2. Собственные незатухающие колебания

Классифицируя колебания, их делят, прежде всего, на собственные и вынужденные. Представить себе собственные колебания осциллятора очень просто: отведите из положения равновесия обычный маятник и отпустите. Движение, которое за этим последует, и есть собственные колебания маятника.

Если же колебания поддерживаются периодической «вынуждающей» силой, то возникнут вынужденные колебания.

Мы обращаемся к рассмотрению собственных колебаний, амплитуда которых не меняется во времени. Такие колебания называются собственными незатухающими.

1. Пружинный осциллятор

Пружинный маятник — это грузик массой m, прикреплённый к пружине жесткостью k. Грузик может двигаться вдоль оси x по горизонтальной поверхности без трения (рис. 12.4). Начало отсчета совместим с положением равновесия. Тогда координата грузика — x в любой момент времени равна деформации пружины. На движение маятника оказывает влияние только упругая сила. Запишем уравнение движения этого маятника.

Рис. 12.4

.

Это дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний пружинного осциллятора. Его принято записывать так:

(12.3)

Решением этого уравнения является гармоническая функция

x = a Cos (₀t + ). (12.4)

Покажем, что предлагаемая функция удовлетворяет уравнению (12.3). Возьмём вторую производную по времени функции (12.4)

. (12.5)

Подставим (12.4) и (12.5) в дифференциальное уравнение (12.3).

Это равенство становится тождеством, если .

Так мы показали, что пружинный маятник при отсутствии сил трения совершает собственные незатухающие гармонические колебания x = aCos(₀t + ) c частотой . Эта частота зависит только от свойств осциллятора: массы груза m и жёсткости пружины k.

Начальная фаза —  определяется методом задания колебаний. Оттянем вначале груз на расстояние x₀ = a и отпустим. При таком запуске колебаний в момент t = 0, x(0) = x₀ = a. При этом Cos (t + ) = Cos  = 1. Откуда следует, что  = 0.

Теперь запустим колебания по–другому. Нанесем по грузику, покоящемся в положении равновесия, короткий удар, сообщив ему тем самым начальную скорость v₀. В начальный момент времени t = 0, x(0) = 0 и Cos (t + ) = Cos  = 0. Отсюда приходим к выводу, что при таком запуске колебаний  = . Знак начальной фазы в этом случае определяется направлением начальной скорости v₀.

Можно оттянуть грузик из положения равновесия и не просто отпустить, но и толкнуть. Тогда начальная фаза может принять любое значение от 0 до 2.

Зная частоту колебаний , легко вычислить период:

.

Скорость колеблющегося грузика:

(12.6)

тоже меняется по гармоническому закону с частотой ₀. Амплитуда колебания скорости равна a₀, а по фазе скорость на опережает смещение.

Ускорение груза

(12.7)

колеблется с той же частотой ₀, опережая смещение по фазе на  (рис. 12.5).

Рис. 12.5

2. Математический маятник

Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик на легкой длинной нити (рис.12.6).

Рис. 12.6

Движение такого маятника происходит под действием двух сил: силы тяжести — и упругой силы натяжения нити — . Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на касательное направление :

–mg Sin  = ma_. (12.8)

Тангенциальное ускорение a_ связано с угловым ускорением :

.

Учтя это соотношение, перепишем уравнение движения ещё раз:

,

или так:

.

При условии «малых колебаний» Sin    и уравнение движения приобретает знакомую форму:

. (12.9)

Это дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника. Решение такого уравнения известно — это гармоническая функция:

 = ₀ Cos (t + ).

Квадрат круговой частоты этих колебаний равен коэффициенту при функции в уравнении (12.9):

, то есть . (12.10)

Частота определяется только длиной нити. Период колебаний математического маятника равен:

. (12.11)