Длина свободного пробега и число столкновений молекулы

Ж - 4

Найти среднее число столкновений Z в единицу времени молекул

азота и среднюю длину l свободного пробега молекулы при давлении P=53,33кПа и температуре t = 270C.

Решение:

Среднее число столкновений молекул в единицу времени определяется формулой:

Z = 2p s 2n V ,

где s - диаметр молекулы (находится по таблице: s = 3×10-10м); n – число

молекул в единице объёма: n = P/kT; <V> = (8RT/pm)1/2-средняя скорость. Подставляя в формулу для Z значения n и V, а так же учитывая,

что R=kN0, где N0=6,02×1023 моль-1– число Авогадро, получим:

Z = 4s 2P

p N0

.

kTm

Итак,

Z = 4 ×

9 × 10− 20 ×

53,33× 103

p × 6,02 × 1023

=

2,5 × 109 c− 1.

1,38 × 10− 23 × 300 × 28 × 10−

3

Средняя длина свободного пробега

10− 23 × 300

l =

V

=

kT

=

1,38 ×

=

1,9 × 10− 7 м.

Z

2P

× 10− 10 )2 53,33× 103

2p s

2

× 3,14 × (3

Ж - 5

Найти показатель политропы n процесса, совершаемого идеальным газом, при котором остаётся неизменным коэффициент:

а) диффузии D=const; б) вязкости η =const; в) теплопроводности f=const.

Решение. Для политропического процесса

PVn = const , где

P-давление газа, V- его объём, n – показатель политропы. а) Коэффициент диффузии

D = 13 v l , где

v =				8kT			- средняя скорость молекул,
				p m0
l =			1				- средняя длина свободного пробега молекул,
			p d2n
		2

d – диаметр молекулы,

n – концентрация молекул.

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории

выразим n – концентрацию молекул, затем, подставив n формулу для λ – длины свободного пробега и используя формулу для средней скорости молекул, получим выражение для коэффициента диффузии:

	P = nkT Þ	n =	P	Þ	l =	kT			Þ
						p d2 P
			kT
							2

1

1

8kT

kT

Þ

D = 3

v l

=

×

,откуда

3

p m0

p d2 P

2

D = (

)×

3

3

8 × k

×

k

T 2

или D =

A ×

T 2

, где

6p m

p d

2

P

0

P

через А обозначена группа постоянных величин в скобке.

Выразим температуру Т из уравнения Менделеева – Клапейрона:

PV = ν RT

Þ

T =

PV

и, подставив её в выражение для

n R

коэффициента диффузии, получим:

3

1

3

1

(PV )2 =

é

A

D = A ×

ù × P 2

× V 2 .

ê

P

n R

3

ú

ë ( n R)

2

û

Поскольку по условию D = const , то

2

é

A

ù 2

3

3

D

=

ê

ú

× PV

или

PV

= const ,

3

ë

( n R) 2 û

следовательно, показатель политропы в данном процессе n = 3.

б)

Коэффициент вязкости

h

=

1 v l r , где r

= m0 × n - плотность газа.

3

Выполняя действия, аналогичные предыдущим, получим:

1

1

8kT

1

8km0 ×

1

h

=

×

× m0 n =

× T 2 =

p d2

2p d2 n

3 p m0

6p

[

]× (PV )

1

8km0

1

=

×

2

Þ

6p

p d2

n R

Возведем η в квадрат:

ü

ì

æ

ö

2

2

ï

8km0

1

1 ï

ç

÷

h

= í

ç

6p

×

p d

2

÷

×

n R

ý PV .

ï

è

ø

ï

î

þ

Т. к. по

условию

h 2 = const , то

PV =

const

следовательно,

показатель политропы в данном процессе n = 1.

в)

Коэффициент теплопроводности

f =

h

× Cv ,

где CV - молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

СV =

i

× R , где i - число степеней свободы.

2

i

т.к. в CV не входят ни P, ни T, ни V, то СV

=

× R = const.

2

Тогда такие же вычисления, что и в пункте б) дадут тот же результат, т.е.

PV = const

следовательно, показатель политропы в данном процессе n = 1.