Поскольку каждый из пределов равен бесконечности, исходный интеграл будет расходиться.

Упражнения

1. Исследуйте на сходимость несобственные интегралы:

+∞	(N +2)dx		+∞			dx	+∞	dx
а)  ∫		; б)  ∫					; в)  ∫		;
	2			x	3	+ Mx+ N		M+3
0	M +1+ x		1				1	(N +2)x
+∞	dx
г)  ∫			.
	ln((N +4)x)
2

2. Используя эквивалентность, исследовать на сходимость несобственные интегралы:

4

+∞

1

+(N +3)

x

3

(x+ N)arctgxdx

1ln

dx

а)

∫

;

б)  ∫

;

(2+M)x

3 M + x4

−1

1

0

e

+∞

dx

в)

∫

.

(x+ N)ln(x+ M)

1

M+3 dx

3. Исследуйтенасходимостьнесобственныйинтеграл −N∫−1x3+N .

47

ПРИЛОЖЕНИЕ

Формулы элементарной математики

1. Тождества сокращенного умножения

a2 −b2 =(a−b)(a+b)

a3 +b3 =(a+b)(a2 −ab+b2) a3 −b3 =(a−b)(a2 −ab+b2 ) (a±b)2 = a2 ±2ab+b2

(a±b)3 = a3 ±3a2b+3ab2 ±b3

−разность квадратов

−сумма квадратов

−разность кубов

−квадрат двучлена

−куб двучлена

2. Квадратное уравнение ax2+bx+c=0, a ≠ 0

D = b2 −4ac >0,x1,2 = −b±D;

2a D = b2 −4ac =0,x1 = x2 = 2−ab;

D = b2 −4ac<0, вещественных решений нет

	Теорема Виета:
	x		+ x		= −			b
								a
		1	2
	Åñëè D ≥0, òî					c
	x		x	=
		1	2			a

3. Разложение квадратного трехчлена на множители

Если D=b2 – 4ac ≥ 0, то ax2+bx+c=a(x – x1)(x – x2) 4. Степени

an = a a a ...a ,n N,n ≠1

n множителей

a1 = a;

a0 =1,a ≠ 0;

a−n = 1 ,a ≠ 0,n N; an

m

an =nam,a ≠ 0,m Z,n N.

48

Свойства степеней:

am an = am+n;

am : an = am−n;

(am)n = amn;

(ab)n = anbn;

a n

an

=

,b ≠ 0.

bn

b

5. Логарифмы и их свойства

b

aloga = b,a >0,a ≠1,b >0;

logc(ab) =logc a+logc b,a >0,c >0,b >0,c ≠1;

a

logc

=logc a−logc b,a >0,c >

0,b >0,c ≠1;

b

logc ak = klogc a,a >0,c>0,c ≠1;

logc (n

)= 1logc a,a >0,c>0,b >

0,c≠1,n N;

a

n

logc b =

logc b

,a >0,c>0,b >0,a ≠1,c≠1.

logc a

6. Тригонометрия

а) Знаки тригонометрических функций

Четверть

функция

sinα

cosα

tgα

ctgα

I

+

+

+

+

II

+

–

–

–

III

–

–

+

+

IV

–

+

–

–

	б) Значения тригонометрических функций при некоторых зна-
	чениях аргумента
					Аргумент
	Функция	0	p/6	p/4	p/3	p/2	p	3p/2	2p
		(0о)	(30о)	(45о)	(60о)	(90о)	(180о)	(270о)	(360о)
	sinα	0	1	2	3	1	0	–1	0
			2	2	2
									49

					Аргумент
	Функция	0	p/6	p/4	p/3	p/2	p	3p/2	2p
		(0о)	(30о)	(45о)	(60о)	(90о)	(180о)	(270о)	(360о)
	cosα	1	3	2	1	0	–1	0	1
			2	2	2
	tgα	0	1	1	3	–	0	–	0
			3
	ctgα	–	3	1	1	0	–	0	–
					3
	в) Формулы приведения

					Аргумент
	Функция
		p/2 – α	p/2+α	p – α	p+α	3p/2 – α	3p/2+α	2p – α	2p+α
	sinα	cosα	cosα	sinα	–sinα	–cosα	–cosα	–sinα	sinα
	cosα	sinα	–sinα	–cosα	–cosα	–sinα	sinα	cosα	cosα
	tgα	ctgα	–ctgα	–tgα	tgα	ctgα	–ctgα	–tgα	tgα
	ctgα	tgα	–tgα	–ctgα	ctgα	tgα	–tgα	–ctgα	ctgα

г) Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

tgα = cossinαα,α ≠ 2p + pn,n Z; ctgα = cossinαα,α ≠ +pn,n Z; sin2 α+cos2 α =1,α R;

tgα ctgα =1,α ≠ p2n,n Z;

	1+tg2α =	1		,α ≠ p		+ pn,n Z;
		cos2 α
				2
	1+ctg2α =		1		,α ≠ pn,n Z.
			sin2 α

д) Формулы сложения для тригонометрических функций

50

	sin(α+β) =sinα cosβ+cosα sinβ;
	sin(α−β) =sinα cosβ−cosα sinβ;
	cos(α+β) = cosα cosβ−sinα sinβ;
	cos(α−β) = cosα cosβ+sinα sinβ;
	tg(α+β) =	tgα+tgβ	,α ≠ p	+ pn,β ≠ p	+ pn,(α+β) ≠ p	+ pn,n Z;
		1−tgα tgβ
			2	2	2
	tg(α−β) =	tgα−tgβ	,α ≠ p	+ pn,β ≠ p	+ pn,(α−β) ≠ p	+ pn,n Z;
		1+tgα tgβ
			2	2	2

ctg(α+β) = ctgα tcgβ−1,α ≠ pn,β ≠ pn,(α+β) ≠ pn,n Z; ctgα+ctgβ

ctg(α−β) = ctgα tcgβ+1,α ≠ pn,β ≠ pn,(α−β) ≠ pn,n Z. ctgα−ctgβ

е) Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

sin2α =2sinα cosα;

cos2α = cos2 α−sin2 α;

tg2α =

2tgα

,α ≠ p

+ pn

,α ≠ p

+ pn,n Z;

1

−tg2α

4

2

2

ctg2α =

ctg2α−1

,α ≠

pn

,n Z;

2ctgα

2

sin3α =3sinα−4sin3 α;

cosα =4cos3 α−3cosα;

tg3α =

3tgα−tg3α

,α ≠

p

(2n+1),n Z;

1−3tg2α

6

ctg3α =

3ctgα−ctg3α

,α ≠

pn

,n

Z.

1−3ctg2α

3

ж) Формулы половинного аргумента sin2 α2 = 1−cos2 α;

cos2 α2 = 1+cos2 α;

tg2 α2 = 11+−coscosαα,α ≠ p(2n+1),n Z;

51

ctg2 α2 = 11+−coscosαα,α ≠2pn,n Z;

tgα2 = 1+sincosαα = 1−sincosαα,α ≠ pn,n Z; ctgα2 = 1+sincosαα = 1−sincosαα,α ≠ pn,n Z

з) Формулы преобразования суммы и разности тригонометриче-

ских функций в произведение

sinα+sinβ =2sin

α+β

cos

α−β

;

2

2

sinα−sinβ =2cos

α+β sin α−β

;

2

2

cosα+cosβ =2cos α+β cos α−β;

2

2

cosα−cosβ = −2sin α+β sin

α−β;

sin(α+β)

2

α ≠ p

2

β ≠1p

tgα+tgβ =

,

(

n− ),2

(

n−

), n Z2;

cosαcosβ

2

2

tgα−tgβ =

sin(α−β)

,

α ≠ p

(

n− ),2

β ≠1p

(

n−

), n Z2;

cosαcosβ

2

2

ctgα+ctgβ = sin(α+β) , α ≠ pn, β ≠ pn, n Z; sinαsinβ

ctgα−ctgβ = sin(α−β) , α ≠ pn, β ≠ pn, n Z; sinαsinβ

1+cosα =2cos2 α2;

1−cosα =2sin2 α2.

и) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

sinα sinβ = 12(cos(α−β) −cos(α+β)); cosα cosβ = 12(cos(α+β) +cos(α−β)); sinα cosβ = 12(sin(α+β) +sin(α−β)).

52

к) Простейшие тригонометрические уравнения

	Уравне-	Формула решения	Частные случаи					Примечание
	ние
			sin x =0, åñëè x =pn;		arcsin(−a) = −arcsin a
	sinx=a	x =(−1)n arcsin a+pn	sin x =1, åñëè x =p	2+2pn;
						a		≤1, n Z
			sin x = −1, åñëè x = −p 2+2pn.
			cos x =0, åñëè x =p	2+pn;	arccos(−a) = p−arccosa
	cosx=a	x =±arccos a+2pn	cos x =1, åñëè x =2pn;
						a		≤1, n Z
			cos x = −1, åñëè x =p+2pn.
	tgx=a	x =arctga+pn	tgx =0, åñëè x =pn		arctg(−a) = −arctga
					a R, n Z
	ctgx=a	x =arcctga+pn	ctgx =0, åñëè x =p	2+pn	arcctg(−a) = p−arcctga
					a R, n Z

53