Основы_акустики_Гринченко_Вовк

ки нашей книги. Укажем только, что диссипативные силы, которые возникают в реальной среде при распространении волны, практиче- ски всегда малы по сравнению со звуковым давлением. Например, на частоте 3 МГц диссипативные силы в воде представляют только одну трехсоттысячную от упругого давления [20, с. 389]. Но действие дис- сипативных сил накапливается в процессе распространения волны, в результате, рано или поздно вся энергия волны переходит в тепло и волна постоянно затухает.

Покажем, что затухание гармонических волн, как результат по- глощения звуковой энергии, происходит по экспоненциальному зако- ну [20, с. 390]. Обозначим плотность звуковой энергии через Е. Тогда мощность, которая поглощается в единице объема среды, составляет

–dE/dt. Она равна мощности диссипативных сил в этом объеме, т.е. произведению этих сил на соответствующую скорость деформации объема. В гармонической волне обе эти величины пропорциональны амплитуде звукового давления. Итак, величина –dE/dt пропорцио- нальна квадрату амплитуды давления в волне. Но плотность энергии Е волны также пропорциональна квадрату амплитуды давления, по- этому обе величины пропорциональные одна другой. Обозначая ко- эффициент пропорциональности через 2α, имеем –dE/dt = 2αE, отку- да находим экспоненциальный закон затухания звуковой энергии во времени

E(t) = E0 exp(–2αt),

(5.18)

где E0 — плотность звуковой энергии в начальный момент t = 0. По- нятно, что амплитуда давления также уменьшается по экспоненци- альному закону

p(t) = p0 exp(–αt),

(5.19)

где р0 — амплитуда давления при t = 0. По тому же закону уменьша- ется скорость и ускорение частиц среды.

	Из формулы (5.18) определим величину
	α = −	1 dE		,	(5.20)
		2E dt

которую называют временным коэффициентом затухания по ам-

плитуде (коэффициент затухания по энергии равен 2α). Его размер- ность совпадает с размерностью частоты: α, с–1.

Из (5.19) видим, что за 1 с амплитуда волны уменьшается как exp(–α). За это время волна пробегает расстояние c. Из этого следует, что в плоской волне амплитуда уменьшается с расстоянием по закону

p(x) = p0 exp(–αx/c) = p0 exp(–δx), (5.21)

где p0 — амплитуда давления в начальной точке x = 0. Величину

201

	δ =	α	= −	1 dE		(5.22)
		c		2cE dt

называют пространственным коэффициентом затухания. Его раз-

мерность такая же, как и у волнового числа: δ, м–1.

Укажем, что согласно свойству экспоненциальной функции на не- которой длине пробега волны х, поглощается, независимо от рас- стояния х до начальной точки, одинаковое количество энергии. Дей-

ствительно, отношение
	p0 exp(−δx ) − p0 exp(−δ(x + x ))	=1	− p0 exp(−δ x )	(5.23)
	p0 exp(−δx )

остается постоянной величиной, не зависит от расстояния x и опре- деляется коэффициентом затухания δ.

Учет эффекта поглощения при распространении плоской гармо- нической волны можно провести довольно формально. Временной ко- эффициент затухания соответствует такой ситуации: пусть в началь-

ный момент времени t = 0 в среде есть распределение	давления
p0 exp(ikx). Тогда при t > 0 имеем волну
p = p0 exp(–αt – iωt + ikx).	(5.24)

Такой же коэффициент определяет поведение стоячих волн, если, на- пример, в начальный момент распределение давления равно p0 cos(kx), то при t > 0

p = p0 cos(kx)exp(–αt – iωt).

(5.25)

Согласно (5.24) и (5.25) в обоих случаях можно формально определить частоту как комплексную величину: ω = ω −iα , тогда

p = p0 exp(−i(ω −iα)t + ikx ) = p0 exp(−iωt + ikx ),
p = p0 cos(kx)exp(−i(ω −iα)t ) = p0 cos(kx)exp(−iωt ).										(5.26)
Понятно, что комплексной будет и скорость плоской волны
с =	ω	=	ω −iα	= c −i	α		α		ω	(5.27)
	k		k		k	= c 1−i		k =	,
							ω		c
где действительная часть				с определяет фазовую скорость плоской

волны υф = с, а мнимая — затухание.

Пространственный коэффициент затухания соответствует плоской волне, которая возникает, например, благодаря колебаниям диска (рис. 5.1). При амплитуде давления p0 на диске, расположенном в точке x = 0, излучаемая волна имеет вид

p = p0 exp(–iωt + ikx – δx).

(5.28)

202

В этом случае волновое число можно считать комплексным, а именно

k = k + iδ, где действительная часть k определяет фазовую скорость плоской волны, а мнимая — затухание. Перепишем выражение (5.28) в виде

p = p0 exp(−iωt + i(k + iδ)x ) = p0 exp(−iωt + ikx ).

(5.29)

Это комплексное волновое число k можно использовать при исследо- вании других задач об излучении звука.

Поглощение звука в среде определяют, измеряя пространственный или временной коэффициент затуханиям звука. Выбор способа зави- сит от величины затухания. На высоких частотах, где поглощение звука довольно значительное, определяют пространственный коэф- фициент затухания. Для этого измеряют амплитуду давления в двух точках на расстоянии l вдоль линии распространения плоской волны. Из формулы (5.29) пространственный коэффициент затухания выра- жается через амплитуды давления p1 и p2 в этих точках и рас-

стояние l:	δ =	1ln			p1			.
					p
		l
				2

Такой способ неприемлем для низких частот и слабо поглощающих жидкостей, поскольку для достаточно точного измерения надо брать большое расстояние l. В этих случаях измеряют временной коэффи- циент затухания α резонансных колебаний (стоячих волн) в сосуде. Здесь нужно учитывать поглощение звука стенками сосуда при от- ражении волн, иначе получим значение коэффициента затухания большее, чем оно есть на самом деле.

Для газов и жидкостей теоретические и экспериментальные ис- следования указывают на увеличение коэффициента поглощения с частотой, такую зависимость в определенных границах можно оце- нить как квадратичную. Это приводит к тому, что при распростра- нении в реальной среде сложного звукового сигнала первыми зату- хают высшие гармоники, в то время как звуки низкой частоты распространяются со сравнительно малым затуханием. Например, в большом концертном зале ясно ощущается изменение тембра скрипки (это относительно высокочастотный музыкальный инстру- мент), если перейти из первых рядов партера в конец зала. Вторым примером из архитектурной акустики является звучание музы- кального фрагмента в зале с большим временем реверберации, скажем около 10 с. (Время реверберации — это временной проме- жуток, за который в помещении после отключения источника энер- гия звука уменьшается в 106 раз.) Это может быть церковное по- мещение или большой зал для органной музыки. Здесь слушатель ощущает изменение тембра звука: сначала затухают высокочастот-

203

ные звуки, а низкие частоты продолжают звучать. Это производит сильное впечатления даже на человека, который не имеет музы- кального слуха.

5.4. Принцип суперпозиции

В четвертом разделе была получена полная система урав- нений акустики. В общем случае это нелинейные уравнения, но про- цедура линеаризации позволила получить линейные уравнения для акустических волн. Главная особенность линейного уравнения состо- ит в том, что если ϕ1 и ϕ2 — два частных решения уравнения, то ϕ3 = а1ϕ1 + а2ϕ2, где а1, а2 — постоянные величины, также является решением этого уравнения. Для нелинейного уравнения, как правило, ϕ3 — не будет решением. То, что любая линейная комбинация реше- ний линейного уравнения также является решением данного линей-

ного уравнения, и есть принцип суперпозиции.

Относительно акустических волн это означает, что при распростране- нии в пространстве нескольких волн, общее давление или общая колеба- тельная скорость определяется как сумма соответствующих величин в составляющих волнах. Понятно, что для давления речь идет о склады- вании скалярных величин, а в случае колебательной скорости — век- торных величин. Однако энергетические характеристики в подобной ситуации не могут быть получены складыванием отдельных составляю- щих. Например, пусть две плоские волны распространяются вдоль оси Ох в одном направлении. Плотность потока мощности в этих волнах со- ставляет Wx1 = p1υx1 = ρcυ2x1 и Wx2 = p2υx2 = ρcυ2x2. Тогда суммарную плотность потока мощности можно определить так:

W

x

= (p + p

2

)(υ

x1

+ υ

x2

) = ρc(υ

x1

+ υ

x2

)2

=W

x1

+W

x2

+ 2ρcυ

υ

x2

. (5.30)

1

x1

Как видим, здесь принцип суперпозиции не применяется. В последнем выражении появилось слагаемое 2ρcυx1υx2 , которое может быть или

положительным, или отрицательным. Как исключение, плотность пото- ка мощности двух плоских бегущих волн, которые распространяются навстречу друг другу, равняется разности плотностей потоков мощно- стей этих волн, т.е. принцип суперпозиции работает. В самом деле,

Wx = (p1 + p2 )(υx1 − υx2 ) = ρc(υx1 + υx2 )(υx1 − υx2 ) =Wx1 −Wx2.

(5.31)

Принцип суперпозиции является мощным инструментом в реше- нии такого важного вопроса, как удовлетворение граничных условий.

Объясним это примере: пусть	имеем две плоские бегущие волны
p1 = Aexp(–i(ωt –kx cosθ–ky sinθ))	и p2 = A exp(–i(ωt –kx cosθ + ky sinθ)).

На рис. 5.4 показано направление волновых векторов k1 = (k cosθ,

204

k sinθ) и k2 = (k cosθ, –k sinθ), вдоль которых двигаются фронты пло- ских волн р1 и р2 со скоростью с. Решением волнового уравнения бу- дет суперпозиция этих волн

p3 = p1 + p2 = 2A exp(−i (ωt −kx cos θ))cos(ky sinθ).

(5.32)

Рис. 5.4. Направления волновых	Рис. 5.5. Пример поверхности
векторов k1 и k2	нулевого давления в волне p3

Возникает вопрос: что же представляет собой волна р3. Согласно (5.32) — это волна, которая бежит вдоль оси Ох, причем волновое число k cosθ = kx есть проекция волнового вектора k1 или k2 на ось Ox. Определим фазовую скорость движения волны вдоль оси Ox. По- скольку k cos θ = ω/υфx , то фазовая скорость волны вдоль оси Ох оп-

ределяется так:

υ	=	ω	=	c	.	(5.33)
фx	k cos θ			cos θ

Вдоль оси Оу образовывается стоячая волна. В ней можно выде- лить линии, вдоль которых давление р3 равно нулю. Эти линии опре- деляются уравнением

y k sinθ = ±	π		+ nπ		, n = 0,1,2,…	(5.34)
n		2

На рис. 5.5 изображены поверхности нулевого давления в поле волны р3. Согласно (5.34) существует совокупность параллельных оси Ох линий, вдоль которых давление р3 равно нулю.

Таким образом, суперпозиция двух волн дала возможность по- лучить волну, которая распространяется между двумя параллель- ными акустически мягкими поверхностями (координаты –y0 и y0),

205

или, другими словами, были удовлетворены требования граничного условия на акустически мягкой поверхности (т.е. давление равно нулю). Еще одним важным применениям принципа суперпозиции есть возможность изображения волны в виде суммы или интеграла других волн, которые проще изучать, чем исходную волну. Далее будем это использовать.

В конце параграфа еще раз подчеркнем, что принцип суперпози- ции справедлив в той же мере, в которой выполнена линеаризация уравнений акустики для звуковых волн. Для звуков большой ампли- туды принцип суперпозиции непригоден.

5.5. Отражение и прохождение звука на границе раздела двух акустических сред

В этом параграфе рассмотрим очень важную, с точки зре- ния теории и практики, задачу о взаимодействии звуковой волны с границей раздела двух сред.

5.5.1. Постановка и решения задачи

Пусть две среды, которые представляют собой идеальную сжимаемую жидкость, разделены плоской границей x = 0 (рис. 5.6). Параметры первой среды ρ1 и c1, второй — ρ2 и c2. В первой среде вдоль луча, который образовывает с осью Ox угол θ, распространяется плоская гармоническая волна давления

p0 = A0 exp(−i (ωt −k1x cos θ −k1y sinθ)),

(5.35)

где амплитуда A0 и волновое число k1 = ω/c1 считаются заданными, ω — частота.

Рис. 5.6. Пример падающей плоской волны на границу двух сред

206

При падении волны p0 на границу раздела x = 0 часть энергии волны отразится, а часть — пройдет в другую среду. Сделаем предпо- ложение: будем считать, что отраженная волна p1 и прошедшая волна p2 в другую среду — это плоские гармонические волны, частоты кото- рых совпадают с частотой ω падающей волны p0.

На рис. 5.6 углы θ1 и θ2 определяют направления лучей, вдоль ко- торых распространяются отраженная и прошедшая волны. Согласно принципу суперпозиции звуковое поле в первой среде определяется суммой падающей и отраженной волн, т.е. p(I) = p0 + p1, а во второй среде есть только прошедшая волна p(II) = p2. Сумма волн p0 + p1 = p(I) удовлетворяет волновому уравнению для первой среды

	1 ∂2 p(I)		=	∂2 p(I)	+	∂2 p(I)	,
	c2	∂t2		∂x2		∂y2
	1

а прошедшая волна во вторую среду, — уравнению

1 ∂2 p(II)			=	∂2 p(II)	+	∂2 p(II)	.
c22		∂t2		∂x2		∂y2

(5.36)

(5.37)

На границе раздела x = 0 должны выполняться два условия: силовое и кинематическое, т.е. равенство давлений и нормальной составляющей скорости частиц по обе стороны от границы x = 0: p(I) = p(II), υ(I)x = υ(II)x ,

при x = 0. Принимая во внимание формулы (4.36), перепишем эти ус- ловия в виде

p0 + p1 = p2, x = 0,

(5.38)

1			∂(p0 + p1)	=	1			∂p2	, x = 0.	(5.39)
	iωρ				iωρ
			∂x			2		∂x
1
Запишем давление в отраженной p1 и прошедшей p2 волнах:
p1 = A1 exp(−i (ωt +k1x cos θ1 −k1y sinθ1)),										(5.40)
p2 = A2 exp(−i (ωt −k2x cos θ2 −k2y sinθ2 )),										(5.41)

где A1 и A2 — неизвестные амплитуды давления отраженной и про- шедшей волн; k2 = ω /c2 — волновое число волны p2.

В формулах (5.40) и (5.41) учтен важный момент, связанный с на- правлением распространения отраженной и прошедшей волн. В этом направлении осуществляется перенос энергии от границы раздела в бесконечность, а не наоборот. Дело в том, что, изменив направление распространения волны p1 или p2, можно было бы удовлетворить гра- ничные условия (5.38), (5.39), но при этом возникла бы бессмыслен-

207

ная физическая ситуация. Правильный выбор направления распро- странения волн исключает подобные случаи. Сделанный в этом слу-

чае анализ носит название условия на бесконечности (или условия излучения).

Подставим (5.35), (5.40) и (5.41) в граничное условие (5.38):

A0 exp(ik1y sinθ)+ A1 exp(ik1y sin θ1) = A2 exp(ik2y sinθ2 ). (5.42)

Это равенство должно выполняться при любом значении координаты y , т.е. вдоль всей границы раздела сред. Но достичь этого, подбирая

лишь A1 и A2, невозможно. Отсюда следует, что необходимо прирав- нять показатели экспонент:

k1 sin θ = k1 sinθ1 = k2 sinθ2.

(5.43)

Эти уравнения наполнены глубоким физическим содержанием, суть которого состоит в том, что при падении плоской волны на границу раздела сред проекции волновых векторов падающей, от- раженной и прошедшей волн должны быть одинаковыми для любо- го угла падения θ падающей волны. Соотношение (5.43) можно пе- реписать через длины волн λ1 = 2π /k1 и λ2 = 2π /k2 (см. (5.5)):

sinθ	= sinθ1	=	sinθ2		.	(5.44)
λ
	λ		λ	2
1	1

Другими словами, следы, которые оставляют волны p0, p1, p2 на гра- нице x = 0 совпадают. Согласно (5.43) θ = θ1, т.е. угол падения волны равен углу отражения, и связь между углами θ и θ2 имеет вид

sin θ2	=	c2	.	(5.45)
sin θ
		c
	1

Уравнение (5.44) называется закон Снеллиуса . С учетом соотноше- ния (5.43) граничные условия (5.38) и (5.39) можно свести к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных A1 и A2 (сделай- те самостоятельно):

A	+ A = A ,				cos θ (A		− A ) =			cos θ2		A .
0	1		2			0		1		ρ2c2		2
					ρ1c1
Откуда
		A1	=	ρ2c2 cos θ − ρ1c1 cos θ2							,	(5.46)
		A
				ρ c		cos θ + ρ c		cos	θ
	0			2 2			1 1		2

Снеллиус (Snellius) Виллеброрд (1580—1626) — голландский астроном и математик.

208

	A2	=		2ρ2c2 cos θ		.	(5.47)
	A		ρ c	cos θ + ρ c cos θ	2
	0		2 2	1 1

Согласно (5.46) и (5.47), эффект отражения и проникновения звуко- вой волны не зависит от частоты ω .

Рис. 5.7. Распределение амплитуды давления в первой и второй средах:

ρ2c2 /ρ1c1 = 0,8, c2 /c1 = 0,7, θ = 60°, θ2 ≈ 37°

Отношение A1/A0 определяет коэффициент отражения по давле- нию, а A2/A0 — коэффициент прохождения по давлению. Как при- мер, на рис. 5.7 показано распределение амплитуды давления в пер- вой и второй средах в случае, когда, ρ2c2 /ρ1c1 = 0,8; c2 /c1 = 0,7; угол падения волны θ = 60°, угол прохождения θ2 ≈ 37°. Как видим, в пер- вой среде наблюдается картина интерференции двух волн p0 и p1 (значение амплитуды возрастает согласно изменению оттенка — от черного до белого), а во второй среде светлые и темные полосы, кото- рые перемежаются, соответствуют бегущей волне p2. Не сложно по- нять, что расстояние между двумя ближайшими темными или свет- лыми полосами равно половине длины волны. Обратим особое вни- мание на границу раздела сред x = 0, где четко видно, что следы волн p0, p1, p2 на границе x = 0 совпадают, т.е. выполняется равенство

(5.44).

5.5.2. Анализ нормального падения волны

Рассмотрим сначала частный случай, когда угол падения θ = 0. Это так называемое нормальное падение волны на границу раз- дела сред. Согласно закону Снеллиуса, имеем θ2 = 0. Запишем выра- жения для коэффициентов отражения Vp и прохождения Wp по дав-

209

лению в случае нормального падения звуковой волны на границу раз- дела двух сред:

Vp =

A1

=

ρ2c2 − ρ1c1

=

ξ −1,

ξ =

ρ2c2

,

(5.48)

A0

ρ2c2 + ρ1c1

ξ +1

ρ1c1

Wp

=

A2

=

2ρ2c2

=

2ξ

=1

+Vp ;

(5.49)

ρ2c2 + ρ1c1

ξ +1

A0

соответственно, принимая во внимание, что

υx =

1 ∂p

,

определим

iωρ ∂x

коэффициент отражения Vυ и прохождения Wυ по колебательной ско-

рости:

Vυ = −Vp =

ρ1c1 − ρ2c2

=

1− ξ

,

(5.50)

ρ c

+ ρ c

1+ ξ

1 1

2 2

Wυ =

ρ1c1

A2

=

2ρ1c1

=

2

=1+Vυ.

(5.51)

1 + ξ

ρ c

A

ρ c

+ ρ c

2 2

0

1 1

2 2

Если ρ2c2 > ρ1c1 (говорят, второй среда акустически более жесткая, чем первая), то Vυ будет отрицательным. Это означает, что у скорости частиц при отражении изменяется фаза на π, или отраженная волна колебательной скорости имеет противоположную фазу по сравнению с колебательной скоростью в падающей волне. При этом фаза давле- ния отраженной волны остается неизменной. Если ρ2c2 < ρ1c1 (вторая среда акустически более мягкая, чем первая), то фаза скорости час- тиц при отражении остается без изменения, в то время как давление изменяет свою фазу на π. В волне, которая прошла через границу, фазы давления и скорости совпадают с фазой в падающей волны не- зависимо от того, будет ρ2c2 больше или меньше, чем ρ1c1. Проведен- ный анализ отражают графики на рис. 5.8, а, б.

При условии ρ2c2 = ρ1c1 отраженной волны не будет, и прохожде- ние звука в другую среду происходит без препятствий. Таким обра- зом, при нормальном падении плоская волна не ощутит изменение свойств сред, если их волновые сопротивления оказываются равны- ми. Если волновые сопротивления сред существенно различаются (ρ2c2 >> ρ1c1 или ρ2c2 << ρ1c1), то наблюдается значительное отражение звука на границе раздела сред.

Сумма коэффициентов отражения и прохождения по давлению и скорости не равняется единице, как это можно было предположить, а, соответственно, 1 + 2Vp и 1 + 2Vυ. Коэффициенты прохождения че- рез границу с противоположных сторон не равны друг другу.

210