5. Принятие решений в условиях риска по интегральному критерию
Задача принятия решения с риском содержит Ai, оцененную по mi – средний ожидаемый доход, σi – риск.
Пусть применим принцип доминирования по Парето и получим множество альтернатив эффективности по Парето:
σi
А3
А2
А1
mi
рис. 3
Необходимо выбрать наилучшую альтернативу из множества на рисунке 3.
Для этого применяется интегральный (агрегированный) критерий. В общем случае, если альтернативы оцениваются по двум критериям: К1 и К2.
Интегральный критерий – это функция двух переменных:
f(K1,K2)
Возможны различные варианты вида функции.
Например, f(K1,K2)=К1α*К2(1–α) или f(K1,K2)=α*К1+β*К2
α–значимость критерия К1
β– значимость критерия К2
Естественно требование удовлетворения интегрального критерия следующим свойствам:
Если альтернативы ai и aj эквивалентны по всем критериям, то значения интегрального критерия для этих альтернатив равны (и наоборот)
Если ai доминирует по Парето альтернативу aj, то значение интегрального критерия для ai больше соответствующего значения для аj (и наоборот)
Составим линейный интегральный критерий для случая, когда первый критерий – средний ожидаемый доход, а второй – риск:
f(m, σ) = α*m – β* σ
m – средний ожидаемый доход
σ – риск
α≥0 и β ≥0
Пусть α >0, следовательно, агент принимает во внимание ожидаемый доход
Тогда имеем при делении на α:
λ = β / α >0
Или
f(m, σ) = m – λ * σ ,
λ = const≥0
Раскроем смысл постоянной величины λ.
Если для ЛПР значение λ равно нулю (λ =0), тогда f(m, σ) = m.
Это значит, что субъекта интересует только доход.
Это нейтральность к риску ЛПР.
Если есть два экономических субъекта, таких, что:
Для первого: f1(m, σ) = m – σ , то есть λ1 =1
Для второго: f2(m, σ) = m – 2* σ, то есть λ2 =2
Можно сделать вывод, что второй субъект более чувствителен к риску.
Если предположить, что f(m, σ) = m + σ
Это означает, что данный экономический агент склонен к риску
Таки образом λ отражает отношение ЛПР к риску:
λ =0 нейтральность
λ <0 склонность к риску
Чем больше λ, тем чувствительнее субъект к риску
Пример:
Для ЛПР λ=3.
Оценить с помощью неравенства Чебышева его гарантированную вероятность, на которую ориентируется ЛПР.
Решение:
ЛПР имеет отклонение X от M(X) на величину больше, чем α.
f(m, σ) = m – 3* σ, следовательно неприятности начинаются при
α. = 3* σ
Имеем,
Вероятность неприятностей должна быть не больше 1/9. Следовательно данный ЛПР выбирает гарантированную вероятность равную 8/9.
Заметим, что мы действовали как вольные интерпретаторы, то есть полученное решение не строго математическое.