Решение: Рассмотрим функцию f(x)=21/x. Точка x0=0, в которой функция не определена, является точкой разрыва. Вычислим одно-

11

сторонние пределы lim 2x =0, lim 2x = +∞. Таким образом, точка x→0− x→0+

x0=0 – точка разрыва второго рода.

Схематичный график функции f(x)=21/x представлен на рис. 3.4.

Упражнения

1. Найти пределы следующих последовательностей:

а)  lim

nN + Mn−8

; б)  lim (

−

); в)  lim

(n+ Ì)sinn2 .

n− N

n+ M

n→∞ 2−6nM

n→∞

n→∞ Nn2 +n3

2. Найти пределы следующих функций:

x2 +(N − M)x− MN

N

sin Mx

M

+1−x

а)  lim

; б)  lim

x

; в) lim

tgNx

;

−2M

x→M x2 +(2− M)x

x→∞

x→0

(M +1)x−1

Nx+1

г)  lim

.

x→∞

(M +1)x

3. Найти пределы, используя эквивалентные функции:

ln(MxN +1)

а)  lim

; б)  lim

1−x2M

;

в)  lim

arcsin Mx

;

−

tgNx

x→0 xN − Mx−2M

x→0e(N+2)x

1

x→0

г)  lim cos Mx−cos Nx.

x→0

(n+3)x2

x2 + M

4. Исследовать функцию

y =

на непрерывность, найти

Nx+1

асимптоты.

17