ГОС математика / Алгебра / GOSy_Algebra_1

10.Сравнения в кольце целых чисел.Осн-ые св-ва. Классы срав чисел, полн сис-ма выч-ов.

Два целых числа а и b наз-ся сравнимыми a≡b(mod m).по модулю m(mN), если

1) (a-b) m.

2) a и b имеют одинаковые остатки при делении на m.

3) Существует tZ, a=b+mt.

Теор: следующие 3 утверждения эквивалентны:

1. a-b m

2. a,b при делении на m дают одинаковые остатки (равноостаточны)

3. a=b+mt

док-во:из 1=>3. В самом деле, если (a-b)m=>a-b=mt=>a=b+mt

из 3=>2. a=b+mt разделим b на m с остатком, получим b=mq+r, 0≤r<m тогда a=mq+r+mt

a=m(q+t)+r=>a при делении на m дает остаток r.

Из 3=>1. Пусть a,b при делении на m дают равные остатки, т.е.

a=mq₁+r

b=mq₂+r найдем a-b:

a-b=mq₁-mq₂

a-b=m(q₁-q₂)=>(a-b) делится на m=> a≡b(mod m)

ч.т.д.

Св-ва сравнений:

1)рефлексивность a≡a(mod m).

2)симметричность: если a≡b(mod m),то b≡a(mod m).

3)Транзитивность: если и a≡b(mod m), b≡c(mod m) то и a≡c(mod m).

Док-во для всех 3х св-тв: 1) по опр. a и a равноостаточны

2)по опр.b и a равноостаточны, следов-но a и b равноостаточны

3)по опр. a и b равноостаточны и b и с равноостаточны, следовательно a и с равноостаточны. Из 1)-3) следует, что отношение сравнимости явл-ся отношением эквивалентности.ч.т.д.

4)К обеим частям срав-ия можно прибавлять одно и то же число(если a≡b(mod m), то a+с≡b+с(mod m)).

Док-во: найдем: (a+c)-(b-c)=(a-b) делится на m(по условию) ч.т.д

5)слагаемые можно переносить в другую часть неравенства с противоположным знаком. Док-во из св-ва 4, если прибавить -с к обеим частям.

6) сравнения по одному модулю можно почленно складывать.

Док-во:1)a+с≡b+c(mod m)по св-ву 4

2)с+b≡b+d(mod m)по св-ву 4. Из 1) и 2)=>a+с≡b+d(mod m)по св-ву 3.ч.т.д.

7)обе части сравнения можно умножать на одно и то же число.

Д-во: a∙с-b∙с=(a-b)c, (a-b)делится на m=>

(a-b)c делится на m.ч.т.д.

8)Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно умножать.

Док-во:1) a∙с≡b∙с(mod m) по св-ву 6

2) с∙b≡b∙d(mod m) по св-ву 6. Из 1)-2)=> a∙с≡b∙d(mod m) по св-ву 3.ч.т.д.

9)Обе части ср-ия можно возводить в одну и ту же натуральную степень(если a≡b(mod m), то для любого n из N=> aⁿ≡bⁿ(mod m)).

Док-во следует из св-ва 7 и 8

10)обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же натур число c

Д-вo:(a-b)m(ac-bc)mc:(ca-cb)cm или acbc(mod mc)

11)Обе части ср-ия и модуль можно разделить на их общий натур делитель. Док-во: по усл.ac-bc=mct =>c(a-b)=cmt разделим обе части на с, получим a-b=mt=> a-b делится на m. ч.т.д.

12)Обе части ср-ия можно разделить на их общий дел-ль, взаимно простой с модулем(a∙k≡b∙k(mod m), (k,m)=1=> a≡b(mod m)).

Док-во:найдем (ak-bk) дел-ся на m =>(a-b)k дел-ся на m. По св-ву взаимнопростых чисел(если abc, и (a, c)=1 то bс) a-b дел-ся на m. ч.т.д.

13)Если a≡b(mod m), f(x)=c₀+c₁x+…c_nxⁿ, то f(a)≡f(b)(mod m).

Док-во:вытекает из 9,6,5 св-в

14) a≡b(mod mk), то a≡b(mod m)

Док-во:a-b=m(kt)=>(a-b)дел-ся на m.ч.т.д.

15) a≡b(mod m)=>(a,m)=(b,m)

Док-во:Пусть (a,m)=d₁ и (b,m)=d₂.

a=b+mt, a дел-ся на d₁ и mt дел-ся на d₁=>b дел-ся на d₁=> d₁-общий делитель чисел b и m, но (b,m)=d₂=>

d₂ дел-ся на d₁.

a=b+mt, b дел-ся на d₂ и mt дел-ся на d₂=>a дел-ся на d₂=> d₂-общий делитель чисел a и m, но (a,m)=d₁=>

d₁ дел-ся на d₂.

Из подчеркнутого => d₁ =d_2/

Ч.т.д.

16) a≡b(mod m)

=>a+mt≡b(mod m)=>

Док-во: найдем: a+mt-b=(a-b)+mt a-b дел-ся на m и mt дел-ся на m =>(a-b)+mt дел-ся на m.ч.т.д.

17)если a≡b(mod m₁)

a≡b(mod m₂)

……………

a≡b(mod m_k), то

a≡b(mod[ m₁,m₂,…,m_k])

док-во: 1)из 1го рав-ва=>

(a-b)дел-ся m₁

2)из 2го рав-ва=>

(a-b)дел-ся m₂

_……….

k)из последнего рав-ва=>

(a-b)дел-ся m_k. Из 1)-k)=> a-b кратное каждому из модулей, т.е. a-b общее кратное всех модулей, а ОК дел-ся на НОК,т.е.(a-b) дел-ся на [m₁,…,m_k]ч.т.д.

18) a≡b(mod m), то НОД(a,m)=НОД(b,m)

док-во: a≡b(mod m)=>по опред.a-b делится на m=>существует t из Z такое что a-b=mt=>a=b+mt

(a,m)=d₁ и (b,m)=d₂

:d₂ :d₂ =>

=>a делется на d₂=>(a,m)делится на d1

a=b+mt

:d₁ :d₁ =>bделится наd₁=>(b,m)=d₂делится на d₁

Из подчеркнутого двойной чертой => d₁=d₂

Ч.т.д.

Опр. Классом вычетов(КВ) по модулю m(mN,m>1) c представителем a(aZ) наз-ся мн-во всех целых чисел, сравнимых с а по модулю m. Обозн. .

Числа из класса называют вычетами.

Опр. Любое число из класса вычетов наз-ся вычетом.

Свойства КВ:

1)a(m)

2)

3)Два класса по модулю m либо совпадают, либо не пересекаются.

4)Классов по модулю m ровно m.

Опр. Суммой классовн-ся класс, содержащий сумму.

Опр. произведением

Теор. Мн-во КВ по модулю m образует коммутативное кольцо с единицей.

Теор. Кольцо вычетов по составному модулю имеет делители нуля.

Пример:m=6 тогда -делители нуля, тк

Теор.Кольцо КВ яв-ся полемкогда m-простое.

Опр.Полной системой вычетов(псв) по мод m наз-ся совок-ть вычетов, взятых по одному из каждого класса по этому модулю.

П-р: 3, 10, 17, 24, 31 - псв по модулю 5.

Теор(признак ПСВ) Любая совокупность из m чисел, попарно не сравнимых по модулю m, есть ПСВ по этому модулю.

11,15. Многочлены над полем рац.чисел. Рац-ные корни многочлена с рац-ми коэфф.

Если f(x) – мн-н с Q(рациональными) коэф-ми и m-НОД всех его коэф-ов, то m* f(x) есть мн-н с Z(целыми) коэф-ми. Число с яв-ся корнем мн-на f(x)  с яв-ся корнем m* f(x).

Нахождение рац корней равносильно выделению линейных множителей в разложении многочлена. ! a-НОД числителей коэффициентов многочлена f(x), b-НОК знаменателей коэффициентов многочлена f(x). т.о. можно рассматривать многочлены над кольцом целых чисел. Нахождение рац корней мн-на с Z коэф основано на =>

th 1: ! - корень f(x), (p,q)=1 тогда q-делитель старшего коэф p-делитель свободного члена. Док-во - корень => умножим обе части на :

а)все слагаемые (за искл ) делятся на q, и сумма делится на q => , т.к. p и q – взаимно просты =>

б)все слаг (за искл ) кратны p и сумма кратна p => чтд. Данная теорема позволяет путем конечного перебора найти рац корни мн-на.

След. 1: целый корень мн-на с Z коэф, обладающий рац корнями имеет Z корни.

След 2: нормированный мн-н с Z коэф, обладающий рац корнями имеет Z корни. Т.е. Z корни нормированного мн-на с Z коэф – целые числа.

Пример: возможно для возможно для 1) найдем целые корни: из след 1 это - делители своб члена. Надо испытать 8 чисел. Для того чтобы сократить этот процесс воспольз =>

th 2: частное от деления мн-на на на двучлен (x-a), где a- целый корень мн-на f(x) яв-ся мн-он с целыми коэф.

Док-во: коэф мн-на q(x) определяются по схеме Горнера: так как - целые числа, - целое => ЧТД.

Th: если несократимая дробь (причем q>0) яв-ся корнем то для любого .

Док-во: умножим обе части на : обозначим xq=y получим мн-н от переменной y: мн-н q(y) имеет целый корень разделим мн-н q(y) на (y-p) по th 2получим мн-н с Z коэф-ми

, покажем что q и (p-qk) взаимно простые. От противного: ! - сократима, т.к дробь сократима, то ее можно представить в виде

- сократима => противоречие с усл. Теоремы => (p-qk) и q – взаимно простые, так как и (p-qk) и q - взаимно простые => чтд.

Замеч: в частности из th 3 => что . Вернемся к примеру: по th 3 если p – целый корень, то . запишем результаты в таблицу:

P	2	-2	3	-3	6	-6
	ц	ц	ц	ц	д	д
	д	ц	ц	ц	д	ц

Схема Горнера:

	18	9	-56	-1	6
-2	18	-27	-2	3	0
3	18	27	79
-3	18	-81	312

2)найдем Q корни мн-на

P/2	1/2	-1/2	1/3	-1/3	1/6
	ц	д	ц	Ц
	д		ц	ц

-1/6	1/9	-1/9	1/18	-1/18	-3/2	3/2
		Ц				ц
		ц				Ц

По схеме: числа получили - корни.

Ответ:

Признак Эйзештейна. ! дан многочлен с Z коэф-ми if прост число p, такое что не делится на p и не делится на , то многочлен f(x) неприводим над Q.

Д-во: предпол.противное: f(x) – неприводим над Q. Тогда по лемме Гаусса, f(x) приводим над Z. Пусть f(x)=g(x)*h(x), где g(x) и h(x)Z[x] и степени сомножителей ≥1. Пусть g(x)= .h(x)=. Тогда b₀c₀=a₀p, откуда b₀p или c₀p. Одновременно b₀ и c₀ не делится на р². Пусть b₀p, тогда c₀ не делится на р. Все коэф-ты g(x) не м/т делит на р, т.к.по усл a_n=b_kc_m не делит на р. След-но наименьш номер t<k такой, что b_t не делит на р. Рассм.коэф-ты по усл a_t p и в силу выбора номера t все слагаемы, кроме последн, делятся на р. Но тогда и посл слагаемое также д/о делиться на прост число р, откуда b_t p c₀p –!?. Значит f(x) неприводим над Q.

Пример

Многочлен неприводим над полем Q по признаку Эйзенштейна p=3.

Иногда данный многочлен f(x) не удовлетворяет условиям признака Эйзенштейна, но удается найти такое число с, что при замене переменной

х по формуле x=y-c получаем многочлен h(x), удовлетворяющий условиям признака Эйзенштейна, а значит неприводимый над Z. В этом случае исходный многочлен f(x) также неприводим над Z.

Например,

Для многочлена признак Эйзенштейна не применим.

Выполним подстановку x=y-2. То получим многочлен относительно переменной y (а именно ), который неприводим по критерию Эйзенштейна при p=2. След-но, данный многочлен неприводим над Q.

13. Геом. представление компл чисел. Тригонометрическая форма.

Комп число z=a+bi изоб-ся в виде точки комп пл-ти с корд (a,b), а также в виде вектора с теми же координатами.

Положение точки z однозначно определяется упорядоченной парой чисел (r,α), где r=|z|= -расстояние от нач корд до точки, изобр комп число z, а α- угол, отмеченный стрелкой на рис.

Аргументом комл числа z≠0 наз угол α, отсчитываемый от положит направления оси ОХ до направления вектора, изображающего число z, причем α>0, если отсчитываем против часов. Стрелки, и α<0, если по часовой. Обозн α=arg z.

Аргумент нуля не определен.

Упорядоченная пара чисел (r,α) наз полярными координатами точки с.

Выразить прямоугольные (a,b) корд через полярные (r,α).

.a=r cos α, b=r sin α.

Т.е. a+bi=r cos α+i m sin α=r(cos α+ i sin α)

Это тригоном. форма записи комп числа. Она неоднозначна, т.к. ф-ии периодичнские.

Т.о. m(cos α+ i sin α)=r(cos β+ i sin β)↔m=r, α-β=2πk, kЄZ.

Пример. Записать число z=1-  в тригонометрической форме.

Решение Найдём модуль этого числа: 

Аргумент данного числа находится из системы 

значит, один из аргументов числа z равен  -π/3 

Получаем:  

Прим. Изобразить: с=2(cos0+isin0) .d=3(cos(-30)+isin(-30))

y C₁

0 1 2 -30⁰ 3 x

C₂

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.) нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.

 Пусть ,  и  два произвольных комплексных числа 

   Доказательство. 

=|z₁||z₂|(cosφ₁cos φ₂- sinφ₁sin φ₂)+i( cosφ₁sin φ₂+ sinφ₁cos φ₂))=

ДЕЛЕНИЕ.

Z₁/z₂= |z₁|/|z₂|(cos(φ₁ –φ₂)+ i sin (φ₁ –φ₂))

     Возведение в степень.

Докажем индукцией по n.

1.n=1 очевидно

2.пусть

Д-м что (r(cosφ+isinφ))ⁿ⁺¹=

(rⁿ⁺¹(cos(n+1)φ+isin(n+1)φ)).

Получаем: (r(cosφ+isinφ))ⁿ⁺¹=

(r(cosφ+isinφ))ⁿ*(r(cos φ+isinφ))=

= (rⁿ(cosφ+isinφ))*r(cosφ+isinφ)) =

(rⁿ⁺¹(cos(n+1)φ+isin(n+1)φ)).#

При m=1получаем формулу Муавра

(cosφ+isinφ)ⁿ= cos n φ+i sin nφ.

Прим. (1-)¹²⁵

1-=2(1/2-i=2(cos60⁰-isin 60⁰)=2(cos(-60⁰)+isin(-60⁰)). Тогда

(1-)¹²⁵=(2(cos(-60⁰)+isin(-60⁰))¹²⁵=

2¹²⁵(cos(-7500⁰)+isin(-7500⁰)= 2¹²⁵(cos(60⁰)+isin(60⁰)= 2¹²⁵(1/2+i=2¹²⁴+i2¹²⁴

 Извлечение корней из комплексных чисел 

Пусть с – комп число, n – натуральное число. Корнем n –й степени из числа с наз комп число z, n-я степень которого равна с.

.

, ,

Док-м, что при с≠0 выражение имеет точно n значений и выведем формулу для их нахождения.

Пусть c=m(cosα+isinα)≠0 и nЄN. Предположив, что корни n-й степени сущ-ет, обозначим z один из них. Тогда .z= r( cos φ+i sin φ). Теперь нужно выразить неизвестные z и φ через m и α. Имеем => (r(cos φ+i sin φ))ⁿ= rⁿ(cosφ+isinφ)= m(cosα+isinα)=> rⁿ=m, nφ-α=2πk при некотором целом k. Т.о, - арифм-ий корень из R числа m>0( он всегда сущ-ей и однозначо определен);

Нашли тригон форму корня z, он зависит от k, обозначим его z_k.

Покажем что при любом kЄZ z_k яв-ся корнем n-й степени из числа с.

=

=

Значит корней бесконечно много.

При k=n получаем:

=z₀.

Аналогично: z_n+1=z₁, z_n+2=z₂,… z_n+(n-1)=z_n-1.

Т.о. любой корень z_k совпадает с одним из корней z₀,z₁,….z_n-1. Док-м что все эти корни различны. Предположим противное: пусть номера s и t различны и 0≤s<t≤n-1, а корни z_s и z_t совпадают. Тогда

Отсюда - = 2πq при qЄZ.

Умножим рав-во на n:

,

откуда t-s=qn

=>t-s делится на n. Но 0<t-s<n – противоречие: t-sЄN, меньшее n, не может делиться на n. Предположение неверно, корни различны.

Док-ли след теорему:

Сущ-ет точно n различ корней n-й степени из компл числа c=m, и все они могут быть найдены по формуле:

При k=0,1,…n-1.

Теорема. (об изображении корней) корни n-й степени из комп числа с изображаются точками окр-ти с центров (0,0) и R=, и делят эту окр на n равных частей.

Прим. Вычислить и изобразить.

Триг фор i=cosπ/2+isinπ/2

Записываем формулу корней

k=0,1,2

Ответ: