3. Движение тел переменной массы. Реактивное движение

До сих пор мы считали, что масса тел в процессе их движения не меняется. Но так обстоит дело не всегда.

Рассмотрим, например, движение ракеты — классический пример тела, масса которого уменьшается по мере расхода топлива (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Пусть в момент времени t масса ракеты m, а её скорость . Спустя dt секунд скорость ракеты увеличится на , а масса уменьшится на величину dm и станет (m – dm).

dm — масса сгоревшего топлива, которое покинуло ракету со скоростью относительно неё. Изменение импульса системы за время dt можно представить в следующем виде:

.

Слагаемым dm∙dV пренебрежем как малой величиной высшего порядка по сравнению с остальными слагаемыми. Значит

.

Это изменение импульса системы равняется импульсу действующей внешней силы

Полученный результат перепишем в форме уравнения движения

(4.14)

Здесь: слева — произведение массы ракеты на её ускорение,

справа — действующие силы: — внешняя сила,

— реактивная сила.

Реактивная сила возникает потому, что вылетающим продуктам сгорания сообщается относительная скорость . Вначале топливо было в покое относительно ракеты. Затем оно двигалось ускоренно и достигло скорости . Это ускорение обусловлено силой взаимодействия продуктов сгорания с ракетой. Но по третьему закону Ньютона сила действует не только на продукты сгорания, но и на ракету. Это и есть реактивная сила, пропорциональная относительной скорости и секундному расходу топлива .

Уравнение (4.14) называется уравнением движением тела переменной массы. Оно было впервые получено И.В. Мещереным и носит его имя:

(4.15)

где: — реактивная сила.

Теперь посмотрим, как будет двигаться ракета, на которую не действуют никакие внешние силы ( = 0). Движение ракеты будем считать прямолинейным и спроецируем уравнение (4.15) на направление её движения:

;

отсюда:

;

или

. (4.16)

Постоянную интегрирования с найдём из начального условия. Будем считать, что в начальный момент полета — в момент старта — скорость ракеты V₍₀₎ = 0, а её масса равна стартовому значению m₀.

Перепишем (4.16) для этих начальных условий:

V₍₀₎ = 0 = —U∙ln∙m₀ + c,

то есть

c = U∙ln∙m₀

Используя этот результат в уравнении (4.16) получим

. (4.17)

Это соотношение называется формулой Циолковского.

Используя эту формулу, оценим, например, какой должна быть стартовая масса ракеты m₀, чтобы вывести на околоземную орбиту груз массой m = 10³ кг.

Первая космическая скорость составляет V = 8 км/с, а относительная скорость истечения продуктов сгорания U — порядка 2 км/с.

Тогда

и

кг.

Если скорость истечения U принять равной 1 км/с, то есть вдвое меньше, то стартовая масса ракеты возрастёт до значения кг.

То есть 3 тысячи тонн!

Таково влияние качества ракетного топлива на стартовую массу ракеты.

Лекция 5 «Динамика материальной точки»

План лекции

1. Движение в неинерциальных системах отсчёта. Силы инерции.

   1. Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

   2. Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта.

   3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.