Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

Таким образом, мы теперь знаем, как найти отношение масс двух тел. Для этого нужно измерить их ускорения при взаимодей­ ствии. А как найти массу каждого отдельного тела? Здесь посту­ пают так же, как и при измерении других величин. Чтобы, напри­ мер, найти число, выражающее длину тела, мы сравниваем ее с эталоном длины — метром (см. стр. 31). Таким же способом определяют численные значения масс: чтобы найти число, выра­ жающее массу отдельного тела, нужно сначала выбрать какоенибудь тело, массу которого условно принимают за единицу,— эталон массы. Затем провести опыт; в этом опыте тело, масса которого определяется (измеряется), должно как-то взаимодей­ ствовать с эталоном массы (см. рис. 77). Тогда оба они, и тело, и эталон, получат ускорения, которые можно измерить, и мы смо­ жем написать равенство

I аэтI	т т
K I	~Щт
или
тт=	тэт,	(2)

где т т и ат— масса и ускорение тела, а /тгэт и аэт — масса и уско­ рение эталона. Но масса эталона равна единице, поэтому

пгт=	единиц массы.
	K I
Масса тела — это величина, выражающая		его инертность.
Она определяет отношение ускорения эталона		массы к ускоре­
нию тела при их взаимодействии.

Так можно определить массу любого тела, если только верно наше предположение о том, что отношение абсолютных значений ускорений взаимо­ действующих тел равно обратному отношению их масс. Для того чтобы убедиться в правильности сделанного предположения, возьмем два тела 1 и 2 и определим

их массы т г и /п2>	пользуясь одним и тем же	эталоном.	Затем,	поместив
сами эти тела на центробежную машину, измерим их ускорения				а х	и а 2 .
Опыт ц£м покажет,	что, какие бы тела мы ни	взяли,	отношение		^•
					I «11
всегда равно отношению — — . Следовательно,		наше предположение			спра-
	/7*2

ведливо.

На Международном конгрессе в 1889 г. в качестве эталона массы была принята масса специально изготовленного цилиндра из сплава платины и иридия. Масса этого цилиндра и есть между­ народная единица массы — к и л о г р а м м (сокращенно: кг). Эталон массы хранится в Международном бюро мер и весов

80

(во Франции). В СССР, как и в некоторых других странах, имеется копия этого эталона. С достаточной точностью можно считать, что массой в 1 кг обладает 1 л чистой воды при 15° С.

Масса наряду с такими величинами, как длина и время, входит в число основных величин систем единиц СИ и СГС. В системе единиц СГС за единицу массы принимается г р а м м (сокра­ щенно: г): 1 г = 0,001 кг.

Не следует думать, что каждый раз, когда нужно измерить

массу какого-нибудь тела,	его заставляют взаимодействовать с
эталоном массы и измеряют ускорения		тела и эталона. Такой
способ практически, конечно, неудобен.		Существует, к счастью,
другой способ измерения	массы — в з в е ш и в а н и е , которым
обычно и пользуются. Об этом способе		измерения массы было

рассказано в курсе физики VI класса. Но в некоторых случаях определение массы по ускорениям при взаимодействии является единственно возможным способом. Нельзя, например, взвешива­ нием измерить массу планет, звезд и других небесных тел. На ве­ сах нельзя также измерять очень малые массы, например массы атомов и частиц, из которых они состоят.

Масса тела выражает его собственное свойство (инертность), которое не зависит ни от того, в каких взаимодействиях тело участвует, ни от того, как оно движется. Что бы с телом ни про­ исходило, где бы оно ни находилось, как бы оно ни двигалось, масса его остается одной и той же.

Об одном интересном и важном свойстве массы можно узнать, если поставить еще один опыт (рис. 79). Соединим вместе два одинаковых алюминиевых цилиндра и повторим опыт с центро­ бежной машиной (см. § 23). Теперь стальной цилиндр взаимо­ действует не с одним, а с двумя соединенными вместе алюминие­ выми цилиндрами. Опыт покажет, что отношение ускорения соединенных вместе двух алюминиевых цилиндров к ускорению стального цилиндра равно не 3, а 3/2. Это значит, что масса двух одинаковых цилиндров, соединенных вместе и ставших как бы одним телом, вдвое больше массы одного из них. Следовательно,

когда два или несколько тел соединяются в одно, их массы скла­ дываются.

Из-за этого свойства массы иногда говорят, что масса выра­ жает собой и количество вещества в теле. Ясно ведь, что в двух

алюминиевых		цилиндрах			вдвое		Сталь	Алюминий
больше алюминия, чем				в одном.
Мы говорили,			что масса тела не за-
висит от того,	как		движется	тело.		Но
это не совсем	верно. Теория			относитель­
ности приводит к поразительному выводу,
что масса тела		все	же зависит от			того,
как оно движется.			Оказывается,			масса
тела растет с	увеличением его скорости.
Допустим, что масса некоторого покоя­							Рис.	79
щегося тела равна			т 0. Если	бы	можно

81

было с помощью центробежной машины измерить массу тела, движущегося

с большой скоростью v , то оказалось бы, что она равна не т 0, а

где с — скорость

света. Масса

тела,

следовательно,

стала больше.

Однако

заметным

это увеличение массы

становится только

при скоростях,

близких

к скорости

света

(с = 3 1 0 8 м /с).

С этим

нельзя

было бы не

считаться

при

скоростях

около

30 000 км/с

и

выше.

С такими

скоростями

обычные

тела

никогда не движутся. Самое быстрое тело, с которым приходится

иметь дело

жителям Земли,— это сама Земля, движущаяся вокруг Солнца

со

скоростью

30 км/с. А при таких скоростях

массу

можно считать вполне

постоянной, не

зависящей от скорости. Движения тел только с такими скоростями рассматри­

ваются	в дальнейшем.
■О	Может ли скорость тела изменяться мгновенно?

2.В чем состоит свойство, называемое инертностью тела?

3.Какой величиной характеризуется инертность тела?

4.Какова связь между массами тел и ускорениями, которые они полу­

чают при взаимодействии?

5.Как определяется численное значение массы тела?

6.В каких единицах измеряется масса?

7. Тележка движется по горизонтальной поверхности со скоростью 50 см/с. С ней сталкивается вторая тележка, которая движется в том же направлении со скоростью 150'см/с. После столкновения обе тележ­ ки продолжают движение в прежнем направлении с одинаковой ско­ ростью 100 см/с. Найти отношение масс этих тележек.

26.Масса Луны

Вкачестве примера того, как определяют массу тел по их ускорениям при взаимодействии, мы найдем массу Луны по

еевзаимодействию с Землей.

Отом, что Земля влияет на движение Луны, известно всем. Все знают, что именно под влиянием Земли Луна движется во­ круг Земли по окружности радиусом около 384 000 км.

Обычно считают, что Луна обращается вокруг Земли так, как будто центр Земли есть неподвижный центр лунной орбиты. Но этого не может быть, потому что при взаимодействии тел ускоре­ ния получают оба взаимодействующих тела. На самом деле и Луна влияет на Землю, заставляя ее двигаться по окружности и сообщая ей центростремительное ускорение. Но вокруг какого

центра?

Астрономические наблюдения показали, что Луна обращается не вокруг центра Земли, а вокруг некоторой точки Р (рис. 80), которая отстоит от центра Земли на 4700 км. (Эта точка нахо­ дится внутри земного шара.) Вокруг этой же точки Р движется по окружности и центр Земли (рис. 81). Значит, радиусы, соеди­ няющие центры Земли и Луны с точкой Р, движутся с одинако­ вой угловой скоростью вокруг точки Р. Центр Земли движется

82

Рис.	80
по окружности	радиусом г з « 4700 км,	а центр	Луны — по
окружности радиусом гл «380 000 км.		Выходит,	что Земля и

Луна ведут себя совершенно так же, как алюминиевый и стальной цилиндры в опыте, рассмотренном в § 23. Мы видели там, что отношение центростремительных ускорений, сообщаемых цилинд­ рами друг другу, равно отношению радиусов окружностей, по которым они движутся. Точно так же отношение модулей ускоре-

ний Луны ал и Земли аз	равно отношению радиусов гл и гз:
1«л1	ш2гл	Oi

Но отношение ускорений взаимодействующих тел равно, как мы знаем, обратному отношению их масс, поэтому

гл т3 гз тл

Так как гл~380 000 км, а гз«4700 км, то

« з	_	380000	_ , ч)
тл	~	4700	~ 61,

Следовательно, масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Масса Земли была определена. Она оказалась равной 6- 1024 кг. Тогда

тл ~	6 - Ю24 кг	_ 1П2»
	------ gj------	з е 7-1022 кг.

27. Сила

Напомним, что наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как вычислять ускорения движущихся тел.

83

В предыдущих параграфах мы видели, что когда некоторое

—►

тело U масса которого равна ти получает ускорение аи то это вызвано тем, что на него влияет какое-то другое тело 2 массой m2.

Оно в свою очередь тоже получает ускорение а2. При этом

Из этой формулы как будто бы следует, что нельзя изучать движение и вычислять ускорение только одного тела — назовем его ускоряемым телом. Непременно нужно знать массу и уско­ рение еще одного тела — ускоряющего тела.

Но обычно нас интересует движение именно одного, ускоряе­ мого. тела, а не того тела или тел, которые на него влияют, сооб­ щая ему ускорение. Когда, например, артиллерийский снаряд после выстрела покидает ствол орудия, он взаимодействует с Землей и воздухом, сквозь который он пролетает. И Земля, и воз­ дух сообщают снаряду ускорения, и сами при этом получают какие-то ускорения. Но артиллеристу важно знать ускорение только снаряда. Зачем же ему интересоваться массами и ускоре­ ниями Земли и воздуха?

Поэтому обычно вычисляют ускорение лишь одного тела — того, движение которого изучается. Влияние же другого тела, вызывающего ускорение, коротко называют силой, действующей на ускоряемое тело. И вместо того, чтобы говорить, что ускорение тела вызвано влиянием на него другого тела, говорят, что уско­ рение вызвано приложенной к телу (или действующей на него) силой.

Хорошо известно, например, что растянутая резиновая лента или растянутая спиральная пружина (рис. 82), предоставленные самим себе, сокращаются и возвращаются в конце концов в исходное нерастянутое состояние (рис. 83). В процессе сокраще­ ния все части пружины, кроме закрепленного конца, движутся с ускорением, направленным вдоль ее оси. На рисунке 82 стрелкой показано ускорение конца В пружины. Значит, на все части растянутой пружины, в том числе на конец В, действует сила, направленная вдоль оси пружины. Эта сила называется с и л о й у п р у г о с т и п р у ж и н ы . В нерастянутом состоянии пружины сила упругости равняется нулю. Отсюда следует, что сила упру­ гости пружины зависит только от ее растяжения, т. е. от взаим­ ного расположения ее частей.

Рис. 82

Рис. 83

84

Сила упругости возникает в любом упруго деформированном теле, т. е. в те­ ле, претерпевшем изменение своих разме­ ров или формы, которое, будучи предо­ ставлено самому себе, возвращается в исходное состояние.

Другой пример. Известно, что все тела, свободно падающие или брошенные вверх, движутся с ускорением. Причиной

	этого	ускорения	является,		очевидно,
	влияние Земли. Но теперь мы будем го­
	ворить,	что на всякое		тело	со стороны
	Земли действует сила, которая и сообща­					Исаак Ньютон
	ет ему ускорение.		Сила эта		называется
						( 1643— 1727)
	с и л о й	т я ж е с т и .		Точно	та кже на	силы со стороны
	снаряд, о котором мы упомянули, действуют
	Земли	(сила тяжести)		и воздуха.
	Сила может быть большой или малой, т. е. сила — физическая

величина.

Так как ускорение — величина векторная, а вызывается оно силой, приложенной к телу, то и сила — величина векторная.

На ускоряемое тело может действовать не одна, а две или не­ сколько сил, потому что тело может взаимодействовать не с одним, а с несколькими телами.

Если две силы сообщают одному и тому же телу одинаковые по абсолютному значению и по направлению ускорения, то их считают равными друг другу. Отсюда следует, что две силы, равные по абсолютному значению, но противоположные по на­ правлению, при совместном действии на тело не сообщают ему никакого ускорения. Если, например, одна сила сообщает телу ускорение, направленное вверх, а другая — такое же по абсолют­ ному значению ускорение, но направленное вниз, то результирую­ щее ускорение тела будет равно нулю.

Что же это за величина — сила? Как она связана с вызывае­ мым ею ускорением? Как направлен вектор силы? В каких едини­ цах сила измеряется?

На все эти вопросы отвечает один из важнейших законов ме­ ханики — второй закон Ньютона.

28. Второй закон Ньютона

Выясним, какой величиной можно выразить силу, или, как говорят, какая величина служит мерой силы, действующей на тело.

Ясно, что эта величина должна быть одинаковой для всех тел, ускоряемых одной и той же силой.

Найти такую величину можно только из опыта. Опыт должен состоять в том, чтобы под действием одной и той же силы (без­ различно, какой именно!) привести в ускоренное движение раз­

85

	личные тела я найти величи­
	ну,	характеризующую				уско­
	ряемое тело, которая одина­
	кова для всех тел.				опыта
	Для		проведения
	нужно выбрать тело, которое
	-действует на все другие тела
	с одинаковой силой. Таким
	телом может служить упру­
	го	деформированное				тело,
	например		растянутая			или
	сжатая пружина, в которой
	действует		сила	упругости1.
	Сила		упругости		отлича­
	ется	от	всех	других		сил
Рис. 84	той	замечательной			особен­
	ностью, что она, как мы ви­

дели, зависит только от взаимного расположения частей одного и того же тела — растянутой пружины, а не взаимодействия ее с другими телами. Поэтому сила упругости растянутой пружины не изменится, когда к ней будет прикреплено любое тело.

Отсюда следует, что на любое тело, прикрепленное к растяну­ той на определенную длину пружине, действует одна и та же сила упругости пружины. Теперь ясно, что опыты, о которых мы гово­ рили, сводятся к тому, чтобы тело, прикрепленное к пружине, привести в ускоренное движение.

Как уже указывалось в § 23, удобнее всего наблюдать за ускоренным движением тел по окружности, т. е. когда они дви­ жутся с центростремительным ускорением. Поэтому мы снова воспользуемся центробежной машиной.

Поместим тело М в виде алюминиевого цилиндра с просвер­ ленным по его оси отверстием на стержень центробежной машины (рис. 84, а). Прикрепим к цилиндру конец пружины, а другой ее конец закрепим на раме машины в точке А. Приведем машину во вращение. Тогда, как мы видели в § 21, цилиндр М начнет скользить по стержню, удаляясь от точки А и растягивая тем самым пружину. Не будь пружины, цилиндр дошел бы до упора в точке В. Но вследствие силы упругости растянутой пружины цилиндр, удалившись несколько от оси вращения (на расстоя­ ние х), станет двигаться по окружности радиусом г (рис. 84, б). Центростремительное ускорение цилиндра М направлено по радиусу к центру. Вдоль радиуса направлена и ось пружины. Следовательно, ускорение цилиндра М направлено вдоль оси пружины так же, как и сила упругости. Ясно, что эта сила и сообщает цилиндру центростремительное ускорение.

1 Опыт показывает, что других тел, обладающих таким свойством, в при­ роде нет.

86

Центростремительное ускорение по абсолютному значению равно, как мы знаем,

|а | = ю2г,

где о — угловая скорость вращения машины.

Измерив угловую скорость со и радиус г, мы найдем модуль

ускорения а.

Заменим теперь алюминиевый цилиндр точно таким же по размерам стальным цилиндром. Мы уже знаем, что его масса в три раза больше массы алюминиевого цилиндра.

Приведем машину снова во вращение и4подберем такую ско­ рость этого вращения, чтобы растяжение пружины было таким же, каким оно было при вращении цилиндра из алюминия. Тогда и сила, действующая на стальной цилиндр, будет такой же.

Опыт показывает, что в этом случае угловая скорость враще­

ния машины будет B J/13 раз меньше. Это значит, что ускорение стального цилиндра в 3 раза меньше, чем алюминиевого. Направ­ лено это ускорение по-прежнему вдоль оси пружины (по радиусу окружности к центру). Выходит, что при увеличении массы тела втрое ускорение, сообщаемое телу одной и той же силой, сохра­ няет свое направление, а по абсолютному значению уменьшается в 3 раза.

Отсюда следует, что произведение массы тела на его ускоре­ ние для обоих тел одно и то же.

Можно провести этот опыт со множеством других тел самых различных масс. Он покажет, что при одном и том же растяжении пружины, т. е. при одной и той же силе, произведение массы тела на его ускорение для всех тел одно и то же.

Так мы нашли величину, одинаковую для различных тел, на которые действует одна и та же сила.

Значит, произведение массы тела на его ускорение выражает силу, действующую на тело.

, Если обозначить силу, действующую

на тело, через F, ускорение тела через а, а его массу через т , то можно написать:

—^ -> F = та .

Но, может быть, это верно только для силы упругости растянутой пружины и к другим силам не относится? Чтобы отве­ тить на этот вопрос, проведем еще один опыт.

Возьмем ту же пружину, но располо­ жим ее вертикально, закрепив верхний конец неподвижно (рис. 85, а).

87

К нижнему концу пружины подвесим груз известной массы т (рис. 85,6). Мы увидим, что пружина растянется, а груз будет находиться в покое (после нескольких колебаний).

На груз теперь действуют одновременно две силы: сила тя­ жести со стороны Земли и сила упругости со стороны растянутой

пружины. Не будь пружины, груз под влиянием Земли падал бы
■-> ■->	*

свободно вниз с ускорением g (|g |= 9 ,8 м/с12), направленным по вертикали вниз. Но ускорение груза равно нулю. Это означает, что растянутая пружина сама по себе тоже сообщила бы грузу

ускорение а= —g (направленное вертикально вверх). Значит, сила тяжести F и сила упругости Fynv, действующие на груз, рав­

ны по абсолютному значению и противоположны по направле-

-► -*■

нию: F= —Fynv. Но сила упругости, действующая на тело, как мы только что выяснили, равна произведению массы на ускоре­ ние, которое она ему сообщает, т. е.

FУпр = та = — mg.

—► —►

Значит, сила тяжести F, равная —^ уПр, будет равна:

F = mg.

Так мы установили, что сила тяжести тоже равна произведе­ нию массы тела на ускорение, сообщаемое ему этой силой *.

Опыты, подобные рассмотренным выше, и многие другие позволили Ньютону сформулировать один из важнейших зако­ нов механики — в т о р о й з а к о н Н ь ю т о н а .

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение.

Математически второй закон Ньютона выражается формулой

F = та.

Во всех опытах скорости и ускорения измерялись относительно инерциальной системы отсчета. Следовательно, второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

1 Можно на опыте убедиться в том, что растянутая грузом пружина сообщает ему ускорение, равное 9,8 м/с2. Для этого надо поместить эту пружи­ ну с грузом в центробежную машину и привести ее во вращение. Скорость вращения надо подобрать такую, чтобы пружина растянулась на такую же длину, как и под действием подвешенного груза. Опыт показывает, что произ­ ведение со2г, т. е. ускорение груза, действительно равно 9,8 м/с2.

88

29. Второй закон Ньютона (продолжение)

Из второго закона Ньютона следует, и это важно понять, что

действующие на тело силы определяют его ускорение, т. е. изме­ нение скорости, а не саму скорость движения тела. Поэтому

направление ускорения всегда совпадает с направлением дей­ ствующей силы. Направление же скорости, а следовательно, и перемещения может и не совпадать с направлением действую­ щей силы. Так, например, сила может быть все время направлена перпендикулярно скорости движения тела. В этом случае движе­ ние происходит по окружности, а ускорение, так же как и сила, направлено по радиусу, проведенному от движущегося тела к центру. Так двигалось тело под действием силы упругости в центробежной машине.

Если тело взаимодействует не с одним, а с несколькими тела­ ми, то на него действует не одна, а несколько сил, причем силы «не мешают» друг другу сообщать телу, на которое они действу­ ют, свое ускорение. Поэтому ускорение, которое сообщают телу все совместно действующие на него силы, будет такое же, какое сообщала бы ему одна сила, равная сумме всех этих сил. Так как сила — величина векторная, то под суммой всех сил надо пони­ мать векторную сумму. Такая сумма называется р а в н о д е й -

с т в у ю щ е й всех приложенных к телу сил. И в формуле F = ma,

выражающей второй закон Ньютона, под F нужно понимать рав­ нодействующую всех сил, действующих на тело.

Приведем простой пример. На качелях, известных под назва­ нием «гигантские шаги», на человека действуют одновременно

две силы (рис. 86): сила Ft — со сторЯгаы Земли, направленная

вниз, и сила Fz — со стороны каната, направленная вдоль каната. Под действием двух сил «пассажир» движется по окружности вокруг столба, к которому прикреплен канат. Значит, ускорение направлено к центру окружности,

а не вдоль силы Fi или F2. Из ри­

сунка видно, что к центру окруж-

-+•

ности направлена и сила F, которая равна геометрической сумме сил F\

и F2. «Пассажир», следовательно, движется так, как будто бы на него

действуют не две силы: Fi	и F2, а
всего одна — их равнодействую­
щая F:
F = Fi + Ft.	Рис. 86

8$