ГОС математика / Алгебра / GOSy_Algebra_1

14.кольцо мн-оа над полем, НОД мн-ов

Мн-лен - это алгеб-кая сумма одн-ов. Степень мн-лена - наибольшая из степеней одн-нов, входящих в данный многочлен. a₀+a₁x+…+a_nxⁿ, где n≥0 a_i(i=0,1,2,…,n)ϵP, a_i-наз коф-ми мн-на f(x), a_ixⁱ-наз членом мн-на.

Опр. кольцо – мн-во К с опред-ми на нем бинарными операциями «+», «*».

Опр. поле-коммуникативное кольцо Р с 1, отличное от 0, в кот всякий не нулевой элемент имеет обратный, т.е. для любого 0≠аϵР эл-т а^-1 такое что, а* а^-1=0

Опр.Обл-тью целостности наз коммут кольцо с 1, отличной от нуля, и без делителей нуля.

Опр. Мн-ом над областью целостности К наз формальное выр-ие вида +a_n-1x^n-1 + …+ a₁x+ a_0, где a_nxⁿ,a_n-1x^n-1,…,a₁x, ϵК и наз коэф-ми мн-на, х-перемен D(х) ϵК, кажд слагаем наз членом мн-на, a₀-свободн член. Мн-лен обозначается f(x), а мн-во мног-в над областью целостности К обознач К[x]. if все коэф-ты мн-на =0, то он наз нулевым. if a_n≠0, то наз старшим коэф-ом, a_nxⁿ- старший член мн-на, n-степень мн-лена. Нулевой мн-н единств мн-н без степени. Мн-н наз нормированным(приведенным),if его старший коэф-т=1.

Опр. 2 мн-на =(алгеброически) if равны их соответствующие коэф-ты

Опр. Σ мн-в и наз-ся мн-н , где , . (степень Σ мн-ов не превосходит степени каждого из мн-ов)

Опр. Произвед мн-в f(х) и g(x) наз-ся мн-н , где , _{(степень «*» 2-х мн-ов =} Σ _{степеней перемножаемых мн-ов)}

Св-ва операций:

1.Ком-ть слож-я: с коэф-ми из П.

2.Ассоц-ть слож-я:

3.Нейтральный элемент по «+» яв-ся нулевой мн-ен

4.Противопол эл-ом для f(x) явл-ся все коэф-ты кот-го противопол коэф-м f(x).

5.Дистрибутивность «*» относительно с «*»

6.Ассоц-ть умн-я

7.Ком-ть умн-я

8.Роль един при «*» играет число 1, рассматрив как мн-н нулевой степени.

Мн-н f(х) облад обратн мн-ном f^-1(х) if f(х) явл-ся мн-ном нулев степен.(для умн-я мн-в обратная операция деление)

Тh. Мн-во все мн-ов К[x] над обл-ю целостн К относит «+» и «-» мн-ов само яв-ся обл-ю целост

Кольцо К[x] наз к-ом мн-ов над обл-ю целост К. if К=Р-поле, то Р[x] наз кольц мн-ов над полем Р. Прим [x]-кольц мн-ов над к-ом Z, а яв-ся кольц мн-ов соот-но над полями Q,R,C.

В обл-и целостн К, по опр есть 1, поэтому м/о рас-ть обратим элем-ты.(аϵК, наз обратим if вϵК, : а*в=1) мн-во всех обратих элем-ов обл-и целостн К будем обозн-ть К*. прим обратимыми в обл-и целостн Z яв-ся лишь 1 и -1. В обл-и целостн Q,(в поле Q), ≠ 0 числ есть обрат.

Тh в кольце мн-ов К[x] над обл-ю целостн К обратим эл-ми яв-ся лишь обратимы эл-ты кольца К, т.е. (К[x])*=К*.

Опр. ! К-обл целостн. Будем гворить что мн-н из кольца мн-ов на ненулевой мн-н h(x)ϵ К[x] и писать f(х) h(x), if мн-н q(x) ϵ К[x] : f(х)= h(x)* q(x). При этом - наз делителем мн-на f(х), мн-н f(х) – кратным мн-на h(x).

Св-ва:

1.транз-ти: если f(x)g(x) и g(x)h(x), то f(x)h(x).док-во из условий следует сущ-е мн-ов q(x),k(x) ϵ К[x] таких, что f(x)=g(x)*q(x), g(x)=h(x)*k(x). След-но, f(x)=g(x)*q(x)= h(x)*k(x)*q(x), откуда f(x)h(x)

2. рефлексивности: f(x)≠0, f(x)f(x).док-во очевидно f(x)= f(x)*1, отсюда . f(x)f(x).

3.если f(x)h(x) и g(x)h(x), то f(x)+ g(x)h(x), и если f(x)h(x), то f(x)*u(x) h(x),для любого мн-на u(x).

4.делителями единицы в кольце мн-на К[x] над обл цел-и К яв-ся лишь обратим эл-ты из К. в часности, делители единицы кольца мн-ов Z[x] есть 1 и -1, а кольца мн-ов Р[x] на полем Р есть в точности ненулевые эл-ты поля Р. Док-во ! мн-н d(x) яв-ся делителем единицы. Это означ сущест-ие мн-на q(x) так что d(x)* q(x)=1. = >d(x)= d₀ϵК\{0}, q(x)= q₀ϵК\{0} и d_0* q₀=1. Но это и означает, что эл-т d₀ обратим.

5.if f(x)⁞g(x) и g(x)⁞ f(x), то делитель единицы(обратимый эл-т) kϵК так что f(x)=k*g(x).в частност if K=Z то k=+\-1, а if К=Р-поле, то к-ненулевой эл-т поля. Док-во из условия => сущ-е мн-ов q(x),k(x) ϵ К[x], так что f(x)=k(x)* g (x), g (x)= f(x)* q(x). Отсюда f(x)= f(x)* q(x)*k(x) и q(x)*k(x)=1. След-но, k(x)-делитель единицы и, по св-ву 1, k(x)= k-обратимый эл-т кольца К. а тоже время f(x)=k*g(x).

Опр. в кольце мн-ов К[x] над обл целост К мн-н d(x) ОД мн-ов f(x) и h(x), if f(x)⁞d(x) и h(x)⁞d(x)

Опр. в кольце мн-ов К[x] над обл целост К НОД двух мн-ов f(x) и h(x) наз такой их ОД d(x), к-ый делиться на другой их ОД. НОД(f(x) ,h(x))= d(x).

Тh ! К-обл целост и f(x), h(x) ϵК[x]. if НОД(f(x) ,h(x))= d(x), НОД(f(x) ,h(x))= d₁(x)  d₁(x)= k* d(x), где k-делитель единицы кольца К.

Опр. ! Р-поле и f(x), h(x) ϵР[x], причем h(x)≠0. Разделить с остатком мн-н f(x) на ненулевой мн-н h(x) – это значит найти мн-н q(x) и r(x) такие, что f(x)=h(x)*q(x)+r(x), причем r(x)-либо нулевой мн-н, либо его степень меньше степени h(x). Мн-н h(x) наз делителем, q(x)-неполное частное, а r(x)-остаток.

Тhмн-ов f(x) и h(x)≠0 с коэф-ми из Р и единст-е мн-ны q(x) и r(x) с коэф-ми из того же поля такие, что f(x)=h(x)*q(x)+r(x), причем r(x)-либо нулевой мн-н, либо его степень < степени h(x).

Опр. Алг-ма Евклида: 1.нач. алг. f(x) делится с остатком на g(x). 2.шаг алг. делитель делим на остаток.

Алгоритм Е: ! даны два мн-на f(x) и g(x). Делим f(х) на g(x) и получаем нек-ый остаток r₁(х). Делим g(x) на r₁(х) и получаем остаток г₂(х), делим r₁(x) на г₂(х) и т.д. Т.к. степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последов делений мы должны дойти до такого места, на к-ом деление совершится нацело и поэтому процесс остановится. Тот остаток г_к(х). на к-ый нацело делится предыдущий остаток г_k-1 (х). и будет НОД мн-в f(x) и g(x).

Покажем сказанное выше в след цепочке рав-в:

….

T: Последний отличный от нуля остаток в алг-ме Евклида явл ся НОД мн-в f(х) и g(x) .

Док-во: Последнее рав-во показывает, что r_k(x) служит дел-лем для г_k-1(х). =>, что оба слагаемых правой части предпоследнего рав-ва делятся на r_k(x), а поэтому r_k(x) будет дел-лем и для г_к.₂(х). Двигаясь вверх, мы получим, что г_к(х)-дел-ль r_k-3(x),..., г₂(х), г₁(х). Т.е.r_к(х)-дел-ль для g(x) (из 2-го рав-ва) и для f(х) (из 1-го рав-ва).3начит, г_к(х)-ОД для f(x) и g(x). Возьмем теперь произвольный ОД мн-в f(x) и g(x). Т.к. левая часть и первое слагаемое правой части первого рав-ва делятся на , то г₁(х) также будет делиться на . Переходя ко 2му и следующим рав-вам ,мы таким способом получим, что на делятся мн-ны г₂(х), г₃(х).,... Наконец, доказав, что r_k.₂(x) и г_к-1(х) делятся на , из предпоследнего рав-ва получим, что r_k(x) делится на , значит, г_к(х)-НОД для f(x) и g(x). Пусть d(x)=HOД(f(x),g(x)).

Лемма: такие мн-ны , что d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)-линейная форма представлении НОД (НОД м/о линейно выразить через мн-ны).

12. Теорема о сущ-нии корня мн-на в поле С. Мн-ны приводимые над С.Формулы Виета. Непривод.над R мн-ны.

Опр. Выражение вида , где n -целое неотрицательное число, , …некоторые эл-ты из P наз-ся мн-ом от переменной x с коэф-ми из P. Эл-ты , …наз-ся коэф-ми мн-на f(x). … наз-ся членом мн-на. старший коэф-т. n- степень мн-на.

Опр. Корнем многочлена f(x) с коэффициентами из области целосности ( ассоциативное коммутативное кольцо без делителя нуля (произведение ненулевых элементов не равно 0)) К называется , такой что f (c)=0.

Теорема.(Безу): f(x)=(x-с)*q(x)+r При делении f(x) на (x-c) получаем остаток равный f(c), т.е значение мн-на f(x) при x=c.

Д-во:

В результате деления f(x) на (x-c) получаем f(x)=(x-с)*q(x)+r при x=c получим f(c)=(c-с)*q(c)+r. След-но f(c)=0+r, f(c)=r.

След-но f(x)=(x-с)*q(x)+r #

Пр-р:

Дан многочлен

Найти его значение при

Решение:

Восп. Схемой Горнера

	31	0	-297	10	35
-3	31	-93	0	10	5

r=5 след-но f(-3)=5

Теорема(основ Th. алг)Всякий многочлен f(x) над полем С, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один комплексный корень.

Сл.1. Над полем С , любой многочлен степени выше первой являются приводимым.

Д-во: пусть f(x) ÎC[x], степень f(x)>1 => f(x) – приводимый, по теореме о существовании корня многочлена сущ-ет комплексный корень сÎС : f(c) =0=> по теореме Безу: f(x) (x-c) => сущ-ет q(x) ÎC :

f(x)=(x-c)q(x) => (по опр приводимого над Р=С многочлена) степень q(x)>0 => f(x) приводим над С.#

Сл 2. Неприводимым над С яв-ся многочлены 1-ой степени и только они.

Вытекает из следствия 1 а также из того, что многочлены первой степени неприводимы над любым полем, в частности и над С.

Сл3.Над полем С любой многочл выше нулевой степ разлагается в произведение n линейных множителей.

Д-во: 1. n=1, f(x)=a*x+b – один множитель.

2. (метод мат индукции) Пусть многочлены степени n-1 разлагаются в произведение n-1 линейных множителей. Докажем, что многочлен n-ой степени разложиться в произведение n-множителей.

Пусть степень f(x) =n по теореме о существовании корня многочлена сущ-ет с – корень f(x) => (по теор Безу)

f(x) x-c => f(x)=(x-c)q(x).

Степень q(x) =n-1, по предположению индукции q(x) – разлагается в произведение n-1 множителей.

q(x)=(x-c2)(x-c3)…(x-c_n) => f(x)= (x-c)(x-c2)(x-c3)…(x-c_n).#

Сл3’:Над полем С всякий многочлен f(х) степени п, п≥1, имеет п корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Опр. Поле P называется алгебраически замкнутым если любой многочлен над этим полем разлагается в произведение линейных множителей.

Сл4. Поле С – алгебраически замкнутое поле.

Формулы Виета.

Рассмотрим равенство

Найдем связь между коэффициентами и корнями данного многочлена, полученные формулы называются формулами Виета:

1)n=2

.

Отсюда получаем формулы Виета для кв. трехчлена

.

В частности, если и то получаем след. Формулу Виета

2) n=3

.

Отсюда получаем

3) в общем случае

Получим следующие формулы

……………………………………..

Многочлены с действительными коэффициентами.

Теорема. Если комплексное число явл. корнем многочлена f(х) с действительными коэффициентами, то сопряженное число тоже является корнем этого многочлена.

Д-во:

Вспомним что для любых чисел и имеем

Пусть и комплексное число является корнем этого многочлена. Тогда f()=0 и, используя свойства сопряженных комплексных чисел, след-но получаем

След-но, является корнем многочлена f(x). #

Теорема. Неприводимыми над полем действительных чисел являются только многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом.

Д-во:

Очевидно, что всякий многочлен первой степени неприводим над R. Многочлен 2-ой степени неприводим над R он не представим в виде произведения двух многочленов первой степени с действительными коэффициентами многочлен не имеет действительных корней дискриминант многочлена отрицательный.

Докажем что многочлен степени n>2 приводим над полем R. По основной теореме алгебры, f(x) имеет хотя бы один комплексный корень, обозначим его через с. Тогда

. По теореме которая была выше, сопряженное число также является корнем данного многочлена, а значит . Т. к многочлены и взаимно просты, то . Но

- многочлен с действительными коэффициентами, имеющий степень 2 , и . След-но, f(x)=h(x)q(x) при некотором . Т.к степень f(x)>2, то q(x)- многочлен степени .Отсюда следует что многочлен f(x) приводим над полем R. #