∙ Изменение внутренней энергии идеального газа

DU = (m/m) Cv DT,

где Cv = (i/2) R – молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме.

∙ Работа, совершаемая газом

V2

A = ò PdV .

V1

∙ Уравнения адиабатного процесса (процесса, происходящего без теплообмена с окружающей средой):

P Vγ = const или T Vγ - 1 = const или Tγ P1 - γ = const, где g = Cp / Cv = (i + 2) / i – показатель адиабаты; Cp = (i + 2) R /2 –

молярная теплоемкость газа при постоянном давлении. ∙ Изменение энтропии

D S = òB d Q ,

A T

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. В равновесном процессе интегрирование не зависит от пути перехода из А в В.

Ж-1

Азот объёмом V1=10л находится под давлением P=1атм. Найти изменение давления, работу расширения, изменение внутренней энергии

при увеличении объёма азота до V2=20л: а) изобарически,	б)
изотермически, в) адиабатически.
Записать первое начало термодинамики для этих процессов.
Решение:

Р

Р1 Р=cons Р2 T=cons Р3 S=cons

Решение задачи удобно начинать с графического изображения зависимости давления газа от его объёма P=f(V).Работа любого

v2 процесса определяется A = ò PdV и

v1

V1

V2 V

равна площади, ограниченной кривой Р(V), крайними ординатами и осью абсцисс.

1) Изобарический процесс (P=const).

Работа расширения

A = P(V2 - V1)= 105æçè 2 × 10- 2 - 10- 2 ö÷ø = 1000 Дж.

Изменение внутренней энергии

D U = mm × CV (T2 - T1 ) .

Так как СV=(i/2)R – молярная теплоёмкость при постоянном объёме; m/μ – число молей; i – число степеней свободы (i=5 для молекулы азота);

		и	PD V =			m RD T = A , то
						m
D U =	i	m RD T =		i	P(V		- V )=	5 A = 2,5 × 103	Дж.
				2
	2 m					2	1	2

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, передающаяся газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и работе A, поэтому

Q=A + ΔU =1000 + 2500 = 3500 Дж.

2) Изотермический процесс (T=const). Из уравнения Бойля-Мариотта

		P1V1 = P2V2, поэтому
P2= P1V1/V2=105×10-2/2×10-2= 0,5×105 Па.
Изменение давления D P =			P -			P =	- 0,5 × 105	Па.
			2			1
Работа газа при изотермическом процессе
	V		V		m RT		m		V
A =	2		ò	2	m	V				=
	ò PdV =						dV = m RT ln		V
									2
	V		V						1
	1			1
= P V ln V2			= 105 × 10- 2 ln 2 =					690Дж
1	2	V1

Изменение внутренней энергии газа

D U = mm × 2i RD T . Так как ΔТ=0, то и ΔU=0.

Первое начало для изотермического процесса будет иметь вид

Q = A.

3) Адиабатический процесс (процесс, идущий без теплообмена – Q = 0).

Давление газа и объём при адиабатическом процессе связаны уравнением

Пуассона: P1V1γ = P2V2γ = const , где γ = Cp/Cv =(i + 2)/I =(5+2)/5 = 1,4. Для нашей задачи:

æ

V

ö

γ

= 105

× (0,5)1,4 =

0,38 × 105Па ;

P

=

P

ç

1

÷

V

2

1

ç

÷

è

2

ø

105 -

0,38 × 105 =

0,62 × 105Па .

– D P =

P - P

=

1

2

Работа при адиабатическом расширении A = −

U т.к. Q = 0.

A = - D U =

m C

(T - T ) .

m

v 1

2

Т1 и Т2 выразим из уравнения Менделеева - Клапейрона.

m T =

P1V1

m T =

P2V2

R

m

1

R

m

2

A =

CV

(P V - P V ) =

i

× (P V - P V ) =

R

1

1

2

2

2

1

1

2

2

5

=

(105 × 10− 2 - 0,38 × 1052 × 10− 2 ) =

600Дж.

2

Ж-2

С идеальным 2-х атомным газом в количестве ν=2 моля проводили следующие процессы: 1) изохорически нагрели так, что абсолютная температура увеличилась в 2раза; 2) изобарически охладили до первоначальной температуры; 3) изотермически сжали так, что объём уменьшился в 2 раза; 4) адиабатически расширили от температуры Т1 до Т2. Найти изменение энтропии в этих процессах.

Решение:

Изменение энтропии определяется формулой

S = Tò2 δ Q

T1 T

где δQ – бесконечно малое количество теплоты.

1)При изохорическом процессе V=const

δQ = mμ CV dT ,

где m

=

2 – количество молей,

CV =

i

R - молярная теплоёмкость,

μ

2

i – число степеней свободы молекулы (i=5 для двухатомной молекулы).

T

δ Q

T

m C

V

m

T

5

2

2

μ

S1 =

ò

=

ò

dT =

μ

CV ln

2

= 2 2 8,31ln 2 = 28,6Дж / К.

T

T

T

T

T

1

1

1

2)При изобарическом процессе Р=const

δQ = mμ CP dT ,

где

Cp =

i +

2

R – молярная теплоёмкость при постоянном давлении.

2

m C

T

d Q

T

P

m

T

7

D S2

2

=

2

m

dT =

ln

= ò

T

ò

T

m CP

T =

2 2 8,31ln 2 = 40Дж / К.

2

T1

T1

1

3) При изотермическом процессе T=const

V

Q = A =

ò2

PdV = (m/μ)RT ln(V2/V1).

V1

D S3 =

2

d Q

=

Q

=

m

V

=

2× 8,31× ln 2 = 11,5Дж / К.

ò

T

T

m

R ln V

2

1

1

1) При адиабатном процессе δQ=0 и ΔS=0.

Ж-3

Найти изменение ΔS энтропии при превращении льда (t= –200C) массы m=10 г в пар (tп=1000C).

Решение:

Изменение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2

D S = ò2	d Q	.
1	T

При переходе из одного агрегатного состояния в другое, общее изменение энтропии складывается из её изменений в отдельных процессах.

При нагревании льда от Т до Т0 (Т0- температура плавления)

T0	mC	dT		T
D S1 = ò	л		= mCл ln	0	,
	T			T
T

где Сл=2,1 кДж/кгК – удельная теплоёмкость льда.

DS1=10-2×2,1×103ln(273/253)=1,60 Дж/К.

	2	d Q		ml
При плавлении льда	D S2 = ò		=	T	,
		T
	1	0		0

где λ=0,33 MДж/кг – удельная теплота плавления.

DS2=10-2×0,33×106/273=12,09 Дж/К.

При нагревании воды от Т0 до Тп
TП mC			dT			T
D S3 = ò		В		=	mCB ln	п	,
	T					T0
T
0

где СВ= 4,19 кДж/кгК – удельная теплоёмкость воды.

DS3=10-2×4,19×103×ln(373/273)=13,08 Дж/К.

При испарении воды при температуре Тп

2	d Q		mr
D S4 = ò	T	=	T	,
1	ï		ï

где r = 2,26 МДж/кг удельная теплота парообразования.

DS4=10-2×2,26×106/373=60,6 Дж/К.

Общее изменение энтропии

ΔS= ΔS1+ ΔS2+ ΔS3+ ΔS4= 87,37 Дж/К.