновому уравнению

	1 ∂2y		=	∂2y .	(3.44)
	c2 ∂t2
				∂x2

Решение общей задачи о волновом движении в бесконечной струне и установленные закономерности отражения волн от закрепленного конца дают возможность полностью описать волновое движение в ко- нечной струне, представляя искомую функцию как суперпозицию прямых и отраженных волн. Но такое решение, которое называется решением Д'аламбера, будет довольно громоздким. Поэтому для реше- ния поставленной задачи, как правило, применяют другой подход.

Говоря о разных возможных подходах к решению задачи о сво- бодных движениях струны, не следует ограничиваться лишь их фор-

116

мальными отличиями. Использование решений, отличных от далам- беровськой формы, в значительной мере обусловлено также специ- фикой постановки задач в теории колебаний и в акустике. Решение Д'аламбера, хотя и громоздкое, но дает возможность точно ответить на такой вопрос: где в данный момент находится определенная точка струны и какова ее скорость. И хотя из такого решения можно полу- чить данные обо всех интегральных характеристиках колебательной системы, сам процесс получения таких данных довольно сложен. Су- щественного упрощения выкладок можно достичь, если сразу поста- вить задание об определении некоторых интегральных характеристик движения.

В определенном понимании идейную основу для дальнейшего по- строения дают результаты, полученные при рассмотрении свободных колебаний системы с двумя степенями свободы. Было найдено, что при любых начальных условий дальнейшее движение системы с двумя степенями свободы — это суперпозиция двух определенным образом уравновешенных периодических движений — нормальных колебаний.

Следует ожидать, что такое же утверждение будет справедливым и для струны с тем лишь отличием, что нормальных колебаний там должно быть бесконечно много.

Используя такую аналогию, решение поставленной общей задачи нужно начинать с поиска периодических решений уравнения (3.44):

y(x,t) =Y (x)exp(−iωt ),	(3.45)
которые будут удовлетворять условиям на концах струны:
Y (0) =Y (l ) = 0.	(3.46)

После подстановки (3.45) в волновое уравнение (3.44) для определе- ния амплитудной характеристики Y (x) получим обыкновенное диф- ференциальное уравнение:

d2Y + ω2 Y = 0. dx2 c2

Общее решение этого уравнения можно представить в виде

ω		ω
Y (x) = A sin	x	+ B cos	x .
c		c

(3.47)

(3.48)

Здесь, как и в (3.45), величина ω — произвольная. Для определения допустимых значений частоты нормальных колебаний нужно исполь- зовать граничные условия (3.46). Первое из них дает значение B = 0, второе приводит к такому условию существования нетривиального решения:

117

sin ωl		= 0.	(3.49)
c

Отсюда находим множество значений частот нормальных колебаний в струне:

ω = nπc		,	f	n	= ωn	= nc .	(3.50)
n	l				2π	2l

Эти частоты обычно называют собственными или нормальными час- тотами струны. Соответствующие периоды собственных колебаний имеют вид

= 2l 1

T (3.51)

n c n

и представляют целые части от времени, необходимого волне для про- бега двойной длины струны. Собственные частоты нормальных коле- баний струны, которые определяются (3.50), относятся одна к другой, как целые числа. Именно это обстоятельство обусловливает широкое использование струн в музыкальных инструментах. Совместное зву-

чание тонов, частоты которых относятся одна к другой как небольшие целые числа, вызывает приятное ощущение в слуховом восприятии человека. При этом говорят о гармоничном отношении частот, а нормальные колебания струны называют гармониками (от греческого слова armonicox — созвучный). Прояснить их особое взаимодействие с мозгом человека с точки зрения только физики, ко- нечно, нельзя. Тем не менее, возможно, говоря словами Пушкина , “поверить алгеброй гармонию”.

Таким образом, задачу поиска нормальных колебаний струны можно считать решенной. Каждое нормальное колебание — свободное периодическое движение струны, которое удовлетворяет граничным условиям, характеризуется соответствующей собственной часто- той и собственной формой колебаний. Все нормальные колебания пронумерованы по возрастанию частоты, и когда говорят про n-тое нормальное колебание, то имеют в виду следующую совокупность ве- личин: ωn — нормальная частота и Yn (x) — собственная форма коле- баний:

	=	nπc	nπ			(3.52)
ωn		l	, Yn (x) = sin	l	x .

На рис. 3.15 изображены первые четыре собственных формы ко- лебаний струны. Характеристики нормального колебания не зависят

Пушкин Александр Сергеевич (1799—1837) — российский писатель.

118

от начальных условий и, поэтому, совокупность нормальных колеба- ний есть важная интегральная характеристика внутренних свойств колебательной системы.

Рис. 3.15. Первые четыре собственные формы колебаний струны

Исходя из (3.45), зависимость прогиба струны от времени и коор- динаты в n -ом нормальном колебании определяется функцией

y (x,t) = sin	nπ x		exp(−iω		t ).	(3.53)
n		l		n

Если сделать обобщение результата, полученного при рассмотрении системы с двумя степенями свободы, то можно сформулировать та-

кое утверждение: какими бы ни были функции Q1(x) и Q2(x) при на- чальных условиях (3.43), дальнейшее свободное движение струны бу- дет представлять собой определенную совокупность нормальных колебаний. Это утверждение записывается в виде соотношения

∞

y(x,t) = ∑ Anyn n =1

(x,t) =	∞	A	sin	nπ x		exp(−iω		t ).	(3.54)
	∑
	n =1	n			l		n

Здесь неопределенные коэффициенты An указывают на степень воз-

буждения соответствующего номера нормального колебания и в общем случае являются комплексными величинами. Исходя из (3.54), легко получить выражение для физического (измеряемого) прогиба. Для это- го достаточно выделить в (3.54) его действительную часть. Если при- нять An = an + ibn , то действительная часть (3.54) будет иметь вид

y(x,t) =	∞	nπ x			[a	cos(ω	t) +b	sin(ω	t)].	(3.55)
	∑ sin
	n =1		l		n	n	n	n

Таким образом, задача о свободном движении струны будет пол- ностью определена, если постоянные an и bn, входящие в (3.55), опре- делить по заданным функциям Q1(x) и Q2(x) в (3.43). Подстановка вы- ражения для y (x,t) (3.55) в начальные условия приводит к двум ра- венствам:

119

Q1(x) =	∞	nπ
	∑ an sin		l		x ,
	n =1
Q2(x) =	∞		nπ				(3.56)
	∑ bn ωn sin			l		x .
n =1

Отсюда легко определить коэффициенты an и bn на основе свойства

ортогональности функций

sin(nπx /l ),

n =1,2,... , согласно которому

имеем

l

nπ

mπ

l

, n = m,

∫ sin

x sin

x

dx

=

2

(3.57)

l

l

0

sin(nπx /l )

0, n ≠ m.

Тогда, умножая (3.56) на

и интегрируя на интервале

(0,l), получаем:

2 l

an =

nπ

x

∫

Q1(x)sin

dx,

l 0

l

bn ωn =

2 l

nπ

(3.58)

l

∫Q2(x)sin

l

x dx, n =1,2,3,... .

0

Таким образом, с математической точки зрения, собственные фор- мы конечной струны длиной l с закрепленными концами sin(nπxl ), 1,2,3,..., представляют собой полную и ортогональную

систему функций. Свойство полноты этой системы функций позво- ляет записать произвольную (осмысленную с физической точки зре- ния) функцию на отрезке [0,l] в виде ряда (3.56), а, следовательно,

изобразить колебания струны при любых начальных условий как су- перпозицию нормальных колебаний (гармоник) (3.55).

Подчеркнем, что данный способ определения коэффициентов an и bn имеет особенно формальный характер. Относительно того, пред- ставляют ли ряды в формулах (3.56) действительно заданные функ- ции Q1(x) и Q2(x), возникала знаменитая дискуссия между Д’Аламбером и Ейлером , с одной стороны, и Д. Бернулли , с другой.

Следует отметить, что частное решение yn (x,t) = an sin(nπx /l )cos (ωnt )

исследуемой задачи было получено еще в 1713—1715 годах Тейло- ром , который был убежден, что никакие другие решения здесь не-

Ейлер (Euler) Леонард (1707—1783) — швейцарский математик, физик, механик и астроном; 1727—1741 и 1766—1783 жил и работал в Петербурге.

Бернулли (Bernoulli) Даниил (1700—1782) — швейцарский физик и ма- тематик.

Тейлор (Taylor) Брук (1685—1731) — английский математик и философ.

120