МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

О. Н. Кучер

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебно-методическое пособие «Математический анализ» по дисциплине «Математика. Математический анализ» включает краткое описание методов, разбор типовых задач и варианты заданий для самостоятельной работы.

Методические указания предназначены для студентов ИФ ГУАП, обучающихся по направлению 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» направленности «Программное обеспечение средств вычислительной технике и автоматизированных систем», изучающих дисциплину «Математический анализ». Содержение данного пособия соответствует требования ФГОС 3++.

Материал, изложенный в данном пособии, охватывает основные разделы дисциплины «Математика. Математический анализ», которая изучается в первом семестре и является составной частью дисциплины «Математика».

Впервых трех главах определяются базовые понятия математического анализа такие, как множества, функция одной переменной, предел функции в точке, непрерывность функции в точке и на промежутке. Четвертая и пятая главы посвящены производной и дифференциалу функции, аналитическим и геометрическим приложениям производных. В шестой, седьмой и восьмой главе речь идет о интегральнм исчисление функций одной переменной. Теоретический материал используется для решения типовых задач.

Ввариантах заданий для самостоятельной работы присутствуют параметры M и N, которые определяются из последних двух цифр номера студенческого билета следующим образом: xxxx/xxMN, либо задаются преподавателем.

Вприложении 1 представлены формулы элементарной математики, а в приложении 2 – свойства и графики основных элементарных функций.

Несмотря на то, что в пособии излагаются традиционные положения математического анализа, оно является важной составляющей учебного процесса, особенно для студентов очно–заочной и заочной форм обучения, а также может быть востребовано при изучении других дисциплин.

Структура и содержание пособия соответствует государственному образовательному стандарту и программе учебной дисциплины.

3

ТЕМА I. МНОЖЕСТВА

Определение 1. Множеством называется совокупность объектов, наделенных одним или несколькими общими свойствами. Объекты, из которых состоит множество, называется его элементами. Обозначения: А, B, C,... – множества, a, b, c,... – объекты множества, Пустое множество – .

Числовые множества:/N={1, 2,..., n,...} –натуральных чисел, Z={..., –n,..., –1, 0, 1,..., n,...} – целых чисел, Q={a: a=p/q, p, q Z, q ≠ 0} –рациональных чисел, /R – вещественных чисел.

Числовые промежутки: (a, b)={x: a< x–b}, [a,b)={x: a≤ x< b}, (a, b]= {x: a–x≤ b}, [a, b]={x: a≤ x ≤ b}, (–∞, a)={x: x < a}, (–∞, a]={x: x ≤ a}, (b, +∞)={x: x > b}, [b, +∞)={x: x ≥ b}.

Определение 2. Верхней (нижней) границей непустого множества

Хназывается число М (m) такое, что х ≤ М (x≥ m) для любого х Х. Определение 3. Наименьшая (наибольшая) из всех верхних гра-

ниц называется точной верхней границей (точной нижней границей) множества Х. Обозначения: supX (supremum X) (inf X (infimum X)).

Операции над множествами

Определение 4. Множество А содержится в множестве В, если любой элемент множества А является элементом множества В. Такая операция называется включением. Обозначение: А В.

Определение 5. Пересечением множеств А и B называется множество, состоящее из элементов обоих множеств одновременно.

Обозначение: А ∩ В.

Определение 6. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат, по крайней мере, одному из множеств А или В. Обозначение: А В.

Определение 7. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначение: А \ В.

Задачи

1. Рассмотрим множества: А=(2, 3), В=[2, 3), C=[2, 3], /N. Найти inf и sup этих множеств.

Решение: Имеем infA=infB=infC=2, supA=supB=supC=3.

Для натуральных чисел inf /N=1, sup /N=+∞.

2. Для числовых множеств /N, Z, Q, /R записать цепочку включений.

4

Решение: /N Z Q /R.

3. Для множеств А=(0, 4], B=(2, 5), найти их объединение, пересечение и разность.

Решение: А∩ В=(2, 4], А В=(0, 5), А \ В=(0, 2], B \ A=(4, 5)

Упражнения

1. Рассмотрим множества: А=(–∞, M+1), В=[N, +∞), C=[M – 9, N+8]. Найти inf и sup этих множеств.

2. Для числовых множеств A={(x; y): 2x+y<M+5} и B={(x; y): 2x – y > N+8} в декартовой плоскости найти их объединение, пересечение и разность.

3. Для множеств А=(N – 9, M+10], B=(–N, 2M+11), найти их объединение, пересечение и разность.

5