Основы_акустики_Гринченко_Вовк

	( N	)								(	N	)
	(1)		2			±i	2	− δ	2		(1)		c	4		. (3.115)
Y (t ) = AN exp	−δ ω		c t exp				ωN				ω				t

Этот процесс последовательного уточнения можно продолжать. Необ- ходимость в таком продолжении возникает лишь в случае существен- ного демпфирования, т.е. тогда, когда невозможно допустить, что

δ2 (ωN )c4 << ω2N .

Сделанные выкладки касаются одной определенной формы коле- баний. После этого легко получить выражение для функции y(x,t) в общем случае произвольных начальных условий. Итак, движение струны — это полная сумма нормальных колебаний с неопределен- ными комплексными амплитудами:

y =	∞	nπx							ωn2 − δ2 (ωn(1))c4		(3.116)
	∑ An sin		l	exp(−δ(ωn(1))c2t )exp ±i						t .
	n =1
Действительная часть комплексного решения (3.116) имеет вид
				y (x,t ) =	∞	nπ			(−δ(ωn(1))c2t )×
					∑ sin		x exp
				n =1		l
		ωn2	− δ2 (ωn(1))c4					ωn2			(3.117)
× an cos					t	+bn sin			− δ2 (ωn(1))c4 t .

Выбирая значения действительных постоянных an и bn, можно удов- летворить произвольным начальным условиям, эта процедура не от- личается от описанной в параграфе 3.5.

Таким образом, влияние трения обусловлено в каждом нормаль- ном колебании множителем exp(–δ(ω)c2t), который определяет затухание колебаний. Вместе с тем частоты собственных колебаний (3.114) близ- ки к ωn = nπc/l, если коэффициент затухания δ(ω ) мал. Конечно, с увеличением номера n нормального колебания коэффициент затуха- ния δ(ω ) увеличивается, поэтому высшие нормальные колебания за- тухают быстрее низших.

3.9. Свойства мембраны. Уравнение движения элемента мембраны

Рассмотрение простейших колебательных систем и систем, поддерживающих волновое движение, позволило раскрыть содержа- ние волновых физических понятий, которыми описываются акусти- ческие процессы, т.е. процессы распространения волн в жидкостях и газах. Перед тем как приступить к изучению акустических процес-

141

сов, полезно рассмотреть примеры двумерных волновых движений. При изучении закономерностей этих движений рассмотрим такую систему, как мембрана. Оказывается, добавление еще одного про- странственного измерения приводит к возникновению новых волно- вых явлений. Изучая их, необходимо помнить, что при переходе к но- вой колебательной системе важно понять новые факторы и явления, но при этом быть максимально убежденным в глубоком внутреннем единстве и схожести всех волновых процессов.

Построим математическую модель мембраны. Мембрана — это идеально гибкая, бесконечно тонкая плоская поверхность. Для того чтобы такая плоскость поддерживала волновое движение, она долж- на иметь два свойства. Прежде всего, элемент этой плоскости должен иметь массу. Это свойство поверхности будем характеризовать вели- чиной ρ, кг м–2 — поверхностной массой мембраны. Считаем ее за- данной. Понятно, что ρ = ρ0h, где ρ0 — удельная плотность материала мембраны, h — толщина мембраны. Кроме того, должна существовать восстанавливающая сила, т.е. сила, которая стремится возвратить элемент мембраны в равновесное состояние, если он был каким-то образом из него выведен. Эта сила возникает за счет всестороннего натяжения мембраны, которое характеризуется F, Н м–1 — силой на единицу длины элемента мембраны. Такая абстрактная модель мем- браны довольно близка по свойствам к мембране барабана.

Интуитивно ясно, что в мембране с такими свойствами возможно существование волны, для которой состояние с одинаковой фазой возникает вдоль прямой, перпендикулярной к направлению распро- странения волны. Здесь поведение мембраны подобно поведению системы параллельных струн с одинаковыми характеристиками. Ука- занные волны распространяются с постоянной скоростью без изме- нения формы. Но, кроме этой простейшей формы волнового движе- ния, в мембране могут существовать еще и другие. Если начальное возмущение приходится на некоторую круговую область, то в мем- бране будут распространяться круговые волны. Волновое движение можно генерировать, задавая начальное возмущение в области любой формы. Понятно, что в такой ситуации при распространении волн их форма уже не будет оставаться неизменной. Вообще, картина может стать такой сложной, что мы не сможем ее легко проанализировать. Поэтому здесь ограничимся лишь случаями прямоугольной и круговой мембран.

Прежде всего, выведем уравнение движения элемента мембраны. При этом реализуется процедура, подобная той, которая использова- лась при выводе уравнения движения элемента струны. Пусть по- верхность недеформированной мембраны совпадает с плоскостью xOy декартовой системы координат x, y, z. Отклонение элемента мембраны от положения равновесия происходит вдоль осы Oz пер-

142

пендикулярно плоскости xOy. Это отклонение, которое обозначим w(x,y,t), является функцией двух пространственных координат x,y и времени t.

Тогда частные производные ∂w/∂t и ∂ 2w/∂t 2 определяют соответ- ственно скорость и ускорение колеблющейся мембраны. Если зафик- сировать момент времени t = t0, то функция w(x,y,t0) будет определять форму колеблющейся мембраны при t = t0. Зададим нормаль к по- верхности мембраны и определим направляющие косинусы нормали

[8]:

	cos α =			−∂w ∂x				,
				(∂w ∂x )2 + (∂w ∂y)2	+1
	cos β =			−∂w ∂y			,
				(∂w ∂x )2 + (∂w ∂y)2	+1
	cos γ =			1		.
				(∂w ∂x )2 + (∂w ∂y)2	+1

Здесь α, β, γ — углы между нормалью и осями декартовой системы координат соответственно x, y, z.

Сделаем важное предположение: изучая малые колебания мембра- ны, считаем угол γ отклонения нормали от оси Oz настолько малым, что cos γ ≈ 1. Итак, будем считать малыми не только смещения w(x,y,t), но и частные производные ∂w/∂x и ∂w/∂y. Отсюда вытекает, что можно пренебречь квадратами частных производных: (∂w/∂x)2 << 1, (∂w/∂y)2 << 1. Понятно, что этот вывод целиком анало- гичен условию малости колебаний для струны. Из полученного усло- вия малости вытекают важные следствия. Поскольку площадь по- верхности мембраны определяется интегралом [8]:

S = ∫∫	1 + (∂w ∂x )2 + (∂w ∂y)2dxdy , то по условию малости имеем, что
(S )

изменением площади поверхности мембраны в процессе колебаний можно пренебречь. Естественно, это касается как всей мембраны, так и любой ее части. Отсюда, поскольку площадь определенной час- ти мембраны за все время колебаний считается неизменной, силу на- тяжения F можно считать постоянной на любом выделенном элементе мембраны (естественно при условии равномерного натяжения мем- браны).

143

Рис. 3.19. Силы, действующие на	Рис. 3.20. Декартова и полярная
элемент мембраны	системы координат

Для вывода уравнения движения рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности мембраны (рис. 3.19). Действие отброшенной части мембраны нужно заменить силами, которые распределены вдоль контура выделенного элемента мембраны. Поскольку мембрана не сопротивляется изгибу (идеально гибкая), эти силы будут действо- вать в касательных плоскостях к мембране, перпендикулярно к кон- туру выделенного элемента. Запишем взятое в проекции на ось Oz соотношение второго закона Ньютона для элемента мембраны со сто- ронами dx и dy. Поскольку справедливо предположение о неизменно- сти площади колеблющейся мембраны, силы натяжения на рис. 3.19 имеют вид Fdx и Fdy. Как и в случае струны, проекция на ось Oz сил, которые действуют на сторонах y и y + dy выделенного элемента, равна

Fdx	∂w (x,y + dy)− Fdx	∂w (x,y) = F	∂2w dxdy.	(3.118)
	∂y	∂y	∂y2

Аналогично вычисляем и вклад сил, которые действуют на сторонах x и x + dx элемента. Кроме указанных сил, связанных с наличием на- тяжения, на мембрану может влиять дополнительная внешняя сила, которую характеризуем поверхностной плотностью g(x,y,t), т.е. на выделенный элемент действует сила g(x,y,t)dxdy, направленная вдоль оси Oz.

С учетом того, что масса выделенного элемента равна ρdxdy, полу- чаем уравнение его движения:

∂

2

+

∂

2

+ g (x,y,t ) = ρ

∂

2

(3.119)

F

w

w

w .

∂x

2

∂y

2

∂t

2

Для дифференциального оператора, который является множитель при F в этом уравнении, в математической физике принятое специальное обозначение:

144

w =	∂2w	+	∂2w .	(3.120)
	∂x2		∂y2

Этот оператор называется оператором Лапласа . Согласно принятым обозначениям уравнения движения элемента мембраны записываем в виде

F w + g (x,y,t ) = ρ	∂2w .	(3.121)
	∂t2

Такая запись понятна не только своей лаконичностью. Дело в том, что во многих случаях целесообразно рассматривать движение мем- браны не в декартовой, а в другой системе координат. При этом, ко- нечно, можно используя связь между координатными системами, вы- вести выражение для оператора Лапласа в новой системе координат. Но такая работа довольно громоздкая. Поскольку оператор Лапласа встречается во многих задачах математической физики, его выраже- ния для ряда координатных систем, которые встречаются на практи- ке, приведены в справочной математической литературе [8]. Приве- дем, необходимое в дальнейшем, выражение оператора Лапласа в по- лярной системе координат (r,θ) в виде

w =	∂2w	+	1 ∂w	+	1	∂2w .	(3.122)
	∂r 2		r ∂r
				r 2 ∂θ2

В этом случае положение точки M(r,θ) на плоскости определяется рас- стоянием r от некоторой фиксированной точки O и углом между от- резком OM и некоторым фиксированным направлением. Если одно- временно на плоскости вводятся полярная и декартова системы ко- ординат, то, точка О совмещается с началом координат, а направле- ние отсчета угла θ определяется осью Ох (рис. 3.20).

В случае, когда внешние силы не действуют на мембрану (q(x,y,t) = 0), выражение (3.121) приобретает вид стандартного волно- вого уравнения для случая двух пространственных координат:

w =	1	∂2w	;	c2 =	F .	(3.123)
c2 ∂t2					ρ

Лаплас (Laplace) Пьер Симон (1749—1827) — французский математик, физик и астроном.

145

3.10. Особенности волнового движения в мембране

Раньше было указано, что в мембране возможны волновые движения такого характера, как и для системы параллельных струн. Например, выражение

w(x,y,t) = F(x cosθ + y sinθ – ct) (3.123а)

удовлетворяет волновому уравнению (3.123) (убедитесь в этом). Такое выражение представляет собой волну, распространяющуюся со ско- ростью с в направлении, которое образует угол θ с осью Ох. Волновые фронты представляют собой линии постоянной фазы x cosθ + + y sinθ – ct = const, перпендикулярные этому направлению. Такие волны называются линейчатыми.

Если бы волновое движение типа (3.123а) было единственно воз- можным в мембране, то здесь не было бы ничего нового. Но, посколь- ку волновое уравнение (3.123) - линейное, то сумма любого числа его решений также является решением. При этом определенные комби- нации волновых движений типа (3.123а) могут обусловить намного более сложные волны. Так, исходя из решения типа (3.123а), можно построить выражение

w (x,y,t ) = 2∫πF (x cos θ + y sin θ −ct )dθ,

0

которое также удовлетворяет волновому уравнению. Но такое реше- ние уже не является линейчатой волной.

Рис. 3.21. График изменения возмущения в точке М в зависимости от вре- мени t

Другая особенность волнового движения в мембране связана с распространением начального возмущения. Пусть начальное возму- щение задано в некоторой области S0 на плоскости xOy. Рассмотрим изменение состояния мембраны в точке M, которая находится вне об- ласти S0. Для моментов времени t > 0 начальное возмущение распро- страняется вдоль поверхности мембраны. Но пока оно не подойдет к точке М, эта точка остается неподвижной. Пусть в момент времени t = t1 передний фронт возмущения дошел к точке M. В дальнейшем оказывается [52, с. 412], что при t > t1, имеем w(M,t) ≠ 0. Это означает,

146

что с момента t = t1, в точке M возникает возмущение, которое снача- ла возрастает, а потом, начиная с некоторого момента, постепенно уменьшается до нуля (при t → ∞) (рис. 3.21). В этом явлении последей- ствия и есть отличие плоского (двумерного) случая от пространствен- ного (трехмерного), для которого волна, образованная вследствие не- которого начального возмущения, всегда имеет передний и задний фронты. Начальное возмущение, которое локализовано на плоскости мембраны, оказывается не локализованным во времени и характери- зуется продолжительным последействием в виде остаточного возму- щения. Мгновенная картина возмущения на плоскости имеет резко очерченный передний фронт, и не имеет заднего фронта. Эти осо- бенности характерны для двумерных волн разной физической приро- ды. Наверно сложно представить себе жизнь в таком двумерном ми- ре, ведь каждое произнесенное слово звучало бы здесь очень долго!

3.11. Свободные колебания в прямоугольной мембране

Задача, которая будет рассматриваться далее, формулиру- ется так. Пусть есть прямоугольная мембрана со сторонами lx и ly (рис. 3.22), которая закреплена на краях. В момент времени t = 0 из- вестны начальные отклонения и скорости точек мембраны:

w(x, y, 0) = Q1(x, y);	∂w	(x,y,0) = Q2 (x,y).	(3.124)
	∂t

Рис. 3.22. Прямоугольная мембрана

Надо определить дальнейшее движение мембраны, если на нее не влияют никакие внешние силы. Поставленная задача будет решена, если отыщется такая функция w(x, y, t), которая будет удовлетворять уравнению

w =	1	∂2w	(3.125)
		∂t2
c2

с граничными условиями:

147

w(0, y, t) = w(lx, y, t) = 0,
w(x, 0, t) = w(x, ly, t) = 0	(3.126)

и начальными условиями (3.124). Само описание постановки задачи показывает, что целесообразнее рассматривать ее в декартовых ко- ординатах.

Задачи в такой постановке уже рассматривались для струны, как одномерной колебательной системы. Поэтому следующий шаг в данной ситуации очевиден — необходимо искать нормальные колебания мембраны, т.е. периодические движения в ней, которые согласованы с граничными условиями.

3.11.1. Нормальные колебания

Таким образом, необходимо начинать с поиска решений вида

w(x, y, t) = W(x, y)exp(–iωt).

(3.127)

Подставляя (3.127) в волновое уравнение (3.125), получаем уравнение Гельмгольца для амплитудной характеристики W(x, y):

W + k2W = 0, k2 = ω2/c2.

(3.128)

Функция W(x, y) в соответствии с граничными условиями (3.126) должна обладать такими свойствами:

W(0, y) = W(lx, y) = 0,

W(x, 0) = W(x, ly) = 0.

(3.129)

Эти требования проще всего можно было бы удовлетворить, если бы саму функцию W(x, y) можно было записать в виде

W(x, y) = X(x)Y(y).

(3.130)

Рассмотрим равенство (3.130), где искомая функция от двух коор- динат представлена в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной координаты, как предположение о струк- туре искомого решения. Если, учитывая это допущение, рассмотреть (3.128), то получим соотношение

Yd2X + X d2Y +k2XY = 0 , dx2 dy2

или

Гельмгольц (Helmholtz) Герман Людвиг Фердинанд (1821—1894) — не- мецкий физик и математик.

148

	1	∂2X		1		d2Y
			= −		k2Y +		.	(3.131)
	X dx2			Y		dy2

Левая сторона этого уравнения есть функция только х, а правая — только у. Причем это равенство должно сохраняться при любых зна- чениях х и у. При таком условии единственная допустимая возмож- ность заключается в том, чтобы считать эти выражения независимы- ми ни от х, ни от y, т.е. они могут равняться некоторой постоянной величине. Обозначим эту постоянную: -α2. Вообще сама величина α может быть комплексной и потому введение знака минус перед α2 не имеет принципиального значения. Это сделано лишь для удобства.

Таким образом, исходя из (3.131), можно сделать вывод, что реше- ние уравнения Гельмгольца в виде (3.130) существует, причем функ- ции, которые входят в него, определяются из обычных дифференци- альных уравнений:

d2X	+ α2X = 0,	d2Y	+ (k2 − α2 )Y = 0.
dx2		dy2

Их общие решения имеют такой вид:

X(x) = a1cos(αx) + a2sin(αx),

k

2

− α

2

k

2

− α

2

(3.132)

Y (y) = b1 cos

y

+b2 sin

y .

Итак, установлено, что уравнение Гельмгольца (3.128) в декарто- вых координатах имеет решение вида (3.130). Это обстоятельство является основой утверждения о том, что уравнение Гельмгольца допускает разделение переменных в декартовых координатах. Факт разделения переменных очень важен для построения решения урав- нения в частных производных. Именно поэтому при математиче- ском моделировании волновых процессов разной физической при- роды широко используются координатные системы, в которых раз- деляются переменные в уравнении Гельмгольца.

Выражения (3.132) дают решение исходного уравнения (3.128) при произвольном значении α и частоты колебаний ω (волнового чис- ла k). Однако они не удовлетворяют краевым условиям. Согласно (3.129) должны выполняться равенства

X(0) = X(lx) = 0,
Y(0) = Y(ly) = 0.	(3.133)

Отсюда получим такие значения произвольных величин в (3.132) (сде- лайте самостоятельно):

149

wnm(x, y, t) = AnmWnm(x, y)exp(–iωnmt).

Действительная часть полученного комплексного решения имеет вид

wnm(x, y, t) = Wnm(x, y)[anmcos(ωnmt) + bnmsin(ωnmt)].

a1 = 0; b1 = 0; αn = nlxπ, n = 1, 2, …,

	k2	− α2		mπ		2
			=			, m = 1, 2, …, n = 1, 2, …	(3.134)
	nm	n		l	y

Величины a2 и b2 остаются произвольными.

Теперь можно сказать, что нормальные колебания мембраны най- дены. Периодическое движение мембраны с частотой ωnm = cknm мо- жет быть описано функцией

(3.135)

(3.135)

(3.136)

Здесь Anm — произвольная комплексная постоянная; anm, bnm — про- извольные действительные постоянные. Собственные формы и собст- венные частоты определяются так:

W

(x,y) = sin

nπ

x

sin

mπ

y ,

nm

lx

ly

n

2

2

ω

= cπ

+ m

, n, m = 1, 2, …

(3.137)

nm

lx

ly

Проанализируем полученное решение. Как видно из (3.135)— (3.137), нормальное колебание прямоугольной мембраны, закреплен- ной по контуру, есть стоячая волна. Рассмотрим сначала простейшее колебание, которое соответствует случаю n = m = 1:

w			πx			πy
	(x,y,t ) = A sin			sin			exp(−iω t ).
11	11	lx				ly		11

Его частота ω11 = πc 1/lx2 +1/ly2 есть наименьшая нормальная часто-

та, она характеризует основной тон мембраны. При колебании мем- браны контур ее остается неизменным, а все точки отклоняются вме- сте или с одной стороны плоскости xOy, или из другой. Наибольшую амплитуду колебаний имеет точка с координатами x = lx/2, y = ly/2, т.е. центр мембраны. Как и для струны, такие точки называются точками вспучивания. Линии, точки которых не колеблются, назы- ваются узловыми линиями. Для нормального колебания w11(x, y, t) уз-

150